一．选择题（共10小题）
1．如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB=7，DE=4，则S△ABD=（ ）
A．28 B．21 C．14 D．7
2．如用，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=24，DE=4，AB=5，则AC的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD=2CD，BC=9cm，则点D到AB的距离为（ ）
A．3cm B．2cm C．1cm D．4.5cm
4．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
5．已知点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，OP=10cm，那么点P到OA，OB的距离分别是（ ）
A．5cm，cm B．4cm，5cm C．5cm，5cm D．5cm，10cm
6．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=6，DE=3，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为51和38，则△EDF的面积为（ ）
A．6.5 B．5.5 C．8 D．13
8．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
9．如图，△ABC的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
10．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=6cm，则PD的长可以是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．7 cm
二．填空题（共1小题）
11．如图∠AOP=∠BOP=22.5°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，若PD=1，则PC等于 ．
三．解答题（共4小题）
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a﹣1，a+b），B（a，0），且（a+b﹣3）2+|a﹣2b|=0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直线DB交y轴于点P．
（1）线段AO与线段AB的数量关系是 （填“＞”、“≥”、“≤”、“＜”或“=”）；
（2）求证：△AOC≌△ABD；
（3）若∠CAD=30°，当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？
13．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．
14．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF．
（1）求证：CF=EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
角平分线的性质和判定最新中考试题汇集练习及答案
一．选择题（共10小题）
1．如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB=7，DE=4，则S△ABD=（ ）
A．28 B．21 C．14 D．7
【分析】利用角平分线的性质定理即可解决问题；
【解答】解：作DH⊥BA于H．
∵BD平分∠ABC，BC⊥DE，DH⊥AB，
∴DH=DE=4，
∴S△ABD=×7×4=14，
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．如用，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=24，DE=4，AB=5，则AC的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC=S△ABC得到×5×4+×AC×4=8，然后解一次方程即可．
【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=4，
∵S△ADB+S△ADC=S△ABC，
∴×5×4+×AC×4=24，
∴AC=7．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD=2CD，BC=9cm，则点D到AB的距离为（ ）
A．3cm B．2cm C．1cm D．4.5cm
【分析】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD=2CD，BC=9cm，则点D到AB的距离为
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BD：DC=2：1，BC=79，
∴DC=，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴DE=DC=3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，要注意DC的求法．
4．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
【分析】根据角平分线的性质结合点到直线垂线段最短，即可得出PQ≥PA，此题得解．
【解答】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=3，
∴PQ≥PA=3．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及垂线段最短，根据角平分线的性质结合垂线段最短，求出PQ的最小值是解题的关键．
5．已知点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，OP=10cm，那么点P到OA，OB的距离分别是（ ）
A．5cm，cm B．4cm，5cm C．5cm，5cm D．5cm，10cm
【分析】由已知可得∠AOP=∠BOP=30°，已知PC⊥OA，PD⊥OB，OP=10cm，根据直角三角形中30度所对的边是斜边的一半可求得PC，PD的长．
【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠BOP=30°，
∵PC⊥OA，PD⊥OB，OP=10cm，
∴PC=PD=OP=5cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
6．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=6，DE=3，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【分析】作EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EH=DE=3，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作EH⊥BC于H，
∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EH⊥BC，
∴EH=DE=3，
∴△BCE的面积=×BC×EH=9，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为51和38，则△EDF的面积为（ ）
A．6.5 B．5.5 C．8 D．13
【分析】作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DF=DH，证明Rt△DFE≌Rt△DHG，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：设△EDF的面积为x，
作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF=DH，
在Rt△DFE和Rt△DHG中，
，
∴Rt△DFE≌Rt△DHG，
由题意得，38+x=51﹣x，
解得，x=6.5，
∴△EDF的面积为6.5，
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．
【解答】解：作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=∠DAB=35°，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9．如图，△ABC的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF，
∵AB=6，BC=9，AC=12，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4．
故选：C．
【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
10．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=6cm，则PD的长可以是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．7 cm
【分析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=PD，再根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：作PD⊥OB于D，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，
∴PD=PC=6cm，
则PD的最小值是6cm，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
二．填空题（共1小题）
11．如图∠AOP=∠BOP=22.5°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，若PD=1，则PC等于 ．
【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质求出PE，根据平行线的性质求出∠CPO，根据三角形外角性质求出∠ECP=45°，解直角三角形求出PC即可．
【解答】解：
过P作PE⊥OB于E，
∵∠AOP=∠BOP=22.5°，PD⊥OA，PD=1，
∴PE=OD=1，
∵PC∥OA，∠AOP=22.5°，
∴∠CPO=∠AOP=22.5°，
∵∠BOP=22.5°，
∴∠ECP=∠CPO+∠BOP=45°，
∵∠PEO=90°，
∴CP==，
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，解直角三角形，三角形外角的性质等知识点，能求出PE的长和能求出∠ECP的度数是解此题的关键．
三．解答题（共4小题）
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a﹣1，a+b），B（a，0），且（a+b﹣3）2+|a﹣2b|=0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直线DB交y轴于点P．
（1）线段AO与线段AB的数量关系是 = （填“＞”、“≥”、“≤”、“＜”或“=”）；
（2）求证：△AOC≌△ABD；
（3）若∠CAD=30°，当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，作AE⊥OB于点E，由SAS定理得出△AEO≌△AEB，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先根据∠CAD=∠OAB，得出∠OAC=∠BAD，再由SAS定理即可得出△AEO≌△AEB；
（3）不变．直线DB过定点B且与x轴相交所成的锐角度数为30°；
【解答】解（1）证明：∵+（a﹣2b）2=0，
∴，解得，
∴A（1，3），B（2，0），
作AE⊥OB于点E
∵A（1，3），B（2，0），
∴OE=1，BE=2﹣1=1，
在△AEO与△AEB中，
∵，
∴△AEO≌△AEB，
∴AO=AB；
故答案为=．
（2）证明：∵∠CAD=∠OAB，
∴∠CAD+∠BAC=∠OAB+∠BAC，即∠OAC=∠BAD，
在△AOC与△ABD中，
∵，
∴△AOC≌△ABD（SAS）；
（3）不变．直线DB过定点B且与x轴相交所成的锐角度数为30°．
理由：设AC交BD于K．
∵由（2）知，△AOC≌△ABD，
∴∠ADB=∠ACO，
∵∠AKD=∠BKC，
∴∠DBC=∠DAC=30°，
∴∠OBP=∠DBC=30°
∵OB=2，∠OBP为定值，∠POB=90°，
∴OP长度不变，
∴点P在y轴上的位置不发生改变．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质、非负数的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
13．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．
14．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
【分析】根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=28，AB=BC=8，
∴×8×DE+×8×DF=28，
∴8DE=28．
∴DE=3.5．
【点评】本题考查了角平分线定义的应用，能根据角平分线性质得出DE=DF是解此题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF．
（1）求证：CF=EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；
（2）根据全等三角形的性质定理得到AC=AE，根据（1）的结论得到答案．
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF=EB；
（2）AF+BE=AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴AC=AE，
∴AF+FC=AE，
即AF+BE=AE．
【点评】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法．
