一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、

C 、

D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑

1.剪纸是我国特别悠久的民间艺术形式之一，它是人们用祥和的图案期望吉祥、幸福的一种寄托．下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（）

A. B.

C. D.

C

【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．

【详解】解：A ．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B ．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C ．是轴对称图形，故此选项符合题意；

D ．不是轴对称图形，故此选项不合题意．

故选：C ．

【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的特点把一个图形对折后，折痕两边的部分能够完全重合，像这样的图形叫轴对称图形是解题的关键．

2.计算2()x x - 的结果是（

）A.3

x - B.2

x - C.3x D.2x A

【分析】根据同底数幂的乘法法则解决此题．

【详解】解：23()x x x -=- 故选：A ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．

3.下列运算正确的是（

）A.325x x =（） B.224

325x x x +=C.826

x x x ÷= D.22222xy x y =（）

C

【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．

【详解】解：A 、326x x =（），故A 不符合题意；

B 、222325x x x +=，故B 不符合题意；

C 、826x x x ÷=，故C 符合题意；

D 、22224xy x y =（），故D 不符合题意；

故选：C ．

【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

4.下列计算正确的是（

）

A.3=-

B.

2= C.

123= D.(210

-=B

【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别计算，进而判断得出答案．

【详解】解：A 3=，故此选项不合题意；

B

2=，故此选项符合题意；

C 3

==，故此选项不合题意；

D ．(220-=，故此选项不合题意；

故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．

5.下列算式中，结果为224x y -的是（

）A.()22x y - B.22x y x y -+--（）（）

C.22x y x y -+（）（）

D.22x y x y --+（）（）B

【分析】运用平方差公式进行因式分解．

【详解】22224x y x y x y -+--=-（）（），

故选B ．

【点睛】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．

6.下列变形中，是因式分解的是（）

B.()2

481421x x x x --=--C.2422x y x xy

=⋅ D.()()

1ax x ay y a x y +++=++D 【分析】根据因式分解的定义进行求解即可：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解．

【详解】解：A 、()()2

2356x x x x ++=++，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；

B 、()2

481421x x x x --=--，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；C 、2422x y x xy =⋅不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；

D 、()()1ax x ay y a x y +++=++，是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，是因式分解，符合题意；故选D ．

【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．

7.如图，在ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接AD ．若69AB BC ==，则ABD △的周长为（）

A.24

B.21

C.18

D.15

D

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA DC =，根据三角形的周长公式计算，得到答案．

【详解】∵DE 是AC 的垂直平分线，

∴DA DC =，

∴ABD △的周长6915AB BD AD AB BD DC AB BC =++=++=+=+=，

故选：D ．

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

8.已知36a =，92b =，则23a b -=（

）A.3

B.18

C.6

D.1.5

A

【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可．

【详解】解：当36a =，92b =时，

23a b -=233a b ÷39a b =÷62=÷3=．

故选：A ．

【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．9.已知210

4a a -+

+，则ab ＝（）A.1

B.1-

C.4

D.4

-B 【分析】根据偶次方和绝对值的非负性求出a ，b 的值，代入代数式求值即可得出答案．

【详解】解：原式变形为：21()02a -+=，∴10,202a b -

=+=，∴1,22

a b ==-，∴1

22ab =-⨯

＝1-．

故选：B ．

【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键．10.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式()2

a b +的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计

算()10+a b 的展开式中第三项的系数为（

）A.36

B.45

C.55

D.66

B 【分析】根据“杨辉三角”确定出所求展开式第三项的系数即可．

【详解】找规律发现()3

a b +的第三项系数为312=+；()4a b +的第三项系数为6123=++；

()5a b +的第三项系数为101234=+++；

不难发现()n a b +的第三项系数为()()12321n n +++⋯+-+-，

∴()10

+a b 第三项系数为123945+++⋯+=，

故选：B ．

【点睛】此题考查了探索数字规律以及数学常识，弄清“杨辉三角”中的系数规律是解本题的关键．

11.如图，两个正方形边长分别为a ，b ，已知7a b +=，9ab =，则阴影部分的面积为（） A.10 B.11 C.12 D.13

B

【分析】根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a 的正方形面积减去边长为a 的等腰直角三角形面积，再减去边长为a b -和b 的直角三角形面积，即可得

