一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．

1．（4分）4的平方根是（　　）

A．2    B．﹣2    C．±2    D．16

2．（4分）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形是（　　）

A．    B．    

C．    D．

3．（4分）下列计算不正确的是（　　）

A．a3+a3＝2a6    B．（﹣a3）2＝a6    C．a3÷a2＝a    D．a2•a3＝a5

4．（4分）某校在中国主义青年团成立100周年之际，举行了歌咏比赛，七位评委对某个选手的打分分别为：91，88，95，93，97，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．94，94    B．95，95    C．94，95    D．95，94

5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（　　）

A．5    B．10    C．15    D．20

6．（4分）2020年12月17日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功着陆地球．2021年10月19日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥五号带回的玄武岩形成的年龄为20.30±0.04亿年．用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小的为（单位：年）（　　）

A．2.034×108    B．2.034×109    C．2.026×108    D．2.026×109

7．（4分）某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是（　　）

A．﹣＝3    B．﹣＝3    

C．﹣＝3    D．﹣＝3

8．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a≠0    B．a＞﹣1且a≠0    C．a≥﹣1且a≠0    D．a＞﹣1

9．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

10．（4分）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（　　）

A．0    B．﹣10    C．3    D．10

11．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（　　）

A．a≥    B．a＞    C．0＜a＜    D．0＜a≤

12．（4分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（　　）

A．①②④    B．①②③    C．①③④    D．①②③④

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．

13．（4分）分解因式：x3﹣4x＝　   　．

14．（4分）不等式组的解集为 　   　．

15．（4分）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝　   　．

16．（4分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S＝．现有周长为18的三角形的三边满足a：b：c＝4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 　   　．

17．（4分）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 　   　．

18．（4分）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为 　   　．

三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（10分）计算：

（1）﹣4sin30°+|﹣2|；

（2）（1﹣）÷．

20．（10分）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：AD＝CF．

21．（10分）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：

（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，求m的值；

（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．

22．（10分）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：≈1.7，≈1.4）

23．（12分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C、D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△OCD的面积．

24．（12分）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG＝EC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若点F是OA的中点，BD＝4，sin∠D＝，求EC的长．

25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．

（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；

（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值．

2022年四川省宜宾市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．

1．（4分）4的平方根是（　　）

A．2    B．﹣2    C．±2    D．16

【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．

【解答】解：∵（±2）2＝4，

∴4的平方根是±2．

故选：C．

2．（4分）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【解答】解：从正面看，底层是三个相邻的小正方形，上层的右边是一个小正方形．

故选：D．

3．（4分）下列计算不正确的是（　　）

A．a3+a3＝2a6    B．（﹣a3）2＝a6    C．a3÷a2＝a    D．a2•a3＝a5

【分析】利用合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘除法则逐个计算，根据计算结果得结论．

【解答】解：A．a3+a3＝2a3≠2a6，故选项A计算不正确；

B．（﹣a3）2＝a6，故选项B计算正确；

C．a3÷a2＝a，故选项C计算正确；

D．a2•a3＝a5，故选项D计算正确．

故选：A．

4．（4分）某校在中国主义青年团成立100周年之际，举行了歌咏比赛，七位评委对某个选手的打分分别为：91，88，95，93，97，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．94，94    B．95，95    C．94，95    D．95，94

【分析】先将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的概念求解可得．

【解答】解：将这组数据从小到大排列为88，91，93，94，95，95，97，

所以这组数据的众数是95，中位数是94．

故选：D．

5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（　　）

A．5    B．10    C．15    D．20

【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．

【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDF，

∴BF＝FD，DE＝EC，

∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．

故选：B．

6．（4分）2020年12月17日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功着陆地球．2021年10月19日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥五号带回的玄武岩形成的年龄为20.30±0.04亿年．用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小的为（单位：年）（　　）

A．2.034×108    B．2.034×109    C．2.026×108    D．2.026×109

【分析】先求出此玄武岩形成的年龄最小值，再运用科学记数法进行表示．

【解答】解：∵20.30﹣0.04＝20.26（亿），

且20.26亿＝2026000000＝2.026×109，

故选：D．

7．（4分）某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是（　　）

A．﹣＝3    B．﹣＝3    

C．﹣＝3    D．﹣＝3

【分析】设原计划每天完成x套桌凳，则实际每天完成（x+2）套，根据原计划完成的时间﹣实际完成的时间＝3天列出方程即可．

【解答】解：设原计划每天完成x套桌凳，则实际每天完成（x+2）套，

根据原计划完成的时间﹣实际完成的时间＝3天得：﹣＝3，

故选：C．

8．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a≠0    B．a＞﹣1且a≠0    C．a≥﹣1且a≠0    D．a＞﹣1

