注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
样本数据的标准差
，其中为样本平均数.
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合，则
A． B． C． D．
2．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为
A. B. C. D.
3．“”是 “函数有零点”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
5．若则实数m的值等于
A． B． C．－3或1 D．－1或3
6．已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为
A. B. C. D.
7．已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立，且为自然对数的底，则
A.
B.
C.
D.
8．形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为
A. B. C. D.
9．已知点P是双曲线右支上一点F1,F2分别是双曲线的左、
右焦点，I为的内心，若成立，则双曲线的离心率为
A．5 B．4 C．3 D．2
10．设,记不超过的最大整数为，如，，令，则，，，三个数构成的数列（ ）
A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
11．计算的值等于 ★★★ ．
12．如右图所示的算法流程图中，输出S的值为 ★★★ ．
13．点P的坐标满足，过点P的直线与圆相交于A、B 两点，则的最小值是 ★★★ ．
14．近年来，随着以煤炭为主的能
源消耗大幅攀升、机动车保有量急
剧增加，我国许多大城市灰霾现象
频发，造成灰霾天气的“元凶”之一
（第14题图）
是空气中的pm2.5（直径小于等于
24小时平均浓度
(毫克/立方米)
2.5微米的颗粒物）.右图是某市某
月（按30天计）根据对“pm2.5”
24小时平均浓度值测试的结果画成
的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月有 天“pm2.5”含量不达标．
15．歌德（Goldbach．C．德．1690—17）曾研究过“所有形如（，为正整数）的分数之和”问题．为了便于表述，引入记号：
＝＋＋┅
＋＋┅
写出你对此问题的研究结论： ★★★ ．
（用数学符号表示）．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分）
设函数
（1）求函数取最值时x的取值集合；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满求函数的取值范围．
17．（本小题满分13分）
某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准.
（1）从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数的关系式为：
，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求的分布列和数学期望．
18．（本小题满分13分）
如图，在梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围.
19．（本小题满分13分）
已知函数.
(1) 求函数在上的最大值.
(2)如果函数的图像与轴交于两点、，且.是的导函数，若正常数满足.
求证：.
20．（本小题满分14分）
已知抛物线的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限.
（1）求证：以线段FA为直径为圆与Y轴相切；
（2）若，求的值.
21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14
分，如果多做，则按所做的前两题计分.
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，
（Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）.
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求圆上的点到直线的距离的最小值.
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知不等式
（Ⅰ）若，求不等式的解集；
（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围.
高三数学(理科)模拟试卷参
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）
1．B 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．A 8．D 9．D 10．B
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
11． 12．52 13．4 14．27 15．＝1
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）
16．（本小题满分13分）
解：(1)
f(x)=cossin+-= +-=(sin+cos)
f(x)=sin(+) ………4分
当+=(k)时，f(x)取最值
此时x取值的集合：（k） ………6分
（2）(2a-c)cosB=Bcosc (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC
2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA ………8分
2conA=1 B= f(A)= sin(+) 0 解：（1）由样本数据知，件产品中等级系数有件，即一等品有件，二等品有件，三等品有件 ………3分 ∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为 ………4分 二等品的频率为，故估计该厂生产的产品的二等品率为； ………5分 三等品的频率为，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为．……6分 （2）∵的可能取值为：， 用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1） 可得, , ………9分 ∴可得的分布列： 其数学期望(元) ………13分 18．（本小题满分13分） 解：（I）证明：在梯形中， ∵,， ∠＝，∴ ∴∴ ∴ ⊥ ∵ 平面⊥平面,平面∩平面,平面 ∴ ⊥平面 …………………6分 （II）由（I）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，令，则， ∴ 设为平面MAB的一个法向量， 由得 取，则，…………8分 ∵ 是平面FCB的一个法向量 ∴…11分 ∵ ∴ 当时，有最小值， 当时，有最大值。 ∴ …………………13分 19．（本小题满分13分） 解：(1)由得到：， ，故在有唯一的极值点，， ，， 且知，所以最大值为． ……………4分 (2)，又有两个不等的实根， 则，两式相减得到: …………6分 于是 ，…………………8分 要证：，只需证： 只需证： ① 令，只需证：在上恒成立， 又∵ ∵，则，于是由可知， 故知在上为增函数， 则，从而知，即①成立，从而原不等式成立.…13分 20．（本小题满分14分） 解：（1）由已知F（），设A（），则 圆心坐标为，圆心到y轴的距离为. …………… 2分 圆的半径为， ……………4分 ∴以线段FA为直径的圆与y轴相切。 …………… 5分 1.设P（0，），B（），由，得. ……………6分 . …………… 7分 ∴① ② ③ ……………10分 ∵ 将③变形为， ∴. ……………11分 将代入②，整理得 ………………12分 代入①得 . ……………13分 即. …………14分 21．（本小题满分14分） （1）选修4-2：矩阵与变换 解：（1）解：（Ⅰ）由=， ∴. …………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，则矩阵的特征多项式为 …………5分 令，得矩阵的特征值为与4. 当时， ∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为; …………6分 当时， ∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为. …………7分 （2）选修4-4：坐标系与参数方程 （Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系. …………1分 …………2分 所以，该直线的直角坐标方程为： …………3分 （Ⅱ）圆的普通方程为： …………4分 圆心到直线的距离…………5分 所以，圆上的点到直线的距离的最小值为 …………7分 （3）选修4-5：不等式选讲 （Ⅰ）， ① 若，则，，舍去． ② 若，则，． ③ 若，则，． …………3分 综上，不等式的解集为． …………4分 （Ⅱ）设，则 ， …………6分 ，． …………7分下载本文
………11分1 2 4 0.5 0.3 0.2