()2212

a a

b b -+，根据完全平方公式的变式应用可得()2132a b ab ⎡⎤+-⎣

⎦，代入计算即可得出答案．【详解】解：根据题意可得，2211()22S a a a b b =---阴()2212a ab b =-+()

2212a ab b =-+()2132a b ab ⎡⎤=+-⎣

⎦∵7a b +=，9ab =，∴()21739112S =⨯-⨯=阴，故选：B ．

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．

12.如图，在ABC 中，AB AC ＝，点D 是ABC 外一点，连接AD BD CD 、、，且BD 交AC 于点O ，在BD 上取一点E ，使得AE AD EAD BAC =∠=∠，若61ABC ∠=︒，则BDC ∠的度数为（）

A.56︒

B.58︒

C.60︒

D.62︒

B

【分析】根据SAS 证明ABE ACD ≌，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．

【详解】解：∵EAD BAC ∠=∠，

∴BAC EAC EAD EAC ∠-∠=∠-∠，

即：BAE CAD ∠=∠；

在ABE 和ACD 中，

AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴ABE ACD ≌（SAS ），

∴ABD ACD ∠=∠，

∵BOC ∠是ABO 和DCO 的外角，

∴BOC ABD BAC BOC ACD BDC ∠=∠+∠∠=∠+∠，

∴ABD BAC ACD BDC ∠+∠=∠+∠，

∴BAC BDC ∠=∠，

∵61ABC ACB ∠=∠=︒，

∴180180616158BAC ABC ACB ∠︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒＝，

∴58BDC BAC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.

13.

在实数范围内有意义，则x 的取值范围为______．

x ≥-3

【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．

【详解】解：依题意有x +3≥0，

解得：x ≥-3．

故答案为：x ≥-3．

【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握定义是解题关键．

14.分解因式：2222x y -=_____．()()2x y x y +-【分析】先提取公因式2，然后再根据平方差公式分解即可解答．

【详解】解：()()()22222x 2y 2x y

2x y x y -=-=+-．故答案为：()()2x y x y +-．

【点睛】本题主要考查了运用提公因式法和公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解是解答本

15.一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是_____．

17

【分析】分腰长为3和7两种情况求解，注意三角形三边关系定理的使用．

【详解】解：（1）若3为腰长，7为底边长，

由于3+3<7，则三角形不存在；

（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．

所以这个三角形的周长为7+7+3=17．

故答案为：17．【点睛】本题考查了等腰三角形的分类计算和三角形三边关系定理，正确分类计算是解题的关键．

16.已知()2x ax +与()

23x x b -+所得乘积的结果中不含2x 和3x 的项，则a b +=_____．12【分析】先计算两个整式的积，根据积中不含2x 和3x 的项得关于a 、b 的方程，求出a 、b 的值，代入求值即可得到答案．

【详解】解：根据题意得()2x ax +⋅()

23x x b -+4323233x x bx ax ax abx =-++-+()()43233x a x b a x abx =+-+-+，

∵乘积的结果中不含2x 和3x 的项，

∴3030a b a -=⎧⎨-=⎩，解得39

a b =⎧⎨=⎩，∴3912a b +=+=，

故答案为：12．

【点睛】本题考查代数式求值，涉及整式的乘法、多项式乘多项式法则，理解积中不含2x 和3x 的项是解决本题的关键．

17.如图，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，点D 是AB 上一点，且5BD CD ==，15DBC ∠=︒，则BCD △的面积为_____．

