第十四讲 典型试题分析

文档贡献者：winner_d1975

小学数学竞赛实际上就是解题能力的竞赛．多做好题是提高解题

能力的有效途径．本讲中精选了各类数学竞赛的一些典型试题进行分 析与解答，希望对开拓思路能起一点作用．

例 1  龟兔赛跑，全程 5.2 公里，兔子每小时跑 20 公里，乌龟 每小时 3 公里，乌龟不停地跑，但兔子却边跑边玩，它先跑 1 分钟后 玩 20 分钟，又跑 2 分钟然后玩 20 分钟，再跑 3 分钟然后玩 20 分钟，…， 问先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？

分析 只要分别求出乌龟和兔子到达终点各用了多少分钟． 解：乌龟到达终点所用时间为：

5.2÷3= 26 （小时）

15

也就是： 26 ×60=104（分钟）

15

如果兔子不停地跑，那么它到达终点所用时间为：

5.2÷20= 13 （小时）

50

分为分钟： 13 ×60= 78 （分钟）

50              5

又由于

78 =15 3 =1＋2＋3＋4＋5＋ 3

5        5                                      5

这就说明在前 15 分钟里，兔子共停下来玩了 5 次，然后再跑 3

5

分钟，就到达终点了。共用时间：

15 3 ＋20×5=115 3 （分钟）

5                          5

所以乌龟比兔子早到．

115 3 104=11 3 （分钟）

5              5

例 2 下图是两个互相啮合的齿轮，大的是主动轮，小的是从动 轮，大齿轮半径为 105，小齿轮半径为 90．现在两个齿轮的标志线在 同一直线上，问大齿轮至少转了多少整圈后，两条标志线又在同一直 线上？

分析 这道题可以看成下面的问题：

在 A 点有甲、乙二人，同时、同速出发分别沿着两条跑道跑圈， 问甲沿左边大圈至少跑了多少圈后，乙沿右边小圈跑到了 A 点或

B 点？

解：由于要求乙到达 A 点或 B 点，所以乙跑的路程应该是小圆周 长一半的倍数；又由于乙与甲跑的路程相等，所以问题就变成了：

大圆周长的至少多少倍是小圆周长一半的倍数？设甲跑了 n 圈 ，

则有 n ⋅ 2π ×105 是整数，约分后可得：

90π

n ⋅ 2π ×105 = 7n 是整数。

90π           3

这就说明 n 至少取 3 使 7n 是整数。

3

答：主动轮至少转 3 圈，两条标志线又在一条直线上． 说明：变换问题的叙述方式，往往是发现解题思路的重要手段． 例 3 王师傅在某个特殊岗位上工作，他每上 8 天班后，就连续

休息两天。如果这个星期六和星期天他休息，那么至少再过几个星期

后，他才能又在星期天休息？

分析 首先应该计算出至少过了多少天，王师傅又在星期天休息， 由于他是连续休息 2 天，因此可能出现两种情况：星期六和星期天， 星期天和星期一．

解：由于王师傅工作 8 天，休息 2 天，所以每 10 天一循环，设 过了 n 个 10 天又是星期天，那么总天数就是 10n 天，又由于每过 7 天是一个星期天，这就要求 10n 是 7 的倍数，因此 n 至少等于 7，总 天数就是 70 天；另外一种情况是过了 n 个 10 天是星期一，也可以使 王师傅在星期天休息，同样的分析可以知道，10n－1 是 7 的倍 数 ， 这时 n 至少等于 5，总天数为

