A．    B．2    C．3    D．4

【解析】选B．在菱形ABCD中，∠A＝60°，所以△ABD为等边三角形，

设AB＝a，由图2可知，△ABD的面积为3，所以S△ABDa2＝3，解得：a＝2.

A．（5，﹣2）    B．（2，﹣5）    C．（2，5）    D．（﹣2，﹣5）

【解析】选B.因为四边形ABCD是菱形，所以OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，

因为点A（﹣2，5），所以点C的坐标是（2，﹣5）.

A．OBCE    B．△ACE是直角三角形    

C．BCAE    D．BE＝CE

【解析】选D．因为四边形ABCD是菱形，

所以AO＝CO，AC⊥BD，

因为CE∥BD，

所以△AOB∽△ACE，

所以∠AOB＝∠ACE＝90°，，

所以△ACE是直角三角形，OBCE，ABAE，

所以BCAE

A．6  B．12  C．24  D．48

【解析】选C．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，

所以△COD为直角三角形．

因为OE＝3，点E为线段CD的中点，所以CD＝2OE＝6．所以C菱形ABCD＝4CD＝4×6＝24．

A．3  B．5  C．2  D．

【解析】选A．根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值为DE'，

因为四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），所以OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，

所以△BCD是等边三角形，所以DE'＝OC＝3，即PD+PE的最小值是3．

A．3  B．4  C．5  D．

【解析】选B．过点D作DH⊥AB于点H，如图，

因为四边形ABCD是菱形，

所以AD＝AB＝CD，AB∥CD．

因为EF⊥AB，DH⊥AB，

所以DH∥EF，

所以四边形DHFE为平行四边形，

所以HF＝DE，DH＝EF．

因为点E是边CD的中点，

所以DECD，

所以HFCDAB．

因为BF：CE＝1：2，

所以设BF＝x，则CE＝2x，

所以CD＝4x，DE＝HF＝2x，

AD＝AB＝4x，

所以AF＝AB+BF＝5x．

所以AH＝AF﹣HF＝3x．

在Rt△ADH中，

因为DH2+AH2＝AD2，

所以．

解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），

所以x＝1．

所以AB＝4x＝4．

即菱形ABCD的边长是4.

A．  B．5  C．10  D．20

【解析】选C．由作图过程可得：PQ为BD的垂直平分线，所以BM＝MD，BN＝ND．

设PQ与BD交于点O，如图，

则BO＝DO．

因为四边形ABCD是矩形，

所以AD∥BC，所以∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，

在△MDO和△NBO中，，

所以△MDO≌△NBO（AAS），

所以DM＝BN，所以四边形BNDM为平行四边形，

因为BM＝MD，所以四边形MBND为菱形，所以四边形MBND的周长＝4BM．

设MB＝x，则MD＝BM＝x，

所以AM＝AD﹣DM＝4﹣x，

在Rt△ABM中，因为AB2+AM2＝BM2，所以22+（4﹣x）2＝x2，解得：x，

所以四边形MBND的周长＝4BM＝10．

【解析】因为四边形ABCD是菱形，AC＝4cm，

所以AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝2cm，

因为AB＝2cm，所以BO4cm，所以DO＝BO＝4cm，所以BD＝8cm.

答案：8．

【解析】因为菱形的四边相等，边长为5，所以菱形的周长为5×4＝20.

答案：20．

【解析】连接DB交AC于点O，作MI⊥AB于点I，作FJ⊥AB交AB的延长线于点J，如图所示，

因为四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝1，

所以AB＝BC＝CD＝DA＝1，∠BAC＝30°，AC⊥BD，

因为△ABD是等边三角形，所以OD，

所以AO，

所以AC＝2AO，

因为AE＝3BE，所以AE，BE，

因为菱形AENH和菱形CGMF大小相同，

所以BE＝BF，∠FBJ＝60°，

所以FJ＝BF•sin60°，

所以MI＝FJ，所以AM，

同理可得，CN，

所以MN＝AC﹣AM﹣CN.