254

【分析】根据等腰三角形的性质、三角形外角性质得出30ADC ∠=︒，根据直角三角形中，30︒所对的直角边是斜边的一半，得12

AC CD =，根据三角形面积公式求解，即可．

【详解】∵5BD CD ==，15DBC ∠=︒，

∴15DBC DCB ∠=∠=︒，∴30ADC DBC DCB ∠=∠+∠=︒，

∴1522AC DC =

=，∴1152552224BDC S BD AC =⨯⨯=⨯⨯= ．故答案为：254．【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形的外角的性质，等边对等角，直角三角形中，30︒所对的直角边是斜边的一半．

18.整数m 满足关于x ，y 的二元一次方程组214x y m x y m +=⎧⎨-=-⎩的解是正整数，且关于x 的不等式组54028x m x ->⎧⎨+≤⎩

有且仅有2个整数解，则m 的值为______．

5

【分析】根据题意先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于x 的不等式，进而根据是正整数的条件求得m 的范围，解一元一次不等式组54028

x m x ->⎧⎨+≤⎩，根据有且仅有2个整数解，确定m 的范围，最后根据x ，y 为整数，舍去不符合题意的m 的值即可求解．

【详解】解：214x y m x y m +=⎧⎨-=-⎩①②

①＋②得，2213x m

=-2132m x -∴=将2132m x -=代入①，得5212

m y -=x ，y 是正整数，

21305210m m ->⎧∴⎨->⎩

，解得2175m <<，54028x m x ->⎧⎨+≤⎩③④解不等式③得：45m x >解不等式④得：6

x ≤465m x ∴

<≤ 有且仅有2个整数解，4455m ∴≤<解得2554m ≤< 2175m <<212554m ∴≤当6m =时，21321183222

m x --===，不合题意，故舍去5m ∴=故答案为：5

【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组结合，解一元一次不等式组，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．

三、解答题：（本大题4个小题，19题每个小题各4分，20、21题各6分，22题8分，共36分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

19.按要求计算下列各题

（1|1|-；

（2()02π⎛- ⎝；（3）化简：()()22233

4222a a a a a a ⋅⋅+--÷；（4）解不等式：48243x x -+≥

+；

（1

（2）1+（3）6

a （4）2

x ≤【分析】（1）先利用二次根式的性质、立方根的意义、绝对值的意义化简，然后再计算即可；

（2）利用二次根式的乘除法则计算即可；

（3）利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则化简，然后再合并同类项即可；（4）直接解一元一次不等式即可．

【小问1详解】

|1|

-

＝431

-

．

【小问2详解】

()02π⎛- ⎝

()02π⎛÷- ⎝

＝1+

=1+

=1+

＝1+．【小问3详解】

解：()()22

2334222a a a a a a ⋅⋅+--÷＝123682

44a a a a +++-÷＝6a a a +-＝6a ．

【小问4详解】

解：不等式两边同时乘以3得：634812x x +≥-+，

移项，合并同类项得：2x -≥-，

∴2x ≤．

∴不等式的解集为：2x ≤．

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、立方根的意义、实数的运算、零指数幂的意义、二次根式的运算、同底数幂的乘法与除法、幂的乘方与积的乘方、一元一次不等式的解法等知识点，熟练掌握相关运算法则与性质是解题的关键．

20.先化简，再求值：()()()()2

222222x y x y x y x x y x ⎡⎤-+-⋅+--÷⎣⎦

，其中3x =，1y =-．x y --，2

-【分析】根据整式的混合计算法则先化简，然后代值计算即可．

【详解】解：()()()()2

222222x y x y x y x x y x ⎡⎤-+-⋅+--÷⎣⎦

()()()22222444422x xy y x y x xy x ⎡⎤=-++---÷⎣⎦

()22222444422x xy y x y x xy x =-++--+÷()2222x xy x =--÷x y =--，

当3x =，1y =-时，原式()312=---=-．

【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的混合计算法则是解题的关键．

21.近期，初二年级广泛开展了“勿忘历史，吾辈自强”历史知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：