10×5－1＝49（ 天 ）． 由于 49＜70， 所以第二种情况在第一种情况之前出现，这就说明王师傅至少过

49 天才又在星期天休息，而不难算出 49 天等于 7 个星期． 答：王师傅至少过 7 个星期又在星期天休息．

例 4 祖父现在的年龄是小明年龄的 6 倍，几年后，祖父的年龄 将是小明年龄的 5 倍，又过几年以后，祖父年龄将是小明年龄的 4 倍 ， 求祖父今年多少岁？

分析 在“年龄问题”中，有一条差不变原理要注意，也就是说 无论什么时候，祖、孙二人的年龄差都是一样的．

解：设祖、孙二人今年的年龄分别为 x 和 y，根据已知条件：今

年祖父年龄是小明年龄的 6 倍，就有：

x－y＝5y，

设过 a 年后，祖父年龄是小明年龄的 5 倍，由差不变原理知道：

x－y＝4（y＋a），

设过 b 年后，祖父年龄是小明年龄的 4 倍，同样道理又有：

x－y＝3（y＋b），综合上面三个式子有：

5y＝4（y＋a）

5y＝3（y＋b）． 整理后得：

y＝4a

2y＝3b， 也就是 8a＝3b． 从这个式子看出应该有：

a＝3，b＝8， 从而就有 y＝4×3＝12

x＝6×12＝72． 答：祖父今年 72 岁．

说明：事实上，从 8a＝3b 这个公式看出 a 应为 3 的倍数，b 为 8 的倍数，如果取 a＝6、b＝16 或更大的话，将得出不合常理的结果． 例 5 下图中 8 个顶点处标注数字 a，b，c，d，e，f，g，h， 其

中的每一个数都等于相邻三个顶点处数的和的 1 。求：

3

（a＋b＋c＋d）－（e＋f＋g＋h）的值

解：由已知条件得：

3a＝b＋d＋e

3b＝a＋c＋f

3c＝b＋d＋g

3d＝a＋c＋h

把这四式相加，得

3（a＋b＋c＋d）＝2（a＋b＋c＋d）＋（e＋f＋g＋h）

∴a＋b＋c＋d＝e＋f＋g＋h

∴（a＋b＋c＋d）－（e＋f＋g＋h）＝0．

例 6 从 1～100 这 100 个不等的数中，每次取出 2 个数，要使它 们的和大于 100，有多少种不同的取法？

分析 在这 100 个不等的数中，每次取出 2 个其中必有一个较小 的，又这二数之和要大于 100，我们可以枚举较小数的所有可能取值 情况来讨论．

解：较小数是 1，有 1 种取法，即（1，100）； 较小数是 2，有 2 种取法，即（2，99），（ 2，100）；

…

较小数是 50，有 50 种取法，即（50，51），（ 50，52），（ 50，53），…，

（50，100）；

较小数是 51，有 49 种取法，即（51，52），（ 51，53），（ 51，54），…，

（51，100）；

…

较小数是 99，有 1 种取法，即（99，100）．

所以共有取法：

1＋2＋…＋49＋50＋49＋…＋2＋1

＝2（1＋2＋…＋49＋50）－50

＝ 2[ (50 +1) × 50 ] －50

2

＝2500（ 种 ）．

例 7 有 A、B、C 三人参加 M 项全能比赛，在每一个项目中，第 一名、第二名和第三名分别得分 P1、P2 和 P3，它们都是自然数，并 且 P1＞P2＞P3，最后计算总分时，A 得 22 分，B 与 C 均得 9 分，B 跑 百米第一，问：

①M 等于多少？

②在跳高比赛中，谁得第二名？

分析 我们来分析如何求 M，由于题中已知有百米和跳高两项比 赛，所以 M 至少是 2，又由已知条件知有：

M（P1＋P2＋P3）＝22＋9×2＝40

所以 M 是 40 的约数，M 的可能取值只有 2、4、5、8、10、20、40 以下只需依次枚举试验，淘汰非解．

解：由于 P1≥3，P2≥2，P1≥1，因此 M（1＋2＋3）≤M（P1＋P2

＋P3）＝40．也就是 M≤6，这样一来 M 只有三种可能取值了：2、4、

5．下面我们分别讨论．

如果 M＝2，这时只有百米和跳高两项比赛，由于 B 在百米赛中 得分 P1，他的总分只有 9 分，因此 P1 至多等于 8，这样 A 无论如何也

得不到 22 分，所以 M≠2．

如果 M＝4，这时有： P1＋P2＋P3＝10

由于 B 得了一个第一，所以他至少得分： P1＋3P3

又由于 B 的总分是 9，所以我们有： P1＋3P3≤9

由此不难看出 P1 不能超过 6，又由 A 得总分 22 知 P1 还不能小于

6，所以 P1＝6，这样一来就有 P2＋P3＝4，所以就有 P3＝1，P2＝3．这 是不可能的，因为这时 A 最多得分为 6×3＋3＝21，不够 22，因此 M

≠4．

排除了以上两种情况，只有 M＝5．下面我们来分析每个人的得 分情况，这时我们有：

P1＋P2＋P3＝8．

由于 P1、P2、P3 互不相同，所以 P3＝1，否则的话，左边至少等 于 2＋3＋4＝9＞8．因此就有 P1＋P2＝7．不难发现 P1 至多等于 5，同 时又不能小于 5，所以 P1＝5，从而也就有 P2＝2．我们用下表来表示 每个人的名次：且由表可见，C 是跳高比赛的第二名．