答案：．

【解析】如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点B，延长DE交AB于点R，连接EP′交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则DP′的对应点P″在线段EJ′上．

当点P是定点时，DQ﹣QP′＝AD﹣QP″，

当D，P″，Q共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，

当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长．

因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD，AO＝OC，

因为AE＝14．EC＝18，

所以AC＝32，AO＝OC＝16，

所以OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，

因为DE⊥CD，所以∠DOE＝∠EDC＝90°，

因为∠DEO＝∠DEC，

所以△EDO∽△ECD，

所以DE2＝EO•EC＝36，

所以DE＝EB＝EJ＝6，

所以CD12，

所以OD4，

所以BD＝8，

因为S△DCBOC×BDBC•DK，

所以DK，

因为∠BER＝∠DCK，

所以sin∠BER＝sin∠DCK，

所以RB＝BE，

因为EJ＝EB，ER⊥BJ，

所以JR＝BR，

所以JB＝DJ′，

所以DQ﹣P'Q的最大值为．

解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹EJ，故最大值为BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ．

答案：．

【解析】因为四边形ABCD是菱形，

所以AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，

因为AC＝24，BD＝10，

所以AOAC＝12，BOBD＝5，

在Rt△AOB中，

AB13，

所以菱形的周长为13×4＝52．

答案：52

【解析】连接AQ，作AH⊥BC于H，

因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，

因为BQ＝BQ，所以△ABQ≌△CBQ（SAS），

所以AQ＝CQ，所以当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，

因为AB＝2，∠ABC＝45°，所以AH，所以CQ+PQ的最小值为.

答案：

【解析】因为菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm，

所以菱形的面积是24（cm2），

答案：24

【解析】如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，

因为四边形ABCD是菱形，

所以AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，

所以FH∥AB，

所以∠FHG＝∠AEG，

因为F是CE的中点，FH∥CD，

所以H是DE的中点，

所以FH是△CDE的中位线，

所以FHCD＝1，

因为E是AB的中点，

所以AE＝BE＝1，

所以AE＝FH，

因为∠AGE＝∠FGH，

所以△AEG≌△FHG（AAS），

所以AG＝FG，

因为AD∥BC，

所以∠CBM＝∠DAB＝60°，

Rt△CBM中，∠BCM＝30°，

所以BMBC＝1，CM，

所以BE＝BM，

因为F是CE的中点，

所以FB是△CEM的中位线，

所以BFCM，FB∥CM，

所以∠EBF＝∠M＝90°，

Rt△AFB中，由勾股定理得：AF，

所以GFAF．

答案：

【解析】连接AC交BD于O，

因为四边形ABCD为菱形，

所以BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，

由勾股定理得：OA，

因为ME⊥BD，AO⊥BD，

所以ME∥AO，

所以△DEM∽△DOA，

所以，即，

解得：ME，

同理可得：NF，

所以ME+NF，

答案：．

【解析】如图1中，

因为四边形ABCD是菱形，

所以AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠C＝60°，

所以△ADB，△BDC都是等边三角形，

当点M与B重合时，EF是等边△ADB的高，EF＝AD•sin60°＝63．

如图2中，连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AD的中点R，连接OR．

因为AD∥CG，OK⊥AD，

所以OK⊥CG，

所以∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，

所以四边形AGTK是矩形，

所以AG＝TK＝AB•sin60°＝3，

因为OA＝OM，∥AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，

所以△AOK≌△MOT（AAS），

所以OK＝OT，

因为OK⊥AD，

所以OR≥OK，

因为∠AOF＝90°，AR＝RF，

所以AF＝2OR≥3，

所以AF的最小值为3，

所以DF的最大值为6﹣3．

答案：3，6﹣3

【解析】因为DE∥AC，CE∥BD，所以四边形OCED是平行四边形，所以OC＝DE，OD＝CE，

因为矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，所以OCAC＝5，ODBD，BD＝AC，

所以OC＝OD＝5，所以OC＝OD＝CE＝DE，

所以平行四边形OCED是菱形，所以C菱形OCED＝4OC＝4×5＝20.

答案：20．

【解析】因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，

所以AE5，所以BE＝AE＝5，所以BO＝8，

所以BC4，

因为点F为CD的中点，BO＝DO，所以OFBC＝2.

答案：2．

【解析】添加的条件是AB＝CD，理由如下：

因为AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形，

又因为AC⊥BD，所以平行四边形ABCD是菱形.

答案：AB＝CD（答案不唯一）．

【解析】连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，所以AP是OO′的垂直平分线，

所以OP＝O′P，所以OP+PE＝O′P+PE＝O′E，此时，OP+PE的值最小，

因为四边形ABCD是菱形，所以AD＝AB＝3，∠BAC∠BAD，OA＝OCAC，OD＝OBBD，∠AOD＝90°，

因为∠BAD＝60°，所以△ADB是等边三角形，所以BD＝AD＝3，

所以ODBD，所以AO，所以AC＝2OA＝3，

因为CE⊥AH，所以∠AEC＝90°，所以OE＝OAAC，所以∠OAE＝∠OEA，

因为AE平分∠CAB，所以∠OAE＝∠EAB，所以∠OEA＝∠EAB，所以OE∥AB，所以∠EOF＝∠AFO＝90°，

在Rt△AOF中，∠OABDAB＝30°，所以OFOA，所以OO′＝2OF，

在Rt△EOO′中，O′E，

所以OE+PE，所以OP+PE的最小值为.