八年级抽取部分学生成绩的频率分布表成绩x /分频数频率

第1段

x ＜6020．04第260≤x ＜7060．12段

第3段

70≤x ＜809b 第4段

80≤x ＜90a 0．36第5段90≤x ≤100150．30

八年级抽取部分学生成绩的频数分布直方图

请根据所给信息，解答下列问题：

（1）a ＝，b ＝；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）已知该年级有500名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上的为优良，估计该年级成绩为优良的有多少人？（1）18，0．18

（2）见解析（3）330人

【分析】（1）根据频数分布表中的数据，依据频数、频率、数据总数之间的关系求解即可；

（2）根据（1）中a 的值，可以将频数分布直方图补充完整；

（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出全校获奖学生的人数．

【小问1详解】

解：20.040.3618a =÷⨯=，90.1820.04

b =

=÷，故答案为：18，0．18；

【小问2详解】

由（1）知，18a =，

补全的频数分布直方图如图所示：

【小问3详解】

181550033050

+⨯=（人），答：全校获奖学生的人数约有330人．

【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．22.尺规作图并完成证明：

如图，点C 是AB 上一点，AC BE =，AD BC =，ADE BED ∠=∠．

（1）尺规作图：作DCE ∠的平分线CF ，交DE 于点F ；

（2）证明：CF DE ⊥．

证明：∵ADE BED ∠=∠，∴

，∴．在ADC △和BCE 中，

∵()AC BE AD BC =⎧⎪=⎨⎪⎩

①，①

∴ADC BCE ≌△△．∴．

又∵CF 是DCE ∠的角平分线，

∴CF DE ⊥．

（1）见解析（2）AD BE ∥；A B ∠=∠；A B ∠=∠；CD CE

=【分析】（1）以任意长度为半径，点C 为圆心画圆弧，交DCE ∠两边于点M 、N ，以M 为圆心，大于2MN 为半

径画圆弧，以N 为圆心，大于2

MN 为半径画圆弧，交于点O ，连接CO 交DE 于点F ，CF 即为所求；（2）根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质可得答案．

【小问1详解】

解：以任意长度为半径，点C 为圆心画圆弧，交DCE ∠两边于点M 、N ，以点M 为圆心，大于

2

MN 为半径画圆弧，以点N 为圆心，大于2MN 为半径画圆弧，交于点O ，连接CO 交DE 于点F ，如图所示，CF 即为所求．【小问2详解】

证明：∵ADE BED ∠=∠，

∴AD BE ∥，

∴A B ∠=∠，

在ADC △和BCE 中，AC BE AD BC A B =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩

，

∴ADC BCE ≌△△（SAS ），

∴CD CE =，

又∵CF 是DCE ∠的角平分线，

∴CF DE ⊥，

故答案为：AD BE ∥；A B ∠=∠；A B ∠=∠；CD CE =．

【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．

四、填空题：（本大题4个小题，每小题3分，共12分）请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上.

23.多项式24(1)9x m x +-+是完全平方式，则m =______．

-11或13

【分析】根据完全平方公式求解即可．

【详解】 24(1)9x m x +-+是完全平方式，

∴2224(1)9(2)2233x m x x x +-+=±⨯⨯+，

112m ∴-=±，

11m ∴=-或13，

故答案为：-11或13．

【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．

24.已知：如图，等腰Rt ABC △中，CA CB =，90ACB ∠=︒，D 为BC 中点，连接AD ，作CE AD ⊥于点E ，作BG BC ⊥交CE 的延长线于点G CG ，交AB 于点F ，连接DF ，下列说法正确的有_____．

①CAD BCG ∠=∠②AE CF BF =+③ACE BDEF S S =四边形 ④AD CF DF =+①④##④①

【分析】由余角的性质可证CAD BCG ∠=∠，故①正确；由三角形的三边关系可得CF BF AC AE +>>，故②错误；由“AAS ”可证ACE CBH ≌ ，可得ACE CBH S S = ，即ACE BDEF S S >四边形 ，故③错误；由“AAS ”可证ACD CBG ≌ ，可得AD CG CD BG ==，由“SAS ”可证BFD BFG ≌ ，可得DF FG =，可得AD CF DF =+，故④正确；即可求解．

