期 末 测 试 卷
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
第Ⅰ卷(选择题 共30分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．下列运算正确的是( )
A．2 B．|﹣3|＝﹣3 C．±2 D．3
2．传统佳节“春节”临近,剪纸民俗魅力四射,对称现象无处不在．观察下面的四幅剪纸,其中不是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
3．如图,已知∠ABC＝∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC
4．点A(3,5)关于x轴的对称点的坐标为( )
A．(3,﹣5) B．(﹣3,﹣5) C．(﹣3,5) D．(﹣5,3)
5．已知一次函数y＝﹣2x+3,当0≤x≤5时,函数y的最大值是( )
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣7
6．下列各组数中,是勾股数的为( )
A．1,1,2 B．1.5,2,2.5 C．7,24,25 D．6,12,13
7．如图,已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A(5,0)与B(0,﹣4),那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是( )
A．x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣4 D．x＞﹣4
8．如图,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝120°,BC＝6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为( )
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
9．如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接PA、PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．已知一次函数y＝(m﹣1)x的图象上两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1＞x2时,有y1＜y2,那么m的取值范围是( )
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1
第Ⅱ卷(非选择题 共120)
注意事项：1．第Ⅱ卷分填空题和解答题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案,考生须用0.5毫米黑色签字笔答在试卷规定的区域内．
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
11．若一个数的立方根是﹣3,则这个数是 ．
12．如图,已知：AB＝AC,D是BC边的中点,则∠1+∠C＝ 度．
13．若12.63823,则 ．(精确到0.01)．
14．小刚画了一张对称的脸谱,他对妹妹说：“如果我用(1,4)表示一只眼,用(2,2)表示嘴,那么另一只眼的位置可以表示成 ．
15．将函数y＝5x的图象沿y轴向下平移3个单位长度,所得直线的函数表达式为 ．
16．已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为 ．
17．如图,点O为线段AB上的任意一点(不与A,B重合),分别以AO,BO为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和△BOD,OA＝OC,OB＝OD,∠AOC与∠BOD都是锐角,且∠AOC＝∠BOD,AD与BC相交于点P,∠COD＝110°,则∠APB＝ °．
18．如图,直线y＝x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B,x轴上有一点C(﹣4,0),点P为直线一动点,当PC+PO值最小时点P的坐标为 ．
三．解答题(共10小题,满分96分)
19．(1)已知：2(x﹣3)2＝50,求x；
(2)计算：
20．在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在正方形网格的格点(网格线的交点)上．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系,使点A坐标为(1,3)点B坐标为(2,1)；
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C',并写出点C'的坐标；
(3)判断△ABC的形状．并说明理由．
21．已知y﹣1与x+2成正比例,且x＝﹣1时,y＝3．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)它的图象经过点(m﹣1,m+1),求m的值．
22．如图,在△ABC中,AB＝AC,DE是边AB的垂直平分线,交AB于E、交AC于D,连接BD．
(1)若∠A＝40°,求∠DBC的度数；
(2)若△BCD的周长为16cm,△ABC的周长为26cm,求BC的长．
23．如图,已知△ABC中,AB＝AC,BD＝CE,
(1)求证：△ABE≌△ACD．
(2)如果∠BAC＝75°,∠BAD＝30°,求∠DAE的度数．
24．在等边三角形ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP＝∠ACQ,BP＝CQ．
(1)求证：△ABP≌△ACQ；
(2)请判断△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论．
25．为倡导绿色出行,某共享单车近期登陆徐州,根据连续骑行时长分段计费：骑行时长在2h以内(含2h)的部分,每0.5h计费1元(不足0.5h按0.5h计算)； 骑行时长超出2h的部分,每小时计费4元(不足1h按1h计算)．
根据此收费标准,解决下列问题：
(1)连续骑行5h,应付费多少元?