答案：．

（1）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；

（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．

（ⅰ）求∠CED的大小；

（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．

【解析】（1）证明：设CE与BD交于点O，

因为CB＝CD，CE⊥BD，

所以DO＝BO，

因为DE∥BC，所以∠DEO＝∠BCO，

因为∠DOE＝∠BOC，所以△DOE≌△BOC（AAS），

所以DE＝BC，所以四边形BCDE是平行四边形，

因为CD＝CB，所以平行四边形BCDE是菱形；

（2）（i）解：因为DE垂直平分AC，

所以AE＝EC且DE⊥AC，所以∠AED＝∠CED，

又因为CD＝CB且CE⊥BD，所以CE垂直平分DB，所以DE＝BE，

所以∠DEC＝∠BEC，所以∠AED＝∠CED＝∠BEC，

又因为∠AED+∠CED+∠BEC＝180°，

所以∠CED；

（ii）证明：由（i）得AE＝EC，

又因为∠AEC＝∠AED+∠DEC＝120°，所以∠ACE＝30°，

同理可得，在等腰△DEB中，∠EBD＝30°，

所以∠ACE＝∠ABF＝30°，

在△ACE与△ABF中，，

所以△ABF≌△ACE（AAS），所以AC＝AB，

又因为AE＝AF，所以AB﹣AE＝AC﹣AF，即BE＝CF．

（1）求证：四边形DBCE为菱形；

（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．

【解析】（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD＝BC，

因为DE＝AD，所以DE＝BC，

因为E在AD的延长线上，所以DE∥BC，

所以四边形DBCE是平行四边形，

因为BE⊥DC，所以四边形DBCE是菱形；

（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，如图：

由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，所以PM+PN＝PM+PN'，

所以当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，

因为DE∥BC，所以MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，

在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，

所以DH＝DB•sin∠DBC＝2，所以PM+PN的最小值为．

（1）求菱形ABCD的面积；

（2）求证AE＝EF．

【解析】（1）作AG⊥BC交BC于点G，如图所示，

因为四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC＝60°，

所以BC＝10，AG＝AB•sin60°＝105，

所以菱形ABCD的面积是：BC•AG＝10×550，

即菱形ABCD的面积是50；

（2）证明：连接EC，

因为四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

所以EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，所以EA＝EC，∠DCA＝60°，所以∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，