【详解】解：∵90CE AD ACB ⊥∠=︒，

∴90CAD ADC BCG ADC ∠+∠=︒=∠+∠，

∴CAD BCG ∠=∠，故①正确；

在Rt ACE 中，AC AE >，

在BCF △中，CF BF BC +>，

∴CF BF AC AE +>>，故②错误；

如图，过点B 作BH CG ⊥于H ，

∵90CAD BCG AC BC AEC CHB ∠=∠=∠=∠=︒，，

∴(AA )S ACE CBH ≌ ，

∴ACE CBH S S = ，

∴ACE BDEF S S >四边形 ，故③错误；

∵90CAD BCG AC BC ACD CBG ∠=∠=∠=∠=︒，，

∴(AS )A ACD CBG ≌ ，∴AD CG CD BG ==，

∵D 为BC 中点，

∴CD DB =，

∴CD DB BG ==，

又∵45ABC ABG BF BF ∠=∠=︒=，

∴(SA )S BFD BFG ≌ ，

∴DF FG =，

∴AD CG CF FG CF DF ==+=+，故④正确；

故答案为：①④．

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

25.若两不等实数a ，b

满足8a +=

，8b +=

的值为_____．

4

【分析】

3=

1=，然后代入原式即可求出答案．

【详解】

∵8a +=

，8b +=，

∴a b ++=

16a b =++，

∴0a b +--=，

∴

30=-，∵a b ¹，

0≠，

3+=，

∵16a b +=++，

∴7a b +=，

∵

2a b =++

()

21

2a b +-+==∴原式＝314+=．

故答案为：4．

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是a b -=，本题属于基础题型．26.某茶店购进普洱，白茶，红茶，绿茶四种茶叶，其中白茶的进价正好是普洱和红茶进价的平均数，白茶的售价正好是普洱和红茶售价的平均数，这样白茶的单利润不小于5元且不大于10元，普洱和红茶的销量相等且正好是绿茶的进价和售价的乘积，而白茶的销量正好是绿茶的进价与售价和的6倍，绿茶的销量是普洱，白茶，红茶销量的总和，其中四种茶叶的进价，售价和销量均为整数．若普洱和红茶的总利润比白茶的总利润多1666元，则绿茶的总利润的最小值为_____元．

3728

【分析】设普洱，红茶，绿茶的进价分别为x 元，y 元，n 元，普洱，红茶，绿茶的售价分别为a 元，b 元，m 元，则白茶的售价为2a b +元，进价为2

x y +元，所以普洱和红茶的销量为mn ，白茶的销量为6()m n +，绿茶的销量为[]6()2m n mn ++．再根据题干中的信息列出方程和不等式，得出结论即可．

【详解】解：设普洱，红茶，绿茶的进价分别为x 元，y 元，n 元，普洱，红茶，绿茶的售价分别为a 元，b 元，m 元，则白茶的售价为2a b +元，进价为2

x y +元，∵普洱和红茶的销量相等且正好是绿茶的进价和售价的乘积，而白茶的销量正好是绿茶的进价与售价和的6倍，∴普洱和红茶的销量为mn ，白茶的销量为6()m n +，

∴绿茶的销量为[]6()2m n mn ++．

∵普洱和红茶的总利润比白茶的总利润多1666元，∴()()6()()166622

a b x y a x mn b y mn m n ++-+--+-=，整理得[][]()()3()1666a b x y mn m n +-+-+=．

∵白茶的单利润不小于5元且不大于10元，∴51022

a b x y ++≤-≤，整理得[]10()()20a b x y ≤+-+≤，∵四种茶叶的进价，售价和销量均为整数且166617147=⨯⨯，∴()()14a b x y +-+=或17．

