一、选择题
1．如图2，AB=AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE ，CF 交于D ，则以下结论：
①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 的平分线上．正确的是（ ）
A ．①
B ．②
C ．①②
D ．①②③ 2．要使分式13a +有意义，则a 的取值应满足（ ） A ．3a =-
B ．3a ≠-
C ．3a >-
D ．3a ≠ 3．计算()2x
y xy x xy --÷的结果为（ ）
A ．1y
B ．2x y
C ．2x y -
D ．xy - 4．如图，ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与ACP '重合，如果3AP =，那么PP '的长等于（ ）
A ．32
B ．23
C ．42
D ．33 5．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A ．7
B ．8
C ．6
D ．5 6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB ＝
13
S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为（ ）
A 29
B 34
C ．2
D 417．如图，在等腰∆ABC 中，AB=AC ，∠BAC=50°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O 、点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是（ ）
A ．60°
B ．55°
C ．50°
D ．45° 8．计算b a a b b a +--的结果是 A ．a-b B ．b-a C ．1 D ．-1
9．如图，在ABC ∆中，A ∠=︒，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；……；1n A BC -∠与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，要使n A ∠的度数为整数，则n 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
10．下列图形中，周长不是32 m 的图形是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A ．()()2224a a a +-=-
B ．()ab ac d a b c d ++=++
C ．()2
293x x -=- D ．22()a b ab ab a b -=- 12．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )
A ．2a+b
B ．4a+b
C ．a+2b
D ．a+3b
二、填空题
13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B=30°，CD 是斜边AB 上的高，AD=3，则线段BD 的长为___．
14．如图，把一根直尺与一块三角尺如图放置，若∠1=55°，则∠2的度数为________．
15．使分式的值为0，这时x=_____．
16．关于x 的分式方程22kx 3x 1x 1x 1
+=--+会产生增根，则k ＝_____． 17．当x ＝_________时，分式
33x x -+的值为零． 18．若关于x 的分式方程111x x
m +--＝2有增根，则m ＝_____． 19．已知1m n -=，则222m n n --的值为______．
20．如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是____．
三、解答题
21．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 上一点，BD ＝BC ，过点D 作AB 的垂线交AC 于点E ，连接CD ，交BE 于点F.
求证：BE 垂直平分CD ．
22．已知a b c ，是ABC △的三边的长，且满足()222
220a b c b a c ++-+=，试判断此三角形的形状.
23．先化简，再求值：（1﹣11a -）÷2244a a a a
-+-，其中a=2+2． 24．计算：
（1）332111x x x x ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭
． （2）2
24244
x x x x x ---++． 25．如图所示90,A D AB DC ∠=∠=︒=，点,E F 在BC 上且BE CF =． （1）求证：AF DE =；
（2）若PO 平分EPF ∠，则PO 与线段BC 有什么关系？为什么？
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
从已知条件进行分析，首先可得△ABE ≌△ACF 得到角相等，边相等，运用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．
【详解】
∵BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵AB=AC ，∠A=∠A ，
∴△ABE ≌△ACF （①正确）
∴AE=AF ，
∴BF=CE ，
∵BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，∠BDF=∠CDE ，
∴△BDF ≌△CDE （②正确）
∴DF=DE ，
连接AD
∵AE=AF ，DE=DF ，AD=AD ，
∴△AED ≌△AFD ，
∴∠FAD=∠EAD ，
即点D 在∠BAC 的平分线上（③正确）．
故答案选D ．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接利用分式有意义，则分母不为零，进而得出答案．
【详解】 解：要使分式
13
a +有意义， 则a +3≠0，
解得：a ≠-3．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键． 3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据分式的减法和除法可以解答本题
【详解】
()()()22===x y
xy x xy
xy x y x x y xy x x y x y
x y
--÷-⋅--⋅---
【点睛】
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图：根据旋转的旋转可知：∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3，
根据勾股定理得：'=
PP A．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【详解】
解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n-2）=3×360°
解得n=8．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
6．D
解析：D
【解析】
解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB=1
3
S矩形ABCD，∴
1
2
AB•h=
1
3
AB•AD，∴
h=2
3
AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l
的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE =P A+PB
D．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接OB，OC，先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决．
【详解】
如图，连接OB，∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=1
2
∠BAC=12×50°=25°.又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°.∵DO是AB的垂直
平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=65°−25°=40°.∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴直线AO 垂直平分BC，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE.∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中,∠OEC=180°−∠COE−∠OCB=180°−40°−40°=100°∴∠CEF=1
2
∠CEO=50°.故
选：C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质的运用、垂直平分线性质的运用、折叠的性质，解答时运用等腰三角形的性质和垂直平分线的性质是解答的关键.
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
将第二个式子提出一个负号，即可使分母一样，然后化简即可得出答案.