这个表的填充过程读者应自己地作一遍．

例 8  1978 年，有个人在介绍自己的家庭时说：我有一儿一女， 他们不是双胞胎，儿子年龄的立方，加上女儿年龄的平方，正好是我 的出生年，我是在 1900 年以后出生的，我的儿女都不满 21 岁，我比 我妻子大 8 岁，请求出全家每个人的年龄．

分析 本题的关键在于先确定儿子的年龄，其次是求出女儿的年 龄，这可用前面介绍的“筛”法来做到．

解：由于 133＝2197，所以儿子的年龄一定小于 13 岁；又由于 113

＝1331，既使加上 212＝441，也只是 1331＋441＝1772＜1900，所以 儿子的年龄一定大于 11 岁，只有 12 岁了．

设女儿的年龄为 x，根据已知条件有：

123＋x2＞1900

所以 x2＞1900－123

x2＞172

也就是说女儿的年龄大于 13 岁，又已知这个年龄小于 21 岁，所 以女儿的年龄可能岁数是：

14，15，16，17，18，19，20

如果 x＝15，那么父亲的出生年数就等于：

123＋152＝1953 这显然是不合理的（想一想为什么？），同样道理，女儿的年龄

也不能是大于 15 的数，只能是 14 岁． 这时父亲的出生年数为：

123＋142＝1924

1978 年时的年龄为：

1978－1924＝54（岁）

1978 年时母亲的年龄为：

54－8＝46（ 岁 ）： 答 ：（ 略 ）． 说明：从本题的解答可以发现，运用筛选法解题时，关键是确定

筛选的范围，范围越小，筛选的工作量越小． 从上面的几个例子我们看出，用枚举法解题的基本方法是： 按某种规律一一列举问题的有限个解；或者是：把研究对象划分

为不重复、不遗漏的若干类一一解决，从而得到原问题的解答． 有时为了求出某一答案，若不能直接解得，就可以运用筛选法，

也叫排除法，它的做法可以用四句话概括： 确定范围，逐一试验，淘汰非解，求出解答． 在遇到一个较复杂的问题时，一时不知从何下手，有时可先把问

题简单化，考虑它的特殊情形．在解决这个特殊情形的过程中，得到 启发，从而获得解决原题的方法，这样的解题方法，我们叫作从特殊 到一般的分析方法，简单地说就是难的不会，想简单的．

例 9 问 5 条直线最多将平面分为多少份？

分析 直接想五条直线的情况不好想，先研究一些简单的情况， 不难知道：

一条直线最多将平面分为 2 部分；

二条直线最多将平面分为 4 部分；

三条直线最多将平面分为 7 部分； 四条直线最多将平面分为 11 部分； 五条直线的图不易画出，所以很难下结论，分析一下上面特殊情

形的结论，看看能不能发现一些规律．

二条直线分平面的 4 部分恰好是在一条直线分平面的 2 部分的基 础上增添了 2 部分；三条直线分平面的 7 部分恰好是在二条直线分平 面的 4 部分的基础上增添了 3 部分，类似地，四条直线分平面的 11 部分是在三条直线分平面的 7 部分的基础上增添 4 部分，怎样解释这 个规律呢？我们以四条直线的情形作为例子．

三条直线将平面分为 7 部分，新加上一条虚线，由于要求分平面 的部分数尽可能多，所以新添虚线不能过实线的交点，这样，虚线与 三条实线有三个交点，这三个交点将虚线分为四段，其中的每一段都 将所在的平面部分一分为二，所以也就是使所分平面的份数增加 4．

解：因为四条直线最多分平面为 11 部分，添上第五条线，它与 前四条线至多有 4 个交点，这 4 个交点将第五条线分为 5 段，其中每 一段将所在平面部分一分为二，所以五条直线最多将平面分为 11＋5

＝16 部分．

说明：仿照前面的分析方法不难分析出 n 条直线最多分平面的部

分数为：

2＋2＋3＋…＋（n－1）＋n

=1 + n(n +1)

2

n2 + n + 2

=

2

例 10 在平面上画 20 个圆，问这 20 个圆最多可能将平面分为多

少个部分？

分析 直接画出 20 个圆去数当然是行不通的．先考虑一些简单的 情况：

一个圆最多分平面为 2 部分； 二个圆最多分平面为 4 部分； 三个圆最多分平面为 8 部分；

当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时，第二个圆应与第一个 圆有 2 个交点，这两个交点将新加的圆分为 2 段，其中每一段弧都将 所在平面部分一分为二，所以所分平面部分数在原有 2 部分的基础上 又增添 2 部分．同样道理，三个圆最多分平面的部分数是在 2 个圆分 平面为 4 部分的基础上又增加 4 部分．