【分析】根据根的判别式即可列不等式，计算即可得答案，注意a≠0．

【解答】解：由题意可得：，

∴a＞﹣1且a≠0，

故选：B．

9．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】利用矩形和折叠的性质可得BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程，即可求出x的值，进而可得cos∠ADF．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，

∴∠BDC＝∠DBF，

由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，

∴∠BDF＝∠DBF，

∴BF＝DF，

设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，

在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，

∴x＝，

∴cos∠ADF＝，

故选：C．

10．（4分）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（　　）

A．0    B．﹣10    C．3    D．10

【分析】由于m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n＝﹣2，mn＝﹣5，而m是方程的一个根，可得m2+2m﹣5＝0，即m2+2m＝5，那么m2+mn+2m＝m2+2m+mn，再把m2+2m、m+n的值整体代入计算即可．

【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，

∴m+n＝﹣2，mn＝﹣5，

∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，

∴m2+2m﹣5＝0，

∴m2+2m＝5，

∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．

故选：A．

11．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（　　）

A．a≥    B．a＞    C．0＜a＜    D．0＜a≤

【分析】把A、B两点坐标代入二次函数解析式，用a表示b、c，进而把抛物线的解析式用a表示，设抛物线的顶点为点P，AB的中点为点C，求得抛物线的对称轴与顶点坐标，根据抛物线与以AB为直径的圆在x轴下方的抛物线有交点得a＞0，且CP≥求得a的取值范围便可．

【解答】解：把A（﹣2，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+c得，

，

解得，

∴抛物线的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a，

设抛物线的顶点为点P，

∴抛物线的顶点P（1，﹣9a），对称轴为x＝1，

设C为AB的中点，则C（1，0），

∴CP＝|﹣9a|＝9a

∵以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，

∴a＞0，CP≥即9a≥3，

∴a≥．

故选：A．

12．（4分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（　　）

A．①②④    B．①②③    C．①③④    D．①②③④

【分析】①正确．证明△BAD≌△DAE（SAS），可得结论；

②正确．证明A，D，C，E四点共圆，利用圆周角定理证明；

③正确．设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，过点C作CJ⊥DF于点J，求出AO，CJ，可得结论；

④错误．将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，设PD＝t，则BD＝AD＝t，构建方程求出t，可得结论．

【解答】解：如图1中，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△DAE（SAS），

∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，

∵∠ADB+∠ADC＝180°，

∴∠AEC+∠ADC＝180°，

∴∠DAE+∠DCE＝180°，

∴∠DAE＝∠DCE＝90°，

取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，

∴A，D，C，E四点共圆，

∴∠DAC＝∠CED，故②正确，

设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，

过点C作CJ⊥DF于点J，

∵tan∠CDF＝＝＝2，

∴CJ＝m，

∵AO⊥DE，CJ⊥DE，

∴AO∥CJ，

∴＝＝＝，故③正确．

如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，

∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，

∴△BPN是等边三角形，

∴BP＝PN，

∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，

∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，

∴∠BPD＝∠CPD＝60°，

设PD＝t，则BD＝AD＝t，

∴2+t＝t，

∴t＝+1，

∴CE＝BD＝t＝3+，故④错误．

故选：B．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．

13．（4分）分解因式：x3﹣4x＝　x（x+2）（x﹣2）　．

【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

【解答】解：x3﹣4x，

＝x（x2﹣4），

＝x（x+2）（x﹣2）．

故答案为：x（x+2）（x﹣2）．

14．（4分）不等式组的解集为 　﹣4＜x≤﹣1　．

【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．

【解答】解：，

解不等式①，得：x≤﹣1，

解不等式②，得：x＞﹣4，

故原不等式组的解集为﹣4＜x≤﹣1，

故答案为：﹣4＜x≤﹣1．

15．（4分）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝　　．

【分析】由∠1＝∠2，∠A＝∠A，得出△AEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出EF的长度．

【解答】解：∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，

∴△AEF∽△ABC，

∴，

∵BC＝4，AF＝2，CF＝3，

∴，

∴EF＝，

故答案为：．

16．（4分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S＝．现有周长为18的三角形的三边满足a：b：c＝4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 　3　．

