3.1空间向量及其运算

§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算

1. 下列命题中不正确的命题个数是( )

①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；

②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；

③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。

A .1

B .2

C .3

D .4

2.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )

A .（

41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，3

2

） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则

4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则

EF =_____________.

5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB yAD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.

§3.1.3空间向量的数量积运算

1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A

B . 15 C

D . 3

5

2．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=

，

_ _ D

_ A

_ P

_ N _ B

_ M

0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )

A ．钝角三角形

B ．锐角三角形

C ．直角三角形

D ．不确定的

3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为

__________．

;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )

()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;

④

4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且

∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当

1

CD

CC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

§3.1.5空间向量运算的坐标表示

1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31

(0，

，)22

-，则(，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--

2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、

、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形

C ．可构成钝角三角形

D ．不能构成三角形

3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .

5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.

C 1 B 1 A 1

B A

3.2立体几何中的向量方法

1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．2

2

2

{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．2

2

2

{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．2

2

2

{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．2

2

2

{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=

2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42

B ．3

2

C ．3

3 D ．

2

3 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥. （1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.

B 4. 如图，在直三棱柱111AB

C A B C -中， AB =1

，1AC AA ==∠ABC =60°. (1)证明：1AB A C ⊥；

（2）求二面角A —1A C —B 的大小.

5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，

倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；

（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.

D 1

C 1

B 1

A 1

D

A

B

C

_ C

_ _ A

_S

_ F

_B

参

第三章 空间向量与立体几何

3.1空间向量及其运算

§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算

1.A

2.A

3.3

2

4.3a +3b －5c

5.

如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.

∵1122EN CD BA ===1

2

AB -，

EN PM PE =-=211

326

PC PC PC -=，

连结AC ，则

P C A C A P A B A D =-=+- ∴11

()26MN AB AB AD AP =--+-

=211

366AB AD AP --+，

∴211

,,366

x y z =-=-=.

§3.1.3空间向量的数量积运算

1.C

2.B

3. ③④

4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，

BD CD CB b a =-=- ，所以

1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；

（2）1,2,CD x CD CC ==1设

则 2CC =x

， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x A

C C

D ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，

2

2

112

42

()()6A C C D a b c a c a a b b c c x

x ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=

+

-， 令

2

4260x x +

-=，则2

320x x --=，解得1x =，或23

x =-（舍去）， 111,.A C C BD ∴=⊥1

CD 时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示

_ _ D

_ A

_ P

_ N _ B

_ M _ E

A

2.D

3.B

4.16

5. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0） A 1（0，0，2a )，C 1（-

23a ，a 2,2

a

) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2

a

）

，连结AM ，MC 1 则有

1(,0,0)2

MC a =-

(0,,0)AB a =

，1)AA =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，

所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.

因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.

1(,)22a AC a =-

，(0,)2

a AM =， ∴2194a AC AM ⋅=，而|13

||3,||2

AC a AM a ==，

由cos<1,AC AM >=

113

||||AC AM AC AM ⋅=∴

<1,AC AM >=30°.

∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.

3.2立体几何中的向量方法

1.A

2.C

3.

（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，

()10,0,A t ，()10,2,C t ，

()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，

()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1

A C C

B ⊥， 又11BA A

C ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .

（2）由1AC ⋅2

1

30BA t =-+=，得

t =

设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =

，(1AA =，()2,2,0AB =，所以

10

220

n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨

⋅=+=⎪⎩，设1z =

，则(

)

3,n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n

⋅

=

=

7

. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,

m x y z =，(10,CA =-，()2,0,0

CB =， 所以

10

20

m CA y m CB

x ⎧⋅=-+=⎪⎨

⋅==⎪⎩，设1z =，则()

m =，

故cos ,m n m n m n

⋅<>=

=

⋅ 可知二面角1A A B C --. 4.（1）

三棱柱111ABC

A B C -为直三棱柱，

11AB AA AC AA ∴⊥⊥，

Rt ABC ∆，1,60AB AC ABC ==∠=︒，

由正弦定理0

30ACB

∠=.

090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .

如右图，建立空间直角坐标系， 则 1(0,0,0),

(1,0,

(0,

3,(0,0,3)

A B C A

1

(1,0,0),AB AC ∴==， 1

1000(0AB AC ⋅=⨯+⨯=， 1AB A C ∴⊥.

(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面

1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,BC n AC n BC ⋅=⋅==

-又（），

,

l

l n m

⎧-=

⎪

∴∴==

=

.

不妨取1,

m n

==

则，

cos,

m n

m n

m n

⋅

<>===

⋅

.

1

A AC BD

∴--

二面角的大小为.

5.（1）连结BD，设AC交于BD于O，

由题意知SO ABCD

⊥平面.以O为坐标原点，

OB OC OS

，分别为x轴、y轴、z轴正方向，

建立坐标系O xyz

-如右图.

设底面边长为a

，则高

2

SO a

=.于是

(0,0,),(,0,0)

22

S a D a

-

，(0,,0)

2

C a

，

(0,,0)

2

OC a

=

，(,0,)

22

SD a

=--，0

OC SD

⋅=，故OC SD

⊥.从而AC SD

⊥.

(2)由题设知，平面PAC

的一个法向量(,0,)

22

DS a a

=，平面DAC

的一个法向量00

OS =（，设所求二面角为θ

，则cos

OS DS

OS DS

θ

⋅

==，得所求二面角的大小为30°.

（3）在棱SC上存在一点E使//

BE PAC

平面.由（2）知DS是平面PAC的一个法向量，且

),(0,)

22

DS a CS a

==-

（.

设,

CE tCS

=

则((1)

BE BC CE BC tCS a t

=+=+=-，而

1

3

BE DC t

⋅=⇔=.即当:2:1

SE EC=时，BE DS

⊥.而BE不在平面PAC内，故//

BE PAC

平面.

作者于华东

责任编辑庞保军下载本文