(2)若连续骑行xh(x＞2且x为整数) 需付费y元,则y与x的函数表达式为 ；
(3)若某人连续骑行后付费24元,求其连续骑行时长的范围．
26．一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米,如图是油箱剩余油量y(升)关于加满油后已行驶的路程x(千米)的函数图象．
(1)根据图象,直接写出汽车行驶400千米时,油箱内的剩余油量,并计算加满油时油箱的油量；
(2)求y关于x的函数关系式,并计算该汽车在剩余油量5升时,已行驶的路程．
27．基本图形：在Rt△ABC中,AB＝AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE．
探索：(1)连接EC,如图①,试探索线段BC,CD,CE之间满足的等量关系,并证明结论；
(2)连接DE,如图②,试探索线段DE,BD,CD之间满足的等量关系,并证明结论；
联想：(3)如图③,在四边形ABCD中,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝3,CD＝1,则AD的长为 ．
28．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠A＝60°,CD平分∠ACB,试判断BC和AC、AD之间的数量关系．
小明发现,利用轴对称做一个变化,在BC上截取CA′＝CA,连接DA′,得到一对全等的三角形,从而将问题解决(如图2)．
请回答：
(1)在图2中,小明得到的全等三角形是△ ≌△ ；BC和AC、AD之间的数量关系是 ．
(2)参考小明思考问题的方法,解决问题：
如图3,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,BC＝CD＝10,AC＝17,AD＝9．求AB的长．
(3)如图4,在平面直角坐标系中,直线y＝﹣x+4交x轴于点A,交y轴于点B,C是OA的中点,D为AB上一点,且∠DCA＝∠BCO,连接OD,CD,求．
答案与解析
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．下列运算正确的是( )
A．2 B．|﹣3|＝﹣3 C．±2 D．3
[答案]A
[解析]A、2,此选项计算正确；
B、|﹣3|＝3,此选项计算错误；
C、2,此选项计算错误；
D、不能进一步计算,此选项错误；
故选：A．
[点睛]本题主要考查算术平方根,解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义、绝对值性质．
2．传统佳节“春节”临近,剪纸民俗魅力四射,对称现象无处不在．观察下面的四幅剪纸,其中不是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
[答案]C
[解析]A、是轴对称图形,不符合题意；
B、是轴对称图形,不符合题意；
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,符合题意；
D、是轴对称图形,不符合题意．
故选：C．
[点睛]此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义,掌握中心对称图形与轴对称图形的概念,解答时要注意：
判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180度后与原图重合．
3．如图,已知∠ABC＝∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC
[答案]C
[解析]A、∠A＝∠D,∠ABC＝∠DCB,BC＝BC,符合AAS,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误；
B、∠ABC＝∠DCB,BC＝CB,∠ACB＝∠DBC,符合ASA,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误；
C、∠ABC＝∠DCB,AC＝BD,BC＝BC,不符合全等三角形的判定定理,即不能推出△ABC≌△DCB,故本选项正确；
D、AB＝DC,∠ABC＝∠DCB,BC＝BC,符合SAS,即能推出△ABC≌△DCB,故本选项错误；
故选：C．
[点睛]本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质的应用,能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键,注意：全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS．
4．点A(3,5)关于x轴的对称点的坐标为( )
A．(3,﹣5) B．(﹣3,﹣5) C．(﹣3,5) D．(﹣5,3)
[答案]A
[解析]点A(3,5)关于x轴的对称点的坐标为：(3,﹣5)．
故选：A．
[点睛]此题主要考查了关于x轴对称点的性质,正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
5．已知一次函数y＝﹣2x+3,当0≤x≤5时,函数y的最大值是( )
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣7
[答案]B
[解析]∵一次函数y＝﹣2x+3中k＝﹣2＜0,