【分析】根据题意先求出a、b、c，再代入公式进行计算即可．

【解答】解：根据a：b：c＝4：3：2，设a＝4k，b＝3k，c＝2k，

则4k+3k+2k＝18，

解得：k＝2，

∴a＝4k＝4×2＝8，b＝3k＝3×2＝6，c＝2k＝2×2＝4，

∴S＝＝＝3，

故答案为：3．

17．（4分）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 　2　．

【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．

【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，

则四边形EODC为正方形，

∴OE＝OD＝3＝，

∴AC+BC﹣AB＝6，

∴AC+BC＝AB+6，

∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，

∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，

而BC2+AC2＝AB2，

∴2BC×AC＝12AB+36①，

∵小正方形的面积为49，

∴（BC﹣AC）2＝49，

∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，

把①代入②中得

AB2﹣12AB﹣85＝0，

∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，

∴AB＝17（负值舍去），

∴大正方形的面积为 2．

故答案为：2．

18．（4分）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为 　9　．

【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，设OC＝b，通过解直角三角形和等边三角形的性质用b表示出A、B两点的坐标，进而代入反比例函数的解析式列出b的方程求得b，便可求得k的值．

【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，

∵△OMN是边长为10的等边三角形，

∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°，

设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，

∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），

∵∠M＝60°，AB⊥OM，

∴AM＝2BM＝20﹣2b，

∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣2b）＝2b﹣10，

∵∠AND＝60°，

∴DN＝＝b﹣5，AD＝AN＝b﹣5，

∴OD＝ON﹣DN＝15﹣b，

∴A（15﹣b，b﹣5），

∵A、B两点都在反比例函数数y＝（x＞0）的图象上，

∴k＝（15﹣b）（b﹣5）＝b•b，

解得b＝3或5，

当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，

∴b＝3，

∴k＝b•b＝9，

故答案为：9．

三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（10分）计算：

（1）﹣4sin30°+|﹣2|；

（2）（1﹣）÷．

【分析】（1）先计算二次根式、特殊角的三角函数值和绝对值，再计算乘法，最后计算加减；

（2）先计算括号里面的，再变除法为乘法进行分式的乘法运算．

【解答】解：（1）﹣4sin30°+|﹣2|

＝2﹣4×+2﹣

＝2﹣2+2﹣

＝；

（2）（1﹣）÷

＝（）．

＝

＝a﹣1．

20．（10分）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：AD＝CF．

【分析】利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．

【解答】证明：∵AB∥DE，

∴∠A＝∠EDF．

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（AAS）．

∴AC＝DF，

∴AC﹣DC＝DF﹣DC，

即：AD＝CF．

21．（10分）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：

（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，求m的值；

（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．

【分析】（1）根据选择A类书籍的同学的人数和百分比计算，求出九年级（1）班的人数，求出选择C类书籍的人数，补全条形统计图；

（2）求出选择B类书籍的人数，求出m；

（3）根据题意画出画树状图，求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．

【解答】解：（1）九年级（1）班的人数为：12÷30%＝40（人），

选择C类书籍的人数为：40﹣12﹣16﹣8＝4（人），

补全条形统计图如图所示；

（2）m%＝×100%＝40%，

则m＝40；

（3）∵选择C类书籍的同学共4人，有2名女同学，

∴有2名男同学，

画树状图如图所示：

则P（一男一女）＝＝．

22．（10分）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：≈1.7，≈1.4）

【分析】根据锐角三角函数和勾股定理，可以得到AF和BF的值，然后根据题目中的数据，可以计算出DE的值．

【解答】解：由已知可得，

tan∠BAF＝＝，AB＝25米，∠DBE＝60°，∠DAC＝45°，∠C＝90°，

设BF＝7a米，AF＝24a米，

∴（7a）2+（24a）2＝252，

解得a＝1，

∴AF＝24米，BF＝7米，

∵∠DAC＝45°，∠C＝90°，

∴∠DAC＝∠ADC＝45°，

∴AC＝DC，

设DE＝x米，则DC＝（x+7）米，BE＝CF＝x+7﹣24＝（x﹣17）米，

∵tan∠DBE＝＝，

∴tan60°＝，

解得x≈40，

答：东楼的高度DE约为40米．

23．（12分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C、D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△OCD的面积．