解：继续前面的分析过程，画第 20 个圆时，与前 19 个圆最多有

19×2＝38 个交点，第 20 个圆的圆弧被分成为 38 段，也就是增加了

38 个区域，所以 20 个圆最多分平面的部分数为：

2＋1×2＋2×2＋…＋19×2

＝2＋2（1＋2＋3＋…＋19）

=2＋ 2 × 19 × (19 +1)

2

＝382．

说明：类似的分析我们可以得到计算 n 个圆最多分平面部分数的 公式：

2＋1×2＋2×2＋…＋（n－1）×2

＝2＋2[1＋2＋…＋（n－1）]

＝2＋n（n－1）

＝n2－n＋2．

例 11 有 70 个数排成一排，除两头两个数外，每个数的 3 倍都 恰好等于它两边两个数之和，已知前面两个数是 0 和 1，问最后一个 数除以 6 的余数是多少？

分析 直接求第 70 个数除以 6 的余数不容易，先求它除以 2 和除 以 3 的余数．

解：设最后一个数为 x，先求 x 除以 2 的余数，列出下表观察规 律：

我们发现这列数的规律是： 偶，奇，奇，偶，奇，奇，…

这个规律是可靠的，如果一个数左边两个数都是奇数，那么这个

数就是奇数的 3 倍减去一个奇数，所以这个数一定是偶数，同样可以 分析出，如果一个数左边两个数一奇一偶，那么这个数一定是奇数． 因为 70÷3 余 1，所以 x 是偶数，下面来求 x 除以 3 的余数，列

出下表观察一下这列数除以 3 余数的规律：

因为每个数的 3 倍是它两边两个数之和，所以间隔一个数的两个 数之和一定是 3 的倍数．所以不难分析出这列数除以 3 的余数规律是 ：

0，1，0，2，0，1，0，2，…

又由于 70÷4 余 2，所以第 70 个数 x 除以 3 的余数为 1． 我们已经知道 x 是一个除以 3 余 1 的偶数，所以 x 除以 6 应该余

4．

我们还可以用带余除式推出这个结论，因为 x 除以 3 余 1，所以

x 可以写成下式：

x=3k+1 （k 是自然数）

又因为 x 是偶数，所以 k 应是一个奇数，也就是说 k 被 2 除余 1， 写成带余除式就是：

k=2m+1 （m 是自然数） 综合两个式子就得到

x=3（2m+1）＋1＝6m+3+1=6m+4 因此，x 除以 6 余 4． 说明：本题的解法告诉我们，如果已知一个数除以两个数后各自

的余数，那么应如何去求它除以这两个数的乘积的余数．作为练习请

同学们完成下题．

已知某数除以 3 余 2，除以 4 余 3，求这个数除以 12 的余数是多 少？

例 12  43 位同学，他们身上带的钱从 8 分到 5 角，钱数互不相 同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片，画片只有两种，3 分一张和 5 分一张，每人都尽量多买 5 分一张的画片，问他们共买了 多少张 3 分的画片？

分析  本题实际上是要将 8 到 50 的所有自然数表示成若干个 3 与若干个 5 的和，其中 5 的个数要尽可能多．因为求的是 3 的个数， 所以只要求出 8 至 12 的表示中有多少个 3 即可．

解：我们有：

8=5+3

9=3＋3+3

10=5+5

11=5+3＋3

12=3+3+3＋3．

下面的表示式中 3 的个数不会再增加，只要在前面的表示中加 5 就可以了，例如．

13=8+5=5+5+3

14=9＋5=3＋3＋3＋5

等等

前五个式子中 3 的个数为：

1＋3+0+2+4=10．

因为 43÷5=8 余 3，所以 3 的总个数为：

10×8＋1＋3＋0＝84． 答：3 分的画片共买了 84 张． 思考：

①本题中如果要求 5 分画片共买多少张应怎样做？

②如果本题改为让 3 分画片尽可能多，求 5 分画片共有多少张， 应怎样做？

例 13 有十个人各拿一只提桶同时到水龙头前排队打水．设水龙 头注满第一个人的桶需要 1 分钟，注满第二个人的桶需要 2 分 钟 ，…， 如此下去．问：

①当只有一个水龙头时，应如何安排这十个人的次序，使他们总 的费时为最少？这时间等于多少分钟？

②当只有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使他 们总的花费时间为最少？这时间等于多少分钟？