若使绿茶的总利润的最小，则m n -最小，

当()()14a b x y +-+=时，3()119mn m n -+=，此时1193128333

n m n n +==+--，∵1282432816=⨯=⨯=⨯，

∴当38n -=，即11n =时，31619m =+=，

此时绿茶的利润为：(1911)(6272198)3728-⨯⨯+⨯⨯=（元）．

当()()17a b x y +-+=时，3()98mn m n -+=，

此时983107333

n m n n +==+--，∵1071107=⨯，

∴当4n =时，110m =（不符合实际意义），111n =时，4m =（舍），即此时不存在．

综上，绿茶的利润的最小值为3728元．

故答案为：3728．

【点睛】本题主要考查一次方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，设出未知数，根据题干中的信息得出m ，n 之间的关系是解题关键．

五、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）

27.为丰富学生们的课余生活，学校购进一批象棋和围棋供学生们课外活动使用．其中购买象棋40副，围棋20副，共花费2400元．已知购买一副围棋比购买一副象棋多花15元．

（1）求购买一副围棋，一副象棋各需多少元？

（2）随着同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购进象棋和围棋共40副，正好赶上商场双十一活动，象棋售价比第一次购买时减少3元，围棋按第一次购买时售价的8.8折出售，如果学校此次购买象棋和围棋的总费用不超过第一次花费的68%，则学校至少购买象棋多少副？

（1）购买一副围棋需50元，一副象棋需35元

（2）学校至少购买象棋11副

【分析】（1）设购买一副围棋需x 元，一副象棋需y 元，根据“购买象棋40副，围棋20副，共花费2400元；购买一副围棋比购买一副象棋多花15元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设学校购买m 副象棋，则购买40m -副围棋，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过第一次花费的68%，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．

【小问1详解】

设购买一副围棋需x 元，一副象棋需y 元，

依题意得：20402400

15x y x y +=⎧⎨-=⎩

解得：5035x y =⎧⎨=⎩

．答：购买一副围棋需50元，一副象棋需35元．

【小问2详解】

设学校购买m 副象棋，则购买40m -副围棋，

依题意得：()()3535088%40240068%m m -+⨯-≤⨯，解得：323

m ≥，

∵m 为整数，

∴m 的最小值为11．

答：学校至少购买象棋11副．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

28.材料一：一个四位数M ＝ abcd 各个数位上的数字均不为零，去掉千位上的数字得到一个新的三位数

bcd 称为“去千数”，去掉百位上的数字得到一个新的三位数 acd 称为“去百数”，去掉十位上的数字得到一个新的三位数

abd 称为“去十数”，去掉个位上的数字得到一个新的三位数abc 称为“去个数”，记

()3

+++= bcd acd abd abc P abcd ．例如：1234的“去千数”为234，“去百数”为134，“去十数”为124，“去个数”为123，则23413412412312342053

P

+++=（）＝．材料二：若一个三位数N xyz ＝，记2()23Q N x y z =--．

（1）已知一个四位数3176，则(3176)P =．若3176的“去百数”记为C ，则()Q C =．

（2）已知一个四位数2

abc ，它的“去千数”记为A ，“去十数”记为B ，且满足()()540Q A Q B ++＝．求这个四位数．

（1）395，﹣23

（2）2229，2469，2298

【分析】（1）根据新定义的意义求解；

（2）根据题意列方程，再用代入验证的方法求方程的整数解．

【小问1详解】1(3176)(176376316317)395,3

P =+++=376,C = (376)32273623,Q ∴=-⨯-⨯=-故答案为：395，﹣23；【小问2详解】由题意得：,2A abc B ac ==，2()23Q A a b c =--，()423,Q B a c =--，

∴223423540a b c a c --+--+=，

∴2262580a b c a ---+=，即：()()212357a b c -=+-，

∵a ，b ，c 都是0到9之间的整数，

∴2,2,9a b c ===或4,6,9,a b c ===或,2,9,8,

a b c ===∴这个四位数为：2229，2469，2298．

【点睛】本题考查了因式分解的应用，代入验证求整数解是解题的关键．

29.已知：等边ABC 中，D 为AB 延长线上一点，连接CD ，点E 在CD 上，连接AE ，

60AEC ∠=︒．（1）如图1，连接BE ，求证：BE 平分AED ∠；（2）如图2，点F 为线段AC 上一点，连接BF 交AE 于点G ，若点G 为BF 中点，求证：AF BD =；（3）如图3，点F 为线段AC 上一动点，作F 关于AB 的对称点F '，连接AF CF ''，．交AD 于点K ，点D 在AB