∴y的值随x的值增大而减小,
∴在0≤x≤5范围内,
x＝0时,函数值最大﹣2×0+3＝3．
故选：B．
[点睛]一次函数y＝kx+b的图象的性质：
①当k＞0,y的值随x的值增大而增大；
②当k＜0,y的值随x的值增大而减小．
6．下列各组数中,是勾股数的为( )
A．1,1,2 B．1.5,2,2.5 C．7,24,25 D．6,12,13
[答案]C
[解析]A、∵12+12≠22,∴不是勾股数,此选项错误；
B、1.5和2.5不是整数,此选项错误；
C、∵72+242＝252,∴是勾股数,此选项正确；
D、∵62+122≠132,∴不是勾股数,此选项错误．
故选：C．
[点睛]此题考查了勾股数,说明：
①三个数必须是正整数,例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2,但是它们不是正整数,所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；…
7．如图,已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A(5,0)与B(0,﹣4),那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是( )
A．x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣4 D．x＞﹣4
[答案]A
[解析]由题意可得：一次函数y＝kx+b中,y＜0时,图象在x轴下方,x＜5,
则关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5,
故选：A．
[点睛]此题主要考查了一次函数与一元一次不等式,关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
8．如图,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝120°,BC＝6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为( )
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
[答案]C
[解析]
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D,
∵在△ABC中,AB＝AC,∠A＝120°,BC＝6cm,
∴∠B＝∠C＝30°,BD＝CD＝3cm,
∴AB2cm＝AC,
∵AB的垂直平分线EM,
∴BEABcm
同理CFcm,
∴BM2cm,
同理CN＝2cm,
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm,
故选：C．
[点睛]本题考查了线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形性质,解直角三角形等知识点的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
9．如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接PA、PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
[答案]B
[解析]如图所示,使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3,
故选：B．
[点睛]本题考查了等腰直角三角形的判定,正确的找出符合条件的点P是解题的关键．
10．已知一次函数y＝(m﹣1)x的图象上两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1＞x2时,有y1＜y2,那么m的取值范围是( )
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1
[答案]D
[解析]∵一次函数y＝(m﹣1)x的图象上两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1＞x2时,有y1＜y2
∴m﹣1＜0
∴m＜1
故选：D．
[点睛]本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,利用一次函数增减性解决问题是本题的关键．
第Ⅱ卷(非选择题 共120分)
注意事项：1．第Ⅱ卷分填空题和解答题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案,考生须用0.5毫米黑色签字笔答在试卷规定的区域内．
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
11．若一个数的立方根是﹣3,则这个数是 ．
[答案]﹣27．
[解析]∵(﹣3)3＝﹣27,
∴﹣27的立方根是﹣3．
∴这个数是﹣27．
故答案为：﹣27．
[点睛]本题主要考查的是立方根的定义,掌握立方根的定义是解题的关键．
12．如图,已知：AB＝AC,D是BC边的中点,则∠1+∠C＝ 度．
[答案]90
[解析]∵AB＝AC,
∴∠B＝∠C,
∵D是BC边的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠1+∠B＝90°,
