1．已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）如图1，求证：AE＝EF；

（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．

2．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．

（1）判断四边形ACDF的形状；

（2）当BC＝2CD时，求证：CF平分∠BCD．

3．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，延长BA至点F，延长CB至点E，使BE＝AF，连结CF，EA，AC，延长EA交CF于点G．

（1）求证：△ACE≌△CBF；

（2）求∠CGE的度数．

4．如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．

（1）试判断四边形AEDF的形状．

（2）当△ABC满足　   　条件时，EF∥BC；当△ABC满足　   　条件时，EF＝AD．

5．如图正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．

（1）若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF；

（2）若该正方形ABCD的边长为1，如果△CEF的周长为2．求∠EAF的度数．

6．一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中四边形PRBA，RQDC，QPFE为正方形．记正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为S1，S2，S3，RH⊥PQ，垂足为H．（友情提示：正方形的四个内角都等于90度，四边都相等）

（1）若PR⊥QR，S1＝16，S2＝9，则S3＝　   　，RH＝　   　；

（2）若四边形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为25m2、13m2、36m2

①求△PRQ的面积；

②请判断△PRQ和△DEQ的面积的数量关系，并证明你的结论；

③六边形花坛ABCDEF的面积是　   　m2．

7．已知，如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．

（1）求证：①△BCG≌△DCE．②BH⊥DE．

（2）当BH平分DE时，求GC的长．

8．如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O做EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB＝，∠DCF＝30°，求EF的长．

9．已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．

（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；

（2）当平行四边形ABCD满足　   　条件时，四边形GEHF是菱形；

（3）若BD＝2AB，探究四边形GEHF的形状，并说明理由．

10．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．

（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；

（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，

①当AE＝　   　cm时，四边形CEDF是矩形；

②当AE＝　   　cm时，四边形CEDF是菱形．

11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，AD＝16，BC＝22，∠ABC＝90°，点P从点A出发，以每秒1单位的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当v＝3时，若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求t的值；

（2）若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请直接写出t的值．

12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于点F，延长DC到点E，使得CE＝DC，连接BE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形．

（2）填空：

①当∠ADC＝　   　°时，四边形ACEB为菱形；

②当∠ADC＝90°，BE＝4时，则DE＝　   　．

13．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，EF垂直平分AM，分别交BC，AM，AD于点E，O，F，连接AE，MF．

（1）求证：四边形AEMF是菱形；

（2）若AB＝6，H为AB的中点，连接OH交AE于点P，OH+OA＝9，求△OPE的周长．

14．在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD的中点，连接AP、AQ．

（1）如图（1），求证：AP＝AQ；

（2）如图（2），连接PQ、AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．

15．如图，四边形ABCD为菱形，∠BCD＝60°，E为对角线AC上一点，且AE＝AB，F为CE的中点，接DF、BF，BG⊥BF与AC交于点G；

（1）若AB＝2，求EF的长；

（2）求证：CG﹣EF＝BG．

参

1．（1）证明：如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME，

∵∠B＝90°，

∴∠BME＝∠BEM＝45°，

∴∠AME＝135°＝∠ECF，

∵AB＝BC，BM＝BE，

∴AM＝EC，

在△AME和△ECF中，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF；

（2）解：取AB中点M，连接EM，

∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点，

∴AM＝CE＝BE，

∴∠BME＝∠BME＝45°，

∴∠AME＝135°＝∠ECF，

∵∠B＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∵∠AEF＝90°，

∴∠AEB+∠FEC＝90°，

∴∠BAE＝∠FEC，

在△AME和△ECF中，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴EM＝CF，

∵AB＝2，点E是边BC的中点，

∴BM＝BE＝1，

∴CF＝ME＝．

2．（1）解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，∠BCD＝∠B＝90°，

∴∠FAE＝∠CDE，

∵E是AD的中点，

∴AE＝DE，

在△FAE和△CDE中，，

∴△FAE≌△CDE（ASA），

∴CD＝FA，

又∵CD∥AF，

∴四边形ACDF是平行四边形；

（2）证明：∵BC＝2CD，AB＝CD，四边形ACDF是平行四边形，

∴AF＝CD，BF＝BC，

∴△BCF是等腰直角三角形，

∴∠BCF＝45°，

∴∠DCF＝45°，

∴CF平分∠BCD．

3．（1）证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，

∵BE＝AF，

∴BE+BC＝AF+AB，

即CE＝BF，

在△ACE和△CBF中，，

∴△ACE≌△CBF（SAS）；

（2）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBF，

∴∠E＝∠F，

∵∠BAE＝∠FAG，

∴∠E+∠BAE＝∠F+∠FAG，

∴∠CGE＝∠ABC，

∵∠ABC＝60°，

∴∠CGE＝60°．

4．解：（1）四边形AEDF是菱形；理由如下：

∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，

∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠EAD＝∠FAD，

∴∠ADF＝∠FAD，

∴FA＝FD，

∴四边形AEDF是菱形；

（2）当△ABC满足AB＝AC条件时，EF∥BC；当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，EF＝AD．理由如下：

