注意事项： 

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考 

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 

姓名是否一致． 

2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字 

笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 

3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．

一、选择题（共6小题）.

1．一元二次方程的根为　　

A．0    B．1    C．0或1    D．0或

2．平面内，若的半径为2，，则点在　　

A．内    B．上    C．外    D．内或外

3．某商品单价经过两次降价从144元降至81元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程　　

A．    B．    C．    D．

4．在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的　　

A．平均数    B．加权平均数    C．众数    D．中位数

5．如图，内接于，，是的弦，，．下列结论：①；②；③；④．

其中所有正确结论的序号是　　

A．①②③④    B．②③    C．②④    D．②③④

6．如图，是正九边形两条对角线的夹角，则的度数是　　

A．    B．    C．    D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）

7．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根　　．

8．已知扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的弧长为　　．

9．已知的半径为2，若点是的切线上任一点，则长的取值范围是 　　．

10．已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为　 　（结果保留．

11．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为　　．

12．一元二次方程的一个根是，则另一个根是　 　．

13．某单位要招聘1名英语翻译，小亮参加招聘考试的各门成绩如表所示若把听、说、读、写的成绩按计算平均成绩，则小亮的平均成绩为 　　．

15．如图，矩形的四个顶点分别在扇形的半径和弧上，若，，，则的长为 　　．

16．在平面直角坐标系中，，，若直线上存在点满足且，则常数的取值范围是 　　．

三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8分）解下列一元二次方程

（1）；

（2）．

18．（8分）一块矩形菜地的面积是，若将它的长、宽分别增加，，它恰成为一块正方形菜地．求原矩形菜地的长和宽．

19．（8分）如图，在以为直径的圆中，弦，是上一点，射线，分别交圆于点，，连接，求证．

20．（8分）已知关于的一元二次方程的两根是，．

（1）当为何值时，这个方程总有两个不相等的实数根？

（2）说明：无论为何值，方程总有一个不变的根．

21．（8分）数学小组对当地甲、乙两家网约车公司司机的月收入情况进行了抽样调查．两家公司分别随机抽取10名司机，他们的月收入（单位：千元）情况如图所示．

将以上信息整理分析如下：

（2）某人计划从甲、乙公司中选择一家做网约车司机，你建议他选哪家公司？说明理由．

22．（8分）利用圆的性质，证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图，在中，，是斜边上的中线．求证：．

23．（8分）若关于的方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程的两个根是，，则方程是“隔根方程”．

（1）方程是“隔根方程”吗？判断并说明理由；

（2）若关于的方程是“隔根方程”，求的值．

24．（8分）在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的所有切线．

（1）如图1，点在圆上；

（2）如图2，点在圆外．

25．（8分）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为．

（1）下列说法正确的是 　　．（填写所有正确结论的序号）

①可以平分的周长；

②可以平分的面积．

（2）当为何值时，的面积等于？

26．（8分）如图，在正方形中，是上一点，射线交于点，交的延长线于点，过点，，画圆，连接．求证：是圆的切线．

27．（8分）解题与遐想．

如图，的内切圆与斜边相切于点，，．求

这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是，有种白算的感觉

赵丽华：

我把4和5换成、再算一遍，的面积总是确实非常神奇了

数学刘老师：

大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？

霍佳：

刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？

计算验证

（1）通过计算求出的面积．

拼图演绎

（2）将分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．

尺规作图

（3）尺规作图：如图，点在线段上，以为斜边求作一个，使它的内切圆与斜边相切于点．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）

参与解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．一元二次方程的根为　　

A．0    B．1    C．0或1    D．0或

【分析】先移项，再两边都除以3，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

解：，

，

，

或，

故选：．

2．平面内，若的半径为2，，则点在　　

A．内    B．上    C．外    D．内或外

【分析】根据半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，可得答案．

解：由题意得，，．

，

点在内，

故选：．

3．某商品单价经过两次降价从144元降至81元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程　　

A．    B．    C．    D．

【分析】利用经过两次降价后的价格原价平均每次降价的百分率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．

解：依题意得：．

故选：．

4．在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的　　

A．平均数    B．加权平均数    C．众数    D．中位数

【分析】10人成绩的中位数是第5名和第6名同学的成绩的平均数．参赛选手要想知道自己是否能晋级，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．

解：由于总共有10个人，且他们的成绩各不相同，第5名和第6名同学的成绩的平均数是中位数，要判断是否能晋级，故应知道中位数的多少．

故选：．

5．如图，内接于，，是的弦，，．下列结论：①；②；③；④．

其中所有正确结论的序号是　　

A．①②③④    B．②③    C．②④    D．②③④

【分析】利用已知条件与三角形的任意两边之和大于第三边可以判定①错误；利用在同圆或等圆中，等弦对等弧，以及等式的性质可以判定②正确；利用在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等以及等式的性质可以判定③正确；利用等腰三角形的性质以及③的结论可以判定④正确．