【详解】
b a b --
a
a b
-
=
b a
a b
-
-
=-1，所以答案选择D.【点睛】
本题考查了分式的化简，熟悉掌握计算方法是解决本题的关键.
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，
∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=1
2
∠ABC，
∠A1CD=1
2
∠ACD，然后整理得到∠A1=
1
2
∠A，由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出规律．
【详解】
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=1
2
∠ABC，∠A1CD=
1
2
∠ACD，
∴∠A1+∠A1BC=1
2
（∠A+∠ABC）=
1
2
∠A+∠A1BC，
∴∠A1=1
2
∠A=
1
2
×°=32°；
∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1，
∴∠A1=1
2
∠A，
同理可得∠A1=2∠A2，
∴∠A2=1
4
∠A，
∴∠A=2n∠A n，
∴∠A n=(1
2
)n∠A=
2n
，
∵∠A n的度数为整数，∵n=6．
故选C.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性
质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的1
2
是解题的关
键．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据所给图形，分别计算出它们的周长，然后判断各选项即可．
【详解】
A. L=(6+10)×2=32，其周长为32.
B. 该平行四边形的一边长为10，另一边长大于6，故其周长大于32.
C. L=(6+10)×2=32，其周长为32.
D. L=(6+10)×2=32，其周长为32.
采用排除法即可选出B
故选B.
【点睛】
此题考查多边形的周长，解题在于掌握计算公式.
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据因式分解的意义对四个选项进行逐一分析即可.
【详解】
解:A、等式右边不是几个因式积的形式,故不是分解因式,故本选项错误;
B、等式右边不是几个因式积的形式,故不是分解因式,故本选项错误;
C、等式右边应该是(x+3)(x-3),故不符合题意,故本选项错误.
D、等式右边是几个因式积的形式,故是分解因式,故本选项正确;
故选D.
【点睛】
本题考查了因式分解的意义,解题的关键是掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式.
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
4张边长为a的正方形卡片的面积为4a2，4张边长分别为a、b的矩形卡片的面积为4ab，1张边长为b的正方形卡片面积为b2，9张卡片拼成一个正方形的总面积
=4a2+4ab+b2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b．设拼成后大正方形的边长为x，
∴4a2+4ab+b2=x2，
∴(2a+b)2=x2，
∴该正方形的边长为：2a+b.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长．
二、填空题
13．9【解析】【分析】利用三角形的内角和求出∠A余角的定义求出∠ACD然后利用含30度角的直角三角形性质求出AC=2ADAB=2AC即可【详解】解：
∵CD⊥AB∠ACB=90°∴∠ADC=∠ACB=90
解析：9
【解析】
【分析】
利用三角形的内角和求出∠A，余角的定义求出∠ACD，然后利用含30度角的直角三角形性质求出AC=2AD，AB=2AC即可..
【详解】
解：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ADC= ∠ACB=90°
又∵在三角形ABC中，∠B=30°
∴∠A=90°-∠B=60°，AB=2AC
又∵∠ADC=90°
∴∠ACD=90°-∠A=30°
∴AD=1
2
AC,即AC=6
∴AB=2AC=12
∴BD=AB-AD=12-3=9
【点睛】
本题主要考查了含30度角的直角三角形性质以及三角形内角和定理，解题的关键在于灵活应用含30度角的直角三角形性质.
14．145°【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3再根据邻补角定义求出∠4然后根据两直线平行同位角相等解答即可【详解】
∵∠1=55°∴∠3=90°-∠1=90°-55°=35°∴∠4=180°
解析：145°．
【解析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
【详解】
∵∠1=55°，
∴∠3=90°-∠1=90°-55°=35°，
∴∠4=180°-35°=145°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠4=145°．
故答案为145．
15．1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程x2-1x+1＝0然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0解之得x=1经检验可知x=1是分式方程的解答案为1考点：分式方程的解法
解析：1
【解析】
试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.
答案为1.
考点：分式方程的解法
16．﹣4或6【解析】【分析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值【详解】方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得2（x+1）+kx＝3（x﹣
解析：﹣4或6
【解析】
【分析】
根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．
【详解】
方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
2（x+1）+kx＝3（x﹣1），即（k﹣1）x＝﹣5，
∵最简公分母为（x+1）（x﹣1），
∴原方程增根为x＝±1，
∴把x＝1代入整式方程，得k＝﹣4．
把x＝﹣1代入整式方程，得k＝6．综上可知k＝﹣4或6．
故答案为﹣4或6.