由（1）得：四边形AEDF是菱形，

∴AD⊥EF，

∵AB＝AC，AD是角平分线，

∴AD⊥BC，

∴EF∥BC；

当∠ABC＝90°时，四边形AEDF是正方形，

∴EF＝AD；

故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°．

5．（1）证明：如图，

延长CD至E'，使DE'＝BE，连接AE'，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠B＝90°，

∴∠ADE'＝90°＝∠ABE，

在△ADE'和△ABE中，，

∴△ADE'≌△ABE（SAS），

∴AE'＝AE，∠DAE'＝∠BAE，

∵∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠BAE＝45°，

∴∠DAF+∠DAE'＝∠E'AF＝45°＝∠EAF，

在△E′AF和△EAF中，，

∴△E′AF≌△EAF（SAS），

∴E′F＝EF，

∵E′F＝DE′+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

（2）延长CD至E'使DE'＝BE，连接AE'，

由（1）知，△ADE'≌△ABE（SAS），

∴AE'＝AE，∠DAE'＝BAE，

设BE＝x，DF＝y，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴CE＝1﹣x，CF＝1﹣y，

∵△CEF的周长为2，

∴CE+CF+EF＝2，

∴1﹣x+1﹣y+EF＝2，

∴EF＝x+y＝BE+DF＝DE'+DF＝E'F，

在△E'AF和△EAF中，，

∴△E'AF≌△EAF（SSS），

∴∠E'AF＝∠EAF，

∴∠DAE'+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，

∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°，

∴∠EAF＝45°．

6．解：（1）∵PR⊥QR，

∴∠PRQ＝90°，

∴PR2+RQ2＝PQ2，

∵S1＝16，S2＝9，

∴S3＝16+9＝25，

∴PR＝4，RQ＝3，PQ＝5，

∵RH⊥PQ，

∴PR•RQ＝PQ•RH，

∴RH＝＝，

故答案为：25，2.4；

（2）①设PH＝a，则QH＝6﹣a，

∵RH2＝PR2﹣PH2＝RQ2﹣HQ2，

∴25﹣a2＝13﹣（6﹣a）2，

解得：a＝4，

∴RH2＝PR2﹣PH2

＝25﹣16

＝9，

∴RH＝3，

∴S△PQR＝×6×3＝9；

②S△PRQ＝S△DQE，

证明：延长RQ到点M，使QM＝RQ，连结PM，

∵QD＝QM，∠DQE＝∠MQP，QE＝QP

∴△DQE≌△MQP（SAS），

∴S△DQE＝S△MQP，

∵RQ＝QM，

∴S△PRQ＝S△MQP，

∴S△PRQ＝S△DQE；

③六边形花坛ABCDEF的面积＝25+13+36+4×9＝74+36＝110m2．

故答案为：110．

7．（1）证明：∵正方形ABCD，

∴∠BCD＝90°，BC＝CD，

同理：CG＝CE，

∠GCE＝90°，

∴∠BCD＝∠GCE＝90°，

，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴∠GBC＝∠CDE，

在Rt△DCE中∠CDE+∠CED＝90°，

∴∠GBC+∠BEH＝90°，

∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BHE）＝90°，

∴BH⊥DE；

（2）若BH垂直平分DE，连接BD，

∴BD＝BE，

∵BD＝，

∴CG＝CE＝BE﹣BC＝﹣1．

8．解：（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，

∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AFO＝∠CEO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（AAS），

∴AF＝CE，

∴AF＝CF＝CE＝AE，

∴四边形AECF是菱形；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝，

在Rt△CDF中，cos∠DCF＝，∠DCF＝30°，

∴CF＝＝2，

∵四边形AECF是菱形，

∴CE＝CF＝2．

9．（1）证明：连接AC，如图1所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∴BD的中点在AC上，

∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，

∴E、F分别为OB、OD的中点，

∵G是AD的中点，

∴GF为△AOD的中位线，

∴GF∥OA，GF＝OA，

同理：EH∥OC，EH＝OC，

∴EH＝GF，EH∥GF，

∴四边形GEHF是平行四边形；

（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：

连接GH，如图2所示：

则AG＝BH，AG∥BH，

∴四边形ABHG是平行四边形，

∴AB∥GH，

∵AB⊥BD，

∴GH⊥BD，

∴GH⊥EF，

∴四边形GEHF是菱形；

故答案为：AB⊥BD；

（3）解：四边形GEHF是矩形；理由如下：

由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，

∴GH＝AB，

∵BD＝2AB，

∴AB＝BD＝EF，

∴GH＝EF，

∴四边形GEHF是矩形．

10．（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CF∥ED，

∴∠FCD＝∠GCD，

∵G是CD的中点，

∴CG＝DG，

在△FCG和△EDG中，

∴△CFG≌△EDG（ASA），

∴FG＝EG，

∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，

理由是：过A作AM⊥BC于M，

∵∠B＝60°，AB＝6，

∴BM＝3，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，

∵AE＝7，

∴DE＝3＝BM，

在△MBA和△EDC中，，

∴△MBA≌△EDC（SAS），

∴∠CED＝∠AMB＝90°，

∵四边形CEDF是平行四边形，

∴四边形CEDF是矩形，

故答案为：7；

②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，

理由是：∵AD＝10，AE＝4，

∴DE＝6，

∵CD＝6，∠CDE＝60°，

∴△CDE是等边三角形，

∴CE＝DE，

∵四边形CEDF是平行四边形，

∴四边形CEDF是菱形，

故答案为：4．

11．解：（1）∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，

∵AP∥BQ，

∴当AP＝BQ时，四边形APQB为平行四 边形．

此时，t＝22﹣3t，t＝．

当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，

∵PD∥QC，

∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四边形．

此时，16﹣t＝3t，t＝4，

∵线段PQ为平行四边形的一边，

故当t＝或4时，线段PQ为平行四边形的一边．

（2）当PD＝BQ＝BP时，四边形PBQD能成为菱形．

由PD＝BQ，得16﹣t＝22﹣3t，解得t＝3，

当t＝3时，PD＝BQ＝13，AP＝AD﹣PD＝16﹣13＝3．

在Rt△ABP中，AB＝8，根据勾股定理得，BP═≠13

∴四边形PBQD不能成为菱形；

如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，

由题意得，，解得，．

故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在t＝6时为菱形．

12．（1）证明：∵AC垂直平分BD，

∴AB＝AD，BF＝DF，

∵AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB．

∵∠AFB＝∠CFD，

∴△AFB≌△CFD （ASA），

∴AB＝CD．

又∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝AD，

∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）①当∠ADC＝60°，四边形ACEB为菱形，

∵∠ADC＝60°，

∴∠BCE＝60°，

∴△BCE是等边三角形，

∴CE＝BE，

∴四边形ACEB为菱形，

故答案为：60；

②当∠ADC＝90°，BE＝4时，

DE＝4，

故答案为：4．

13．（1）证明：∵EF垂直平分AM，

∴AE＝EM，OA＝OM．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC．

∴∠AFO＝∠MEO，在△OF和△MOE中，，

∴△AOF≌△MOE（AAS）．

∴OF＝OE．

∴四边形AEMF是平行四边形．

∵AE＝EM．

∴四边形AEMF是菱形；

（2）解：∵O、H分别为AM、AB的中点，

∴BM＝2OH，AM＝2OA，

∴AM+BM＝2OA+2OH＝18．

设BM＝x，则AM＝18﹣x，

在Rt△ABM中，由勾股定理得：62+x2＝（18﹣x）2，

解得：x＝8，

∴BM＝8，AM＝10．

∴OA＝AM＝5，

设EM＝m，则BE＝8﹣m，AE＝EM＝m，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：62+（8﹣m）2＝m2，

解得：m＝，

∴AE＝EM＝

在Rt△AOE中，EO＝＝＝．

∵OP∥EM，

∴＝＝1，

∴AP＝PE，

∴OP＝EM＝，

∵PE＝AE＝，

∴△OPE的周长＝EO+PE+OP＝++＝10．

14．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，

∵P、Q分别是边BC、CD的中点，

∴BP＝CQ，

在△ABP和△ADQ中，

，

∴△ABP≌△ADQ（SAS），

∴AP＝AQ，

（2）∵AP＝AQ，

∴△APQ是等腰三角形，

∵BC＝CD，

∵P、Q分别是边BC、CD的中点，

∴PC＝CQ，

∴△PQC是等腰三角形，

∵AB＝BC，AD＝CD，

∴△ABC，△ACD是等腰三角形，

∴图中所有的等腰三角形有△ABC，△APQ，△ACD，△CPQ．

15．（1）解：连接BD交AC于O，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BAD＝∠BCD＝60°，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∠OAB＝∠BAD＝30°，

∴OB＝AB＝1，OA＝OB＝，

∴AC＝2OA＝2，

∵AE＝AB＝2，

∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，

∵F为CE的中点，

∴EF＝CE＝﹣1；

（2）证明：设AB＝2a，

同（1）得：OB＝AB＝a，OA＝OB＝a，

∴AC＝2OA＝2a，

∵AE＝AB＝2a，

∴CE＝AC﹣AE＝（2﹣2）a，OE＝AE﹣OA＝（2﹣）a，

∵F为CE的中点，

∴EF＝CE＝（﹣1）a，

∴OF＝OE+EF＝（2﹣）a+（﹣1）a＝a，

∴OB＝OF，

∵AC⊥BD，

∴△BOF是等腰直角三角形，

∴∠BFG＝45°，

∵BG⊥BF，

∴△BFG是等腰直角三角形，

∴GF＝BG，

∵GF＝CG﹣CF＝CG﹣EF，

∴CG﹣EF＝BG．下载本文