因为∠AEF＝120°，

所以∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，

因为∠ECA+∠ECF＝120°，所以∠EFC＝∠ECF，所以EC＝EF，所以AE＝EF．

小惠：

证明：因为AC⊥BD，OB＝OD，

所以AC垂直平分BD．

所以AB＝AD，CB＝CD，

所以四边形ABCD是菱形．

这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．

（1）求证：四边形ADBF是菱形；

（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．

【解析】（1）证明：因为AF∥BC，

所以∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，

因为点E是AD的中点，所以AE＝DE，

所以△FAE≌△CDE（AAS），

所以AF＝CD，

因为点D是BC的中点，所以BD＝CD，

所以AF＝BD，

所以四边形AFBD是平行四边形，

因为∠BAC＝90°，D是BC的中点，

所以AD＝BDBC，

所以四边形ADBF是菱形；

（2）因为四边形ADBF是菱形，

所以菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，

因为点D是BC的中点，

所以△ABC的面积＝2△ABD的面积，

所以菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，

所以AB•AC＝40，

所以8•AC＝40，

所以AC＝10，

所以AC的长为10

求证：（1）△ADE≌△CDF．

（2）ME＝NF．

【证明】（1）因为四边形ABCD是菱形，

所以DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，

因为BE＝BF，

所以AE＝CF，

在△ADE和△CDF中，，

所以△ADE≌△CDF（SAS）；

（2）由（1）知△ADE≌△CDF，

所以∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，

因为四边形ABCD是菱形，

所以∠DAM＝∠DCN，

所以∠DMA＝∠DNC，

所以∠DMN＝∠DNM，

所以DM＝DN，

所以DE﹣DM＝DF﹣DN，

所以ME＝NF．

（1）求证：四边形AECD为菱形；

（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．

【解析】（1）证明：因为E为AB中点，所以AB＝2AE＝2BE，

因为AB＝2CD，所以CD＝AE，

又因为AE∥CD，所以四边形AECD是平行四边形，

因为AC平分∠DAB，所以∠DAC＝∠EAC，

因为AB∥CD，所以∠DCA＝∠CAB，

所以∠DCA＝∠DAC，所以AD＝CD，所以平行四边形AECD是菱形；

（2）因为四边形AECD是菱形，∠D＝120°，

所以AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，

所以AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，

所以∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，

所以BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，所以∠ACB＝90°，

所以ACBC＝2，所以S△ABCAC×BC2×22．

（1）如图1，连接CE，CF．CE⊥AB，CF⊥AD．

①求证：CE＝CF；

②若AE＝2，求CE的长；

（2）如图2，连接CE，EF．若AE＝3，EF＝2AF＝4，求CE的长．

【解析】（1）①证明：因为CE⊥AB，CF⊥AD，所以∠BEC＝∠DFC＝90°，

因为四边形ABCD是菱形，所以∠B＝∠D，BC＝CD，

所以△BEC≌△DFC（AAS），所以CE＝CF；

②连接AC，如图1，

因为E是边AB的中点，CE⊥AB，所以BC＝AC，

因为四边形ABCD是菱形，所以BC＝AC，

所以△ABC是等边三角形，∠EAC＝60°，

在Rt△ACE中，AE＝2，所以CE＝AE•tan60°＝22；

（2）方法一：如图2，

延长FE交CB的延长线于M，

因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，AB＝BC，

所以∠AFE＝∠M，∠A＝∠EBM，

因为E是边AB的中点，所以AE＝BE，

所以△AEF≌△BEM（AAS），所以ME＝EF，MB＝AF，

因为AE＝3，EF＝2AF＝4，所以ME＝4，BM2，BE＝3，

所以BC＝AB＝2AE＝6，所以MC＝8，

所以，，所以，

因为∠M为公共角，所以△MEB∽△MCE，所以，

因为BE＝3，所以CE＝6；

方法二：如图3，

延长FE交CB的延长线于M，过点E作EN⊥BC于点N，

因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，AB＝BC，

所以∠AFE＝∠M，∠A＝∠EBM，

因为E是边AB的中点，所以AE＝BE，

所以△AEF≌△BEM（AAS），所以ME＝EF，MB＝AF，

因为AE＝3，EF＝2AF＝4，所以ME＝4，BM2，BE＝3，

所以BC＝AB＝2AE＝6，所以MC＝8，

在Rt△MEN和Rt△BEN中，ME2﹣MN2＝EN2，BE2﹣BN2＝EN2，

所以ME2﹣MN2＝BE2﹣BN2，所以42﹣（2+BN）2＝32﹣BN2，

解得：BN，所以CN＝6，

所以EN2＝BE2﹣BN2＝32﹣（）2，

在Rt△ENC中，CE2＝EN2+CN236，所以CE＝6.

（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．

（2）当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．

【解析】（1）因为四边形BCFG，四边形BCDE都是菱形，

所以CF∥BG，CD∥BE，CB＝CF＝CD＝BG＝BE，

因为D，C，F共线，所以G，B，E共线，所以DF∥EG，DF＝GE，

所以四边形DEGF是平行四边形，所以EF与BC互相平分．

当EF⊥FG时，因为GF＝BG＝BE，

所以EG＝2GF，所以∠GEF＝30°，所以θ＝90°﹣30°＝60°；

（2）当tan∠ABC＝2时，EF垂直平分线段AC．

理由：如图（2）中，设AC交EF于点J．

因为四边形BCFG是菱形，所以∠G＝∠FCO＝90°，

因为EF与BC互相平分，所以OC＝OB，

所以CF＝BC，所以FC＝2OC，

所以tan∠FOC＝tan∠ABC，

所以∠ABC＝∠FOC，所以OJ∥AB，

因为OC＝OB，所以CJ＝AJ，

因为BC是直径，所以∠BAC＝∠OJC＝90°，

所以EF垂直平分线段AC.

（1）你添加的条件是 　①　（填序号）；

（2）添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形．

【解析】（1）添加的条件是∠1＝∠2，

答案：①；

（2）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A＝∠C，

在△ADE和△CDF中，，所以△ADE≌△CDF（AAS），所以AD＝CD，所以▱ABCD为菱形.