∴∠1+∠C＝90°．
故答案为：90．
[点睛]本题考查了等腰三角形的性质；等腰三角形底边上的中线、高线以及顶角的平分线三线合一的熟练应用是正确解答本题的关键．
13．若12.63823,则 ．(精确到0.01)．
[答案]12.．
[解析]∵12.63823,
∴12.．
故答案为：12.．
[点睛]考查了立方根,近似数,关键是熟练掌握四舍五入法求近似数．
14．小刚画了一张对称的脸谱,他对妹妹说：“如果我用(1,4)表示一只眼,用(2,2)表示嘴,那么另一只眼的位置可以表示成 ．
[答案](3,4)．
[解析]∵用(1,4)表示一只眼,用(2,2)表示嘴,
∴另一只眼的位置可以表示成：(3,4)．
故答案为：(3,4)．
[点睛]此题主要考查了坐标确定位置,利用点的对称性得出对应点坐标是解题关键．
15．将函数y＝5x的图象沿y轴向下平移3个单位长度,所得直线的函数表达式为
[答案]y＝5x﹣3．
[解析]将函数y＝5x的图象沿y轴向下平移3个单位长度,所得直线的函数表达式为：y＝5x﹣3,
故答案为：y＝5x﹣3．
[点睛]本题考查了一次函数图象与几何变换,利用函数图象的平移规律是解题关键．
16．已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为
[答案]40°或100°
[解析]△ABC,AB＝AC．
有两种情况：
(1)顶角∠A＝40°,
(2)当底角是40°时,
∵AB＝AC,
∴∠B＝∠C＝40°,
∵∠A+∠B+∠C＝180°,
∴∠A＝180°﹣40°﹣40°＝100°,
∴这个等腰三角形的顶角为40°和100°．
故答案为：40°或100°．
[点睛]本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握,能对有的问题正确地进行分类讨论．
17．如图,点O为线段AB上的任意一点(不与A,B重合),分别以AO,BO为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和△BOD,OA＝OC,OB＝OD,∠AOC与∠BOD都是锐角,且∠AOC＝∠BOD,AD与BC相交于点P,∠COD＝110°,则∠APB＝ 145 °．
[答案]145．
[解析]如图,∵∠AOC＝∠BOD,
∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD,
∴∠AOD＝∠COB,
在△AOD和△COB中,,
∴△AOD≌△COB．
∵∠COD＝110°,∠AOC＝∠BOD,
∴∠AOC＝∠BOD＝(180°﹣110°)÷2＝35°,
∵△AOD≌△COB,
∴∠OAD＝∠OCB,
∴∠CMP＝∠AMO,
∴∠CPM＝∠AOC＝35°,
∴∠APB＝180°﹣∠CPM＝180°﹣35°＝145°．
故答案为：145．
[点睛]本题考查了全等三角形的性质与判定,解决本题的关键是证明△AOD≌△COB．
18．如图,直线y＝x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B,x轴上有一点C(﹣4,0),点P为直线一动点,当PC+PO值最小时点P的坐标为
[答案](,)
[解析]如图,作点C关于直线y＝x+6的对称点C′,连接AC′,
OC′交直线y＝x+6于点P,则点P即为所求,
∵直线y＝x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B,
∴A(﹣6,0),B(0,6),
∴∠BAO＝45°．
∵CC′⊥AB,
∴∠ACC′＝45°．
∵点C,C′关于直线AB对称,
∴AB是线段CC′的垂直平分线,
∴△ACC′是等腰直角三角形,
∴AC＝AC′＝2,
∴C′(﹣6,2)．
设直线OC′的解析式为y＝kx(k≠0),则2＝﹣6k,解得k,
∴直线OC′的解析式为yx,
∴,解得,
∴P(,)．
故答案为：(,)．
[点睛]本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
三．解答题(共10小题)
19．(1)已知：2(x﹣3)2＝50,求x；
(2)计算：
[分析](1)直接利用平方根的定义计算得出答案；
(2)直接利用立方根以及绝对值的性质分别化简得出答案．
[解析](1)(x﹣3)2＝25,
则x﹣3＝±5,
解得：x＝8或x＝﹣2；
(2)原式＝2﹣3﹣(1)
＝﹣11
．
[点睛]此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键．
20．在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在正方形网格的格点(网格线的交点)上．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系,使点A坐标为(1,3)点B坐标为(2,1)；
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C',并写出点C'的坐标；
(3)判断△ABC的形状．并说明理由．
[分析](1)根据点A及点C的坐标,易得y轴在C的右边一个单位,x轴在C的下方3个单位,建立直角坐标系即可；
(2)根据对称轴垂直平分对应点连线,可得各点的对称点,顺次连接即可；
(3)根据勾股定理的逆定理判断即可；
[解析](1)如图所示：
(2)如图所示：△A'B'C'即为所求：