【分析】（1）求出A，B两点坐标，代入直线的解析式求出a，b，再求出点C的坐标，求出k即可；

（2）构建方程组求出点D的坐标，再利用割补法求出三角形面积．

【解答】解：（1）在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝2，

∵A（4，0），

∴OA＝4，OB＝8，

∴B（0，8），

∵A，B两点在直线y＝ax+b上，

∴，

∴，

∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，

过点C作CE⊥OA于点E，

∵BC＝3AC，

∴AB＝4AC，

∴CE∥OB，

∴＝＝，

∴CE＝2，

∴C（3，2），

∴k＝3×2＝6，

∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）由，解得或，

∴D（1，6），

过点D作DF⊥y轴于点F，

∴S△OCD＝S△AOB﹣S△BOD﹣S△COA

＝•OA•OB﹣•OB•DF﹣•OA•CE

＝×4×8﹣×8×1﹣×4×2

＝8

24．（12分）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG＝EC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若点F是OA的中点，BD＝4，sin∠D＝，求EC的长．

【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，只要证明OC⊥CD即可，根据题目中的条件和等腰三角形的性质、直角三角形的性质，可以得到∠OCD＝90°，从而可以证明结论成立；

（2）根据相似三角形的判定与性质和题目中的数据，可以求得DE和CD的长，从而可以得到EC的长．

【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，

∵EF⊥AB，AB为⊙O的切线，

∴∠GFA＝90°，∠ACB＝90°，

∴∠A+∠AGF＝90°，∠A+∠ABC＝90°，

∴∠AGF＝∠ABC，

∵EG＝EC，OC＝OB，

∴∠EGC＝∠ECG，∠ABC＝∠BCO，

又∵∠AGF＝∠EGC，

∴∠ECG＝∠BCO，

∵∠BCO+∠ACO＝90°，

∴∠ECG+∠ACO＝90°，

∴∠ECO＝90°，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，DE是⊙O的切线，

∴∠OCD＝90°，

∵BD＝4，sin∠D＝，OC＝OB，

∴＝，

即＝，

解得OC＝2，

∴OD＝6，

∴DC＝＝＝4，

∵点E为OA的中点，OA＝OC，

∴OF＝1，

∴DF＝7，

∵∠EFD＝∠OCD，∠EDF＝∠ODC，

∴△EFD∽△OCD，

∴，

即，

解得DE＝，

∴EC＝ED﹣DC＝﹣4＝，

即EC的长是．

25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．

（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；

（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值．

【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可；

（2）过点F作FG⊥DE于点G，证明△OAC≌△GFE（AAS），推出OA＝FG＝3，设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3），可得FG＝|m﹣1|＝3，推出m＝﹣2或m＝4，即可解决问题；

（3）由题意，M（1，﹣1），F1（4，﹣5），F2（﹣2，﹣5）关于对称轴直线x＝1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F2作F2N⊥F1M于点N，交对称轴于点P，连接PF1．则MH＝4，HF1＝3，MF1＝5，证明PN＝PM，由PF2＝PF1，推出PF+PM＝PF1+PN＝FN2为最小值．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，

∵y＝﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，

把A（3，0），C（0，3）代入，得，

∴，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，

过点F作FG⊥DE于点G，

∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，

∴AC＝EF，AC∥EF，

∵OA∥FG，

∴∠OAC＝∠GFE，

∴△OAC≌△GFE（AAS），

∴OA＝FG＝3，

设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3），

∴FG＝|m﹣1|＝3，

∴m＝﹣2或m＝4，

当m＝﹣2时，﹣m2+2m+3＝﹣5，

∴F1（﹣2，﹣5），

当m＝时，﹣m2+2m+3＝﹣5，

∴F2（4，﹣5）

综上所述，满足条件点F的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；

（3）由题意，M（1，﹣1），F1（4，﹣5），F2（﹣2，﹣5）关于对称轴直线x＝1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F2作F2N⊥F1M于点N，交对称轴于点P，连接PF1．则MH＝4，HF1＝3，MF1＝5，

在Rt△MHF1中，sin∠HMF1＝＝，则在RtMPN中，sin∠PMN＝＝，

∴PN＝PM，

∵PF2＝PF1，

∴PF+PM＝PF1+PN＝FN2为最小值，

∵＝×6×4＝×5×F2N，

∴F2N＝，

∴PF+PM的最小值为．下载本文