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17．3【解析】【分析】分式的值为零时：分子等于零但是分母不等于零【详解】依题意得：x-3=0且x+3≠0解得x=3故答案是：3【点睛】本题考查了分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于
解析：3
【解析】
【分析】
分式的值为零时：分子等于零，但是分母不等于零．
【详解】
依题意得：x-3=0且x+3≠0，
解得x=3．
故答案是：3．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．18．1【解析】【分析】有增根是化为整式方程后产生的使原分式方程分母为0的根在本题中可确定增根是1然后代入化成整式方程的方程中求得m的值【详解】解：去分母得：m﹣1＝2x﹣2由分式方程有增根得到x﹣1＝0
解析：1
【解析】
【分析】
有增根是化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，可确定增根是1，然后代入化成整式方程的方程中，求得m的值．
【详解】
解：去分母得：m﹣1＝2x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入得：m﹣1＝0，
解得：m＝1，
故答案为：1
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行求解：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
19．1【解析】【分析】利用平方差公式把变形再把m-n=1代入即可得答案【详
解】∵m -n=1∴=(m+n)(m -n)-2n=(m+n)-2n=m-n=1故答案为：1【点睛】本题考查整式的运算熟练掌握平方差
解析：1
【解析】
【分析】
利用平方差公式把222m n n --变形，再把m-n=1代入即可得答案．
【详解】
∵m-n=1，
∴222m n n --
=(m+n)(m-n)-2n
=(m+n)-2n
=m-n
=1，
故答案为：1
【点睛】
本题考查整式的运算，熟练掌握平方差公式并运用整体代入的思想是解题关键.
20．10【解析】【分析】设正多边形的边数为n 然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可【详解】解：设正多边形的边数为n 由题意得=144°解得n=10故答案为10【点睛】本题考查了多边形的内角与外角熟记公式
解析：10
【解析】
【分析】
设正多边形的边数为n ，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可．
【详解】
解：设正多边形的边数为n ，
由题意得，()2180n n
-︒=144°， 解得n=10．
故答案为10．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键．
三、解答题
21．证明见解析.
【解析】
试题分析：首先根据互余的等量代换，得出∠EBC=∠EBD，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明．
试题解析：∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC.∵ED⊥AB，∴∠EDB=90°，∴∠EDB -∠BDC=∠ACB -
∠BCD，即∠ECD=∠EDC，即DE=CE ，∴点E 在CD 的垂直平分线上.又∵BD=BC，∴点B 在CD 的垂直平分线上，∴BE 垂直平分CD ．
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，得出∠EBC=∠EBD，是解题的关键．
22．△ABC 为等边三角形
【解析】
试题分析：将原式展开后可得2222220a b ab b c bc +-++-= ,再结合完全平方式的特点分组得到2222
(2)(2)0.a b ab c b bc +-++-=接下来根据完全平方公式可得22()()0,a b c b -+-=结合非负数的性质即可使问题得解
试题解析：将222
22()0a b c b a c ++-+= 变形,可得 2222(2)(2)0.a b ab c b bc +-++-=
由完全平方公式可得
22()()0,a b c b -+-=
由非负数的性质,得
0,0,a b c b -=-=
即,a b c b ==
所以.a b c ==
23．原式=
2
a a -+1． 【解析】
分析：先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得． 详解：原式=2
11(2)(11(1)
a a a a a a ---÷---） =
22(1)•1(2)a a a a a ---- =2
a a -
当
原式1
=． 点睛：本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
24．（1）－1；（2）
2
4x x --． 【解析】
【分析】
（1）先算括号内的减法，再算乘法即可；
（2）分子分母能因式分解的先因式分解，化简后根据异分母分式的减法法则进行计算．
【详解】
解：（1）原式3
3111
x x x x -=⋅=--； （2）原式()()()
()()()()222222222222422x x x x x x x x x x x x x x x x +--++---=-=-==-++---． 【点睛】
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）PO 垂直平分BC ；理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件证明()Rt ABF Rt DCE HL ∆≅∆即可得出结论；
（2）根据Rt ABF Rt DCE ∆≅∆可得出E F ∠=∠，即PEF ∆为等腰三角形，又因为PO 平分EPF ∠，根据三线合一可知PO 垂直平分EF ，从而得出PO 垂直平分BC ．
【详解】
解：（1）证明：∵BE CF BC CB ==，
∴BF CE =，
在Rt ABF ∆与Rt DCE ∆中，
∵BF CE AB DC =⎧⎨=⎩
∴()Rt ABF Rt DCE HL ∆≅∆
∴AF DE =
（2）PO 垂直平分BC ，
∵Rt ABF Rt DCE ∆≅∆，
∴E F ∠=∠，
∴PEF ∆为等腰三角形，
又∵PO 平分EPF ∠，
∴PO BC ⊥（三线合一），EO FO =（三线合一）
又∵EB FC =，
∴BO CO =，
∴PO 垂直平分BC ．
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定及性质、垂直平分线的判定、等腰三角形的性质，角平分线的性质，难度不大，但综合性较强，考验了学生综合分析问题的能力．下载本文