C'的坐标为(﹣5,5)；
(3)∵AB2＝1+4＝5,AC2＝4+16＝20,BC2＝9+16＝25,
∴AB2+AC2＝BC2,
∴△ABC是直角三角形．
[点睛]本题考查了轴对称作图的知识及直角坐标系的建立,解答本题的关键是掌握轴对称的性质,准确作图．
21．已知y﹣1与x+2成正比例,且x＝﹣1时,y＝3．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)它的图象经过点(m﹣1,m+1),求m的值．
[答案](1)根据y﹣1与x+2成正比例,设y﹣1＝k(x+2),把x与y的值代入求出k的值,即可确定出关系式；
(2)把点(m﹣1,m+1)代入一次函数解析式求出m的值即可．
[解析](1)根据题意：设y﹣1＝k(x+2),
把x＝﹣1,y＝3代入得：3﹣1＝k(﹣1+2),
解得：k＝2．
则y与x函数关系式为y＝2(x+2)+1＝2x+5；
(2)把点(m﹣1,m+1)代入y＝2x+5得：m+1＝2(m﹣1)+5
解得m＝﹣2．
[点睛]此题考查了待定系数法求一次函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．如图,在△ABC中,AB＝AC,DE是边AB的垂直平分线,交AB于E、交AC于D,连接BD．
(1)若∠A＝40°,求∠DBC的度数；
(2)若△BCD的周长为16cm,△ABC的周长为26cm,求BC的长．
[分析](1)首先计算出∠ABC的度数,再根据线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等可得AD＝BD,进而可得∠ABD＝∠A＝40°,然后可得答案；
(2)根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB,AE＝BE,然后再计算出AC+BC的长,再利用△ABC的周长为26cm可得AB长,进而可得答案．
[解析](1)∵AB＝AC,
∴∠ABC＝∠C,∠A＝40°,
∴∠ABC70°,
∵DE是边AB的垂直平分线,
∴DA＝DB,
∴∠DBA＝∠A＝40°,
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°；
(2)∵△BCD的周长为16cm,
∴BC+CD+BD＝16,
∴BC+CD+AD＝16,
∴BC+CA＝16,
∵△ABC的周长为26cm,
∴AB＝26﹣BC﹣CA＝26﹣16＝10,
∴AC＝AB＝10,
∴BC＝26﹣AB﹣AC＝26﹣10﹣10＝6cm．
[点睛]此题主要考查了线段垂直平分线的性质,关键是掌握线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等．
23．如图,已知△ABC中,AB＝AC,BD＝CE,
(1)求证：△ABE≌△ACD．
(2)如果∠BAC＝75°,∠BAD＝30°,求∠DAE的度数．
[分析](1)由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C,由BD＝CE可得BE＝CD,根据“SAS”可证△ABE≌△ACD；
(2)根据全等三角形的性质可得∠BAE＝∠CAD,可得∠BAD＝∠CAE＝30°,即可求∠DAE的度数．
[解答]证明：(1)∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵BD＝CE
∴BE＝CD,且AB＝AC,∠B＝∠C,
∴△ABE≌△ACD(SAS)
(2)由(1)得,△ABE≌△ACD
∴∠BAE＝∠CAD
∴∠BAD＝∠CAE＝30°
∴∠DAE＝150
[点睛]本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
24．在等边三角形ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP＝∠ACQ,BP＝CQ．
(1)求证：△ABP≌△ACQ；
(2)请判断△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论．
[分析](1)根据等边三角形的性质可得AB＝AC,再根据SAS证明△ABP≌△ACQ；
(2)根据全等三角形的性质得到AP＝AQ,再证∠PAQ＝60°,从而得出△APQ是等边三角形．
[解答]证明：(1)∵△ABC为等边三角形,
∴AB＝AC,∠BAC＝60°,
在△ABP和△ACQ中,
,
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
(2)∵△ABP≌△ACQ,
∴∠BAP＝∠CAQ,AP＝AQ,
∵∠BAP+∠CAP＝60°,
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠CAP＝60°,
∴△APQ是等边三角形．
[点睛]本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,考查了正三角形的判定,本题中求证△ABP≌△ACQ是解题的关键．
25．为倡导绿色出行,某共享单车近期登陆徐州,根据连续骑行时长分段计费：骑行时长在2h以内(含2h)的部分,每0.5h计费1元(不足0.5h按0.5h计算)； 骑行时长超出2h的部分,每小时计费4元(不足1h按1h计算)．
根据此收费标准,解决下列问题：
(1)连续骑行5h,应付费多少元?
