课程名称：数学模型与数学实验 编号：11012070 适用专业：全院本科生  

命题：刘照升　　　教研室主任：　　　　　　　      　　　　

1．要用40块方形瓷砖铺如图所示形状的地面，但当时市场上只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块。一人买了20块长方形的瓷砖，试着铺地面，结果弄来弄去始终铺不好。问是这人功夫不到家还是这个问题根本就无解？   

现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域，试确定是磁盘具有最大存储量。

一张直径5.25in（1 in=25.4mm）的双面高密软盘，其有效存储半径in，磁道宽度in，每比特长度in。试计算此磁盘的最大容量，并与实际情况相比较。

3．某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内需司机和乘务人员如下：

班次      时  间       所需人数

1     6：00~10：00      60

2    10：00~14：00      70

3    14：00~18：00      60

4    18：00~22：00      50

5    22：00~2：00       20

6     2：00~6：00       30

设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员。列出这个问题的线性规划模型。并求解之。

4．讨价还价中的数学。在当前市场经济条件下，在商店，尤其是私营个体商店中的商品，所标价格a与其实际价值b之间，存在着相当大的差距。对购物的消费者来说，从希望这个差距越小越好，即希望比值λ接近于1，而商家则希望 λ>1。

这样，就存在两个问题：第一，商家应如何根据商品的实际价值（或保本价）b来确定其价格a才较为合理？第二，购物者根据商品定价，应如何与商家"讨价还价"？

第一个问题，国家关于零售商品定价有相关规定，但在个体商家实际定价中，常用"黄金数"方法，即按实际价b定出的价格a，使b:a≈ 0.618。虽然商品价值b位于商品价格a的黄金分割点上，考虑到消费者讨价还价，应该说，这样定价还是较为合理的。

对消费者来说，如何"讨价还价"才算合理呢？一种常见的方法是"对半还价法"：消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价则加上二者差价的一半；消费者第二次还价要减去二者差价的一半；如此等等。直至达到双方都能接受的价格为止。　　

有人以为，这样讨价还价的结果其理想的最终价格将是原定价的黄金分割点。是这样的吗？试进行定量分析，并给出结果。

参

1．我们首先必须解决用20块长方形瓷砖铺成图示地面的可能性是否存在这一问题，只有可能性存在是才能谈到用什么方法铺的问题。

为此，再图上黑白相间地染色。然后仔细观察，发现共有19个白格，21个黑格。

一块长方形瓷砖 可以盖住一黑一白两个方格。所以铺上19块瓷砖后，总要剩下2个黑格无法铺，因一块长方形瓷砖是无法盖住两个黑格的，唯一的解决方法是把最后一块瓷砖分为两个正方形瓷砖无盖住两个黑格。

    解决这一问题所用的方法在数学上称为奇偶校验，既可以认为涂黑色的格子是偶数，涂白色的格子是奇数，同色的格子具有相同的奇偶性。一块长方形瓷砖显然只能覆盖奇偶性相反的一对方格，因此把19块瓷砖在地面铺好后，只有在剩下的两个方格具有相反的奇偶性时，才能把最后一块长方形瓷砖铺上。由于剩下的两个方格具有相同的奇偶性，因此无法铺上最后一块瓷砖。这就从理论上证明了用20块长方形瓷砖铺如图所示的地面是不可能的。任何改变铺设方式的努力都是徒劳的。

    2．由题意知：存储量=磁道数*每磁道的比特数。

    设存储区的半径介于r与R之间，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量

为求的极值，计算得当时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量

3．设为第时段所需的人数，则可建立如下模型

    4．设原定价格为a,各次讨价还价如下：

          消费者还价                    商家讨价

第一次                         

第二次              

……

    由此可见，和是摆动数列。且

， 

即讨价还价的结果是原价的2/3。

    因为2/3-0.618=0.049,所以，即使商家按“黄金数”定价，如上讨价还价后，也还有8%的赚头。这对双方来说都是可以接受的。当然这是最理想的状态，实际中一定是讨价还价到某一次为止。

    若消费者还价到第k次即成交，则其付款为，商家净赚，少赚约。因此消费者可以适当选取还价次数使商家赚得较少。下载本文