解：，，，

．

①错误；

，，

，．

，

．

②正确；

连接，，，，，，，如图，

，，

，．

．

即．

③正确；

，

．

同理可得：

，

，

．

，

．

由③知：，

．

即：．

④正确；

正确的序号为：②③④．

故选：．

6．如图，是正九边形两条对角线的夹角，则的度数是　　

A．    B．    C．    D．

【分析】根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案．

解：如图，设这个正九边形的外接圆为，

则，，

，，

，

故选：．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）

7．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根　　．

【分析】这是一道开放自主题，只要写出的方程的△就可以了．

解：比如，，，

△，

方程为．

8．已知扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的弧长为　　．

【分析】根据弧长公式进行求解即可．

解：弧长

．

故答案为：．

9．已知的半径为2，若点是的切线上任一点，则长的取值范围是 　　．

【分析】根据切线的性质可得的最小值是2，即可得出结论．

解：因为垂线段最短，

所以当直线时，的值最小，

和相切，半径为2，

的最小值是2，

长的取值范围是，

故答案为：．

10．已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为　　（结果保留．

【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长．

解：底面半径为2，则底面周长，圆锥的侧面积．

故答案为：．

11．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为　　．

【分析】先利用垂径定理得到，设，根据勾股定理得，然后解方程即可．

解：弦于点，

，

设，则，

在中，，解得，

即的长为．

故答案为．

12．一元二次方程的一个根是，则另一个根是　　．

【分析】根据根与系数的关系来解题．

解：设方程的另一根为，则，

解得，．

故答案是：．

13．某单位要招聘1名英语翻译，小亮参加招聘考试的各门成绩如表所示若把听、说、读、写的成绩按计算平均成绩，则小亮的平均成绩为 　82分　．

解：小亮的平均成绩为：

（分．

故小亮的平均成绩为82分．

故答案为：82分．

14．如图，四边形的各边都与圆相切，它的周长为18，若，则的长为 　4　．

【分析】根据切线长定理可得，即可求的长度．

解：与四边形各边相切，

，

，四边形的周长为18，

，

，

故答案为：4．

15．如图，矩形的四个顶点分别在扇形的半径和弧上，若，，，则的长为 　2　．

【分析】连接，可得，根据已知可得，根据四边形是矩形，可得，，再根据含30度角的直角三角形可得，根据勾股定理即可求出的长，进而可得的长．

解：如图，连接，

，

，

，

，

四边形是矩形，

，，

在中，，

，

，

，

在中，根据勾股定理，得

，

，

解得，

．

故答案为：2．

16．在平面直角坐标系中，，，若直线上存在点满足且，则常数的取值范围是 　或　．

【分析】利用可得点在线段的垂直平分线上，分或两种情况讨论解答：求出当和时的值，结合图象即可求得的取值范围．

解：，，

．

，

点在线段的垂直平分线上，

设线段的垂直平分线交轴于点，则点，

．

①当时，

设直线交轴于点，交轴于点，则，．

，．

，．

当时，如图，

，

．

，

为斜边的中点，

．

．

．

当时，如图，

过点作于点，

，

．

设，则，

，

，

．

，

，

．

，

．

．

，

．

②当时，

设直线交轴于点，交轴于点，则，．

，．

，．

当时，如图，

，

．

，

为斜边的中点，

．

．

．

当时，如图，

过点作于点，

，

．

设，则，

，

，

．

，

，

．

，

．

．

，

．

综上，常数的取值范围是：或．

三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8分）解下列一元二次方程

（1）；

（2）．

【分析】（1）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；

（2）利用公式法求解即可．

解：（1），

，

则，

或，

解得，；

（2），，，

△，

则，

即，．

18．（8分）一块矩形菜地的面积是，若将它的长、宽分别增加，，它恰成为一块正方形菜地．求原矩形菜地的长和宽．

【分析】设正方形菜地的边长为，则原矩形菜地的长为，宽为，根据原矩形菜地的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其正值分别代入及中即可求出原矩形菜地的长和宽．

解：设正方形菜地的边长为，则原矩形菜地的长为，宽为，

依题意得：，

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去），

，．

答：原矩形菜地的长为，宽为．

19．（8分）如图，在以为直径的圆中，弦，是上一点，射线，分别交圆于点，，连接，求证．

【分析】利用垂径定理以及圆周角定理证明，可得结论．

【解答】证明：是直径，，

，

，

，

，，

，

，

，

．

20．（8分）已知关于的一元二次方程的两根是，．

（1）当为何值时，这个方程总有两个不相等的实数根？

（2）说明：无论为何值，方程总有一个不变的根．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△，可得出△，由方程总有两个不相等的实数根，可得出，解之即可得出，进而可得出当时，这个方程总有两个不相等的实数根；