分析 ①我们用 A1，A2，…，A9，A10 分别表示第一，第二，…， 第九，第十个人，先考虑只有 A1、A2 两个人的情形．

如果 A1 在前，A2 在后，总共花费的时间为：

1×2＋2×1=4（分钟）．

如果 A2 在前，A1 在后，总共花费的时间为：

2×2＋1×1=5（分钟）． 因此，对两个人的情况，提小桶的人在前，提大桶的人在后，总

共花费的时间最少，由此就不难知道十个人如何排列，总费时最少．

②先考虑只有 A1，A2，A3，A4 四个人的情况．这时候可能的排列 方法有以下几种：

总费时=1×1＋2×3＋3×2＋4×1＝17（分钟） 总费时=2×1＋1×3＋3×2＋4×1=15（分钟） 总费时=3×1＋1×3＋2×2＋4×1=14（分钟） 总费时=4×1+1×3+2×2+3×1=14（分钟） 总费时=1×2＋2×1＋3×2＋4×1=14（分钟） 总费时=1×2＋3×1＋2×2＋4×1=13（分钟）

通过比较发现，第 6 种方法最合理（甲龙头 A1A4、乙龙头 A2A3

费时与第 6 种方法一样多），下面就来分析十个人的排列方法．

解：①根据两个人的排队顺序规律，不难推测出多于 2 人的排队 方法应是从 A1 开始，按由小到大的顺序排队．因为在多于 2 人的排 队方法中，如有二人不是从小到大排列，只要交换这二人的位置，总 费时必然减少，所以本题十个人的排队方法为：

A1，A2，…，A9，A10

总共花费时间为：

1×10＋2×9＋3×8＋4×7＋5×6＋6×5＋7×4＋8×3+9×2+10

×1

=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2

=220（分钟）．

②根据四个人的排队规律，不难分析出十个人的排队规律为： 甲龙头：A1，A3，A5，A7，A9

乙龙头：A2，A4，A6，A8，A10

总共花费时间：

1×5＋3×4+5×3+7×2+9×1+2×5+4×4＋6×3＋8×2＋10×1

=125（分钟）。

习题十四

1．计算

①3.85－1 2 －1 5

②4×7.38×2.5

7        7

③19 27 ×23          ④ 4 − 1 −  1 −  1 −  1

28                                         9    3   15   35    63

⑤ 3.9×10.5÷（1.4×0.9×52）

2．某项工程，甲队独做 12 天完成，乙队独做 24 天完成，若按 整日安排两队工作，且两队合作的天数尽可能少，怎样安排才能使这 项工作恰好 10 天完成，这样两队合做了几天？

3．有一辆汽车，以某一固定的速度从甲地行驶至乙地，如果每 小时比原定的行驶速度快 6 公里，就可以早到 5 分钟；如果每小时比 原定的行驶速度慢 5 公里，就要迟到 6 分钟，求甲、乙两地的距离？

4．一项工程甲独做 50 天可以完成，乙独做 75 天完成，现在二 人合做，但中途乙因事离开了几天，从开工后 40 天把这个工程做完， 问乙中途离开几天？

5．从 1 到 1988 的自然数中，每次取两个不同的数，要使它们的 和大于 1988 共有多少种取法？

6．A，B 二人的对话如下： A 问：你有几个孩子？

B 答：3 个．

A 问：他们的年龄各是多少？

B 答：他们的年龄的积是 36，和恰好等于你家门牌号．

A 说：你的条件还不够．

B 说：老大现在上小学，其余两个还没上学． 请根据对话判断：三个孩子的年龄分别为多少岁？

7．有一串数，第一个数是 19，第二个数是 1988，以后每个数 是它前边两个数的差（以大减小），问这串数的第 19 个数是多少？

8．有一天，三个小朋友在图书馆相会，其中一个说：“现在我每 隔一天来一次．”第二个说：“我每隔两天来一次．”第三个说他每隔 三天来一次，管理员告诉他们说，每逢星期三闭馆，小朋友说，如果 预定来的日子正好是闭馆日，那就次日来，从今天开始，他们按这个 规律去图书馆，下一次在星期一他们三人又在图书馆相聚，问上次谈 话是星期几？下载本文