的延长线上运动，始终满足AF BD =，连接F D BF '，交AE 于点G ，当F D '取得最大值时，此时AD =求整个运动过程中GF 的最小值．

（1）见解析

（2）见解析（3）6

【分析】（1）在CD 上取一点P ，使EBP ∠=︒60，利用ABC 是等边三角形，证得()ASA ABE CBP ≌，利用全等三角形的性质证得BEP △是等边三角形即可证得BE 平分AED ∠；

（2）在CD 上取一点P ，使EBP ∠=︒60，过点F 作FQ BE ∥交AE 于Q ，证明()ASA GFQ GBE ≌和()AAS AFQ DBP ≌，即可得出结论；

（3）如图3，在CD 上取一点P ，使EBP ∠=︒60，过点F 作FN BE ∥交AE 于N ，证得()AAS AFN DBP ≌，()ASA FGN BGE ≌得到FG BG =，当BF AC ⊥时，BF 最小，则GF 最小，过点C 作CH AB ⊥于H ，结合已知即可求得整个运动过程中GF 的最小值．

【小问1详解】

证明：在CD 上取一点P ，使EBP ∠=︒60，∵ABC 是等边三角形，

∴60AB BC ABC =∠=︒，

∵60EBP AEC ABC ∠=∠=∠=︒，

∴ABE CBP BCP BAE ∠=∠∠=∠，

∴()ASA ABE CBP ≌，

∴BE BP =，

∴BEP △是等边三角形，

∴60AEB CPB BEP ∠=∠=∠=︒，

∴60AEB ∠=︒，

∴BE 平分AED ∠；

【小问2详解】

证明：过点F 作FQ BE ∥交AE 于Q ，

∵FQ BE ∥，

∴GFQ GBE FQG BEG ∠=∠∠=∠，

∵点G 为BF 中点，

∴GF GB =，

∴()ASA GFQ GBE ≌，

∴FQ BE =，由（1）知，60BE BP BEG =∠=︒，

∴60FQG BEG FQ BP ∠=∠=︒=，

∴120AQF DPB ∠=∠=︒，

∵60ACB AEB ∠=∠=︒，

∴CAE CBE ∠=∠，

∵60ABE D BED ABC CBE BED ABC ∠=∠+∠=∠=∠∠=∠=︒，

∴D CBE CAE ∠=∠=∠，

∴()AAS AFQ DBP ≌，

∴AF BD =；

【小问3详解】

解：如图3，在CD 上取一点P ，使EBP ∠=︒60，过点F 作FN BE ∥交AE 于N ，

∴60FNG GEB ∠=∠=︒，

∴120ANF DPB ∠=∠=︒，

由（2）知，FAN BDP ∠=∠，

∵AF BD =，

∴()AAS AFN DBP ≌，

∴FN BP BE ==，

∵FN BE ∥，

∴FNG BEG NFG EBG ∠=∠∠=∠，

∴()ASA FGN BGE ≌，

∴FG BG =，

当BF AC ⊥时，BF 最小，则GF 最小，过点C 作CH AB ⊥于H ，

∵ABC 是等边三角形，∴1302

AH AB ACH =∠=︒，

在Rt ACH 中，32CH AB =

=，∴()13•22

12BCD S BD CH AD AB AB -⨯==

()

4AB AB =⋅=，

∴AB =∵112••2

ABC S AB CH AC BF AB AC === ，

∴331222BF CH AB ==

=⨯=，

16

2

GF BF

==，即整个运动过程中GF的最小值为6．

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键下载本文