(2)若连续骑行xh(x＞2且x为整数) 需付费y元,则y与x的函数表达式为 y＝4x﹣4 ；
(3)若某人连续骑行后付费24元,求其连续骑行时长的范围．
[分析](1)连续骑行5h,要分两个阶段计费：前两个小时,按每个小时2元计算,后3个小时按每个小时计算,可得结论；
(2)根据超过2h的计费方式可得：y与x的函数表达式；
(3)根据题意可知：里程超过2个小时,根据(2)的表达式可得结果．
[解析](1)当x＝5时,y＝2×2+4×(5﹣2)＝16,
∴应付16元；
(2)y＝4(x﹣2)+2×2＝4x﹣4；
故答案为：y＝4x﹣4；
(3)当y＝24,24＝4x﹣4,
x＝7,
∴连续骑行时长的范围是：6＜x≤7．
[点睛]本题是一次函数的应用,考查了分段函数的知识,属于基础题,解答本题的关键是仔细审题,得出各段的收费标准．
26．一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米,如图是油箱剩余油量y(升)关于加满油后已行驶的路程x(千米)的函数图象．
(1)根据图象,直接写出汽车行驶400千米时,油箱内的剩余油量,并计算加满油时油箱的油量；
(2)求y关于x的函数关系式,并计算该汽车在剩余油量5升时,已行驶的路程．
[分析](1)由图象可知：汽车行驶400千米,剩余油量30升,行驶时的耗油量为0.1升/千米,则汽车行驶400千米,耗油400×0.1＝40(升),故加满油时油箱的油量是40+30＝70升．
(2)设y＝kx+b(k≠0),把(0,70),(400,300)坐标代入可得：k＝﹣0.1,b＝70,求出解析式,当y＝5 时,可得x＝650．
[解析](1)由图象可知：汽车行驶400千米,剩余油量30升,
∵行驶时的耗油量为0.1升/千米,则汽车行驶400千米,耗油400×0.1＝40(升)
∴加满油时油箱的油量是40+30＝70升．
(2)设y＝kx+b(k≠0),
把(0,70),(400,30)坐标代入可得：k＝﹣0.1,b＝70
∴y＝﹣0.1x+70,
当y＝5 时,x＝650
即已行驶的路程的为650千米．
[点睛]该题是根据题意和函数图象来解决问题,考查学生的审题识图能力和待定系数法求解析式以及根根解析式求值．
27．基本图形：在Rt△ABC中,AB＝AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE．
探索：(1)连接EC,如图①,试探索线段BC,CD,CE之间满足的等量关系,并证明结论；
(2)连接DE,如图②,试探索线段DE,BD,CD之间满足的等量关系,并证明结论；
联想：(3)如图③,在四边形ABCD中,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝3,CD＝1,则AD的长为 2 ．
[分析](1)结论：BC＝DC+EC．证明△BAD≌△CAE(SAS)即可解决问题．
(2)结论：BD2+CD2＝DE2．由△BAD≌△CAE,推出BD＝CE,∠ACE＝∠B,可得∠DCE＝90°,利用勾股定理即可解决问题．
(3)法一：构造如图所示图形,△ADE是等腰直角三角形,易得△ABE≌△ACD,BE＝CD,∠BEA＝∠ADC＝45°,再得△BED是直角三角形,得,所以AD＝2．
法二：作AE⊥AD,使AE＝AD,连接CE,DE．由△BAD≌△CAE(SAS),推出BD＝CE＝3,由∠ADC＝45°,∠EDA＝45°,可得∠EDC＝90°,再利用勾股定理即可解决问题．
[解析](1)结论：BC＝DC+EC．
理由：如图①中,
∵∠BAC＝∠DAE＝90°,
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD＝∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD＝CE,
∴BC＝BD+CD＝EC+CD,
即：BC＝DC+EC；
(2)结论：BD2+CD2＝DE2．
理由：连接CE,
由(1)得,△BAD≌△CAE,
∴BD＝CE,∠ACE＝∠B,
∴∠DCE＝90°,
∴CE2+CD2＝ED2．
(3)法一：构造如图所示图形,△ADE是等腰直角三角形,易得△ABE≌△ACD,BE＝CD,∠BEA＝∠ADC＝45°,再得△BED是直角三角形,得,所以AD＝2．
法二：作AE⊥AD,使AE＝AD,连接CE,DE．
∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD,
即∠BAD＝∠CAE,
在△BAD与△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD＝CE＝3,
∵∠ADC＝45°,∠EDA＝45°,
∴∠EDC＝90°,
∴DE,
∵∠DAE＝90°,
∴AD2+AE2＝DE2
∴AD＝2．
故答案为2．
[点睛]本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的性质,旋转变换,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．
28．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠A＝60°,CD平分∠ACB,试判断BC和AC、AD之间的数量关系．
小明发现,利用轴对称做一个变化,在BC上截取CA′＝CA,连接DA′,得到一对全等的三角形,从而将问题解决(如图2)．
请回答：
(1)在图2中,小明得到的全等三角形是△ ADC ≌△ A′DC ；BC和AC、AD之间的数量关系是 BC＝AC+AD ．
(2)参考小明思考问题的方法,解决问题：
如图3,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,BC＝CD＝10,AC＝17,AD＝9．求AB的长．
(3)如图4,在平面直角坐标系中,直线y＝﹣x+4交x轴于点A,交y轴于点B,C是OA的中点,D为AB上一点,且∠DCA＝∠BCO,连接OD,CD,求．
[分析](1)由CD平分∠ACB知∠ACD＝∠A′CD,结合CA＝CA′,CD＝CD即可判定△ADC≌△A′DC；由全等性质知AC＝A′C,AD＝A′D,再证A′B＝AD可得答案；
(2)在AB上截取AE＝AD,连接CE,先证△ADC≌△AEC得AE＝AD＝9,CE＝CD＝10＝BC,作CF⊥AB,设EF＝BF＝x,利用勾股定理求得x＝6,根据AB＝AE+EF+FB可得答案；
(3)在BC上取D′,使得CD＝CD′,先证△ACD≌△OCD′得AD＝OD′,∠CAD＝∠COD′,再证△OBD′≌△AOD得BD′＝OD,根据BC＝BD′+CD′＝OD+CD代入求解可得．
[解析](1)在图2中,∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD＝∠A′CD,
∵CA＝CA′,CD＝CD,
∴△ADC≌△A′DC(SAS),即小明得到的全等三角形是△ADC≌△A′DC,
∴AC＝A′C,AD＝A′D,∠A＝∠CA′D＝60°,
∵∠ACB＝90°,∠A＝60°,
∴∠B＝30°,
∴∠A′DB＝∠B＝30°,
∴A′D＝A′B,
∴A′B＝AD,
∵BC＝A′C+A′B,
∴BC＝AC+AD,
故答案为：ADC,A′DC,BC＝AC+AD．
(2)在AB上截取AE＝AD,连接CE,如图3所示：
∵AC平分∠BAD,
∴∠DAC＝∠EAC．
在△AEC和△ADC中,
∵
∴△ADC≌△AEC(SAS),
∴AE＝AD＝9,CE＝CD＝10＝BC,
过点C作CF⊥AB于点F,
∴EF＝BF,
设EF＝BF＝x．
在Rt△CFB中,∠CFB＝90°,由勾股定理得CF2＝CB2﹣BF2＝102﹣x2,
在Rt△CFA中,∠CFA＝90°,由勾股定理得CF2＝AC2﹣AF2＝172﹣(9+x)2．
∴102﹣x2＝172﹣(9+x)2．解得：x＝6,
∴AB＝AE+EF+FB＝9+6+6＝21,
∴AB的长为21．
(3)在BC上取D′,使得CD＝CD′,
∵C是OA中点,
∴CO＝CA,
∵∠ACD＝∠OCD′,
∴△ACD≌△OCD′(SAS),
∴AD＝OD′,∠CAD＝∠COD′,
∵y＝﹣x+4与x轴的交点A(4,0),与y轴的交点B(0,4),
∴OA＝OB＝4,∠OAB＝∠OBA＝45°＝∠COD′,
∴∠BOD′＝∠OAD＝45°,
在△OBD′和△AOD中,
∵,
∴△OBD′≌△AOD(SAS),
∴BD′＝OD,
则BC＝BD′+CD′＝OD+CD,
∴1．
[点睛]本题是一次函数的综合问题,解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质,勾股定理的运用及一次函数图象上点的坐标特征等知识点．下载本文