（1）当点M与点B重合时，求t的值；

（2）当t为何值时，△APQ与△BMF全等；

（3）求S与t的函数关系式；

（4）以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE，当2≤t≤4时，求点E运动路径的长．

【解析】（1）M与B重合时，如图1，

因为PQ⊥AB，

所以∠PQA＝90°，

所以PAAB＝2，

所以t＝2；

（2）①当0≤t≤2时，

因为AM＝2t，

所以BM＝4﹣2t，

因为△APQ≌△BMF，

所以AP＝BM，

所以t＝4﹣2t，

所以t；

②当2＜t≤4时，

因为AM＝2t，

所以BM＝2t﹣4，

因为△APQ≌△BMF，

所以AP＝BM，

所以t＝2t﹣4，

所以t＝4；

综上所述，t的值为4或；

（3）①0≤t≤2时，如图2，

在Rt△APQ中，PQt，

所以MQt，

所以St；

②当2＜t≤4时，如图3，

因为BF＝t﹣2，MF（t﹣2），

所以S△BFMBF•MF，

所以S＝S△PQM﹣S△BFM；

所以S；

（4）连接AE，如图4，

因为△PQE为等边三角形，

所以PEt，

在Rt△APE中，tan∠PAE，

所以∠PAE为定值，

所以点E的运动轨迹为直线，

因为AP＝t，

所以AEt，

当t＝2时，AE，

当t＝4时，AE＝2，

所以E点运动路径长为2

（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；

（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．

【解析】（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；

（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．

（1）求证：AC⊥BD；

（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．

【解析】（1）因为四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，所以▱ABCD是菱形，所以AC⊥BD；

（2）因为点E，F分别为AD，AO的中点，所以EF是△AOD的中位线，所以OD＝2EF＝3，

由（1）可知，四边形ABCD是菱形，

所以AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，

在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD，所以C菱形ABCD＝4AD＝4．

（1）求证：△ADE≌△CDG；

（2）若AE＝BE＝2，求BF的长．

【解析】（1）因为四边形ABCD是正方形，四边形HEFG是菱形，

所以AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EHB＝∠GHB，

所以∠ADB﹣∠EHB＝∠CDB﹣∠GHB，即∠ADE＝∠CDG，

在△ADE和△CDG中，，

所以△ADE≌△CDG（SAS）；

（2）过E作EQ⊥DF于Q，则∠EQB＝90°，

因为四边形ABCD是正方形，

所以∠A＝90°，AD＝AB＝AE+EF＝2+2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°，

所以∠QEB＝45°＝∠EBQ，所以EQ＝BQ，

因为BE＝2，所以2EQ2＝22，所以EQ＝BQ（负数舍去），

在Rt△DAE中，由勾股定理得：DE2，

因为四边形EFGH是菱形，所以EF＝DE＝2，

所以QF3，

所以BF＝QF﹣QB＝32．

（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为 　2x　cm．（用含x的代数式表示）

（2）当点M落在边BC上时，求x的值．

（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

【解析】（1）作PE⊥AC于点E，

在Rt△APE中，cos30°，

所以AE＝AP•cos30°x，

因为∠APQ＝120°，

所以∠AQP＝180°﹣120°﹣30°＝30°，

所以AP＝PQ，

所以点E为AQ中点，

所以AQ＝2x（cm），

答案：2x．

（2）如图，

因为∠APQ＝120°，

所以∠MNB＝∠PQB＝60°，

因为∠B＝60°，

所以△MNB为等边三角形，

所以AP＝PQ＝PN＝MN＝NB，即AP+PN+NB＝3AP＝AB，

所以3×2x＝6，

解得x＝1．

（3）当0≤x≤1时，作QF⊥AB于点F，

因为∠A＝30°，AQ＝2x，

所以QFAQx，

因为PN＝PQ＝AP＝2x，

所以y＝PN•QF＝2x•x＝2x2．

当1＜t时，QM，NM交BC于点H，K，

因为AB＝6cm，∠A＝30°，

所以ACAB＝3cm，

所以CQ＝AC﹣AQ＝32x，

所以QHCQ（32x）＝6﹣4x，

所以HM＝QM﹣QH＝2x﹣（6﹣4x）＝6x﹣6，

因为△HKM为等边三角形，

所以S△HKMHM2＝9x2﹣18x+9，

所以y＝2x2﹣（9x2﹣18x+9）＝﹣7x2+18x﹣9．

当x≤3时，重叠图形△PQM为等边三角形，

PQ＝PB＝AB﹣AP＝6﹣2x，

所以yPB2（6﹣2x）2x2﹣6x+9．

综上所述，y