（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两个根，进而可得出无论为何值，方程总有一个不变的根为．

解：（1），，，

△．

方程总有两个不相等的实数根，

，即，

，

当时，这个方程总有两个不相等的实数根．

（2），即，

或，

，，

无论为何值，方程总有一个不变的根为．

21．（8分）数学小组对当地甲、乙两家网约车公司司机的月收入情况进行了抽样调查．两家公司分别随机抽取10名司机，他们的月收入（单位：千元）情况如图所示．

将以上信息整理分析如下：

（2）某人计划从甲、乙公司中选择一家做网约车司机，你建议他选哪家公司？说明理由．

【分析】（1）利用平均数、中位数、众数及方差的定义分别计算后即可确定正确的答案；

（2）根据平均数，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．

解：（1）甲公司平均月收入：（千元）；

乙公司滴滴中位数为（千元）；

甲公司众数（千元）；

甲公司方差：；

故答案为：7.3，5.5，7，1.41；

（2）选甲公司，因为甲公司平均数，中位数、众数大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定．

22．（8分）利用圆的性质，证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图，在中，，是斜边上的中线．求证：．

【分析】作的外接圆，利用圆周角定理进行推理．

【解答】证明：如图，作的外接圆，

，

是圆的直径．

是斜边上的中线，

点为的中点．

点为圆心，为半径．

．

23．（8分）若关于的方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程的两个根是，，则方程是“隔根方程”．

（1）方程是“隔根方程”吗？判断并说明理由；

（2）若关于的方程是“隔根方程”，求的值．

【分析】（1）不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为，，二者做差后可得出，进而可得出方程不是“隔根方程”；

（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为，，结合关于的方程是“隔根方程”，可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出的值．

解：（1）不是，理由如下：

，即，

，．

，

方程不是“隔根方程”．

（2），即，

，．

又关于的方程是“隔根方程”，

，

解得：或．

24．（8分）在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的所有切线．

（1）如图1，点在圆上；

（2）如图2，点在圆外．

【分析】（1）根据切线的性质作图即可；

（2）根据切线的性质作图即可．

解：（1）如图：直线即为所求；

（2）如图：直线、即为所求．

25．（8分）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为．

（1）下列说法正确的是 　②　．（填写所有正确结论的序号）

①可以平分的周长；

②可以平分的面积．

（2）当为何值时，的面积等于？

【分析】（1）由勾股定理得，当平分的周长时，，得（舍，当时，可知时，可以平分的面积；

（2）由题意知，即可解决问题．

解：（1），

由勾股定理得：，

当时，

（舍，

当时，

解得或（舍，

时，可以平分的面积，

故答案为：②；

（2）①由题意知：，，

，

解得：或7（舍去），

当时，的面积等于．

26．（8分）如图，在正方形中，是上一点，射线交于点，交的延长线于点，过点，，画圆，连接．求证：是圆的切线．

【分析】连接圆心与点，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由切线的判定定理即可得到结论．

【解答】证明：连接圆心与点，

，

，

，

，

在正方形中，，，

在和中，

，

，

，

，

，即，

且在圆上，

是圆的切线．

27．（8分）解题与遐想．

如图，的内切圆与斜边相切于点，，．求

这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是，有种白算的感觉

赵丽华：

我把4和5换成、再算一遍，的面积总是确实非常神奇了

数学刘老师：

大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？

霍佳：

刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？

计算验证

（1）通过计算求出的面积．

拼图演绎

（2）将分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．

尺规作图

（3）尺规作图：如图，点在线段上，以为斜边求作一个，使它的内切圆与斜边相切于点．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）

【分析】（1）设的半径为，由切线长定理得，，，，由勾股定理得，，进而求得结果；

（2）将甲乙图形放在为边的上方，将丙丁以为边放在右侧，围成矩形的边长是4和5；

（3）可先计算，根据“定弦对定角”作点的轨迹，根据切线性质，过点作的垂线，再根据直径所对的圆周角是，确定点．

解：（1）如图1，

设的半径为，

连接，，

内切于，

，，，，

，

四边形是矩形，

，，

，，

在中，由勾股定理得，

，

，

；

（2）如图2，

（3）设的内切圆记作，

和平分和，，

，，

，

，

可以按以下步骤作图（如图

①以为直径作圆，作的垂直平分线交圆于点，

②以为圆心，为半径作圆，

③过点作的垂线，交圆于，

④连接并延长交圆于，连接，，

则就是求作的三角形．下载本文