2015-2016学年第一学期高三年级阶段调研（二）
数 学 （理）试 卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）
1．函数y＝ 的定义域是 ▲ ；
2．设是虚数单位，若复数满足，则复数的模= ▲ ；
3．“”是“直线和直线平行”的 ▲ 条件；（选“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”填空）
4．若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为 ▲ ；
5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 ▲ ；
6．已知等差数列的公差为，若成等比数列，那么等于 ▲ ；
7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为 ▲ ；
8．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是▲ ；
9．已知，则= ▲ ；
10．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为_______ ▲_______；
11．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，若，则的值为 ▲ ；
12．如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为 ▲ ；
13．已知函数,则方程恰有两个不同的实根时，实数a的
取值范围是 ▲ ；
14．已知圆O：，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，则弦长AC长的取值范围 ▲ ；
二、解答题（本大题共6小题，共计90分）
15．（本小题满分14分）
在中，，
（1）求的值；
（2）若点D在边上，，求的长。
16．（本小题满分14分）
在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。
P
A
M
C
D
B
17．（本小题满分14分）
某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为 ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．
18．（本小题满分16分）
平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；
①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。
②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．
19．（本小题满分16分）
设数列的前项和，，，且当时，．
（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知为实常数，函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点；
①求实数的取值范围；
②求证：.
江苏省常州高级中学
2015～2016学年第一学期高三阶段调研
数学理科附加卷
21．（Ⅰ） [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知，矩阵有一个属于特征值的特征向量，
（1）求矩阵；
（2）若矩阵，求 ．
（Ⅱ） [选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．
（1）求与交点的直角坐标；
（2）若与相交于点，与相交于点，求的最大值．
22．（本小题满分10分）
为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
23．（本小题满分10分）
若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M（2，2）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为，
当变化且满足时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．
江苏省常州高级中学
2015-2016学年第一学期高三年级阶段调研
数学试卷答案
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）
1．函数y＝ 的定义域是 ▲ ； （－1，＋∞）
2．设是虚数单位，若复数满足，则复数的模= ▲ ； 1
3．“”是“直线和直线平行”的 ▲ 条件；（选“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”填空） 充分不必要
4.若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为 ▲ ；16
5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 ▲ ；
4
6.已知等差数列的公差为，若成等比数列，那么等于 ▲ ；
7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为 ▲ ；
8．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是▲ ；
9．已知，则= ▲ ；
10．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为______________；
11．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，若，则的值为 ▲ ；2
12．如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为 ▲ ； 18
13．已知函数,则方程恰有两个不同的实根时，实数a的
取值范围是 ▲ ；
14．已知圆O：，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，求弦长AC长的取值范围 ▲ ；
二、解答题（本大题共6小题，共计90分）
15．（本小题满分14分）
在中，，
（1）求的值；
（2）若点D在边上，，求的长。
解：如图， 设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得， 所以.分
又由正弦定理得.分
由题设知，所以.分
分
在中，由正弦定理得.分
16．（本小题满分14分）
在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。
A
B
C
D
M
P
16．（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，
又∠CBA＝30°，BC＝2，AB＝4，
∴AC＝
＝，
∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，
故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，
故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB． …………7分
（2） BM=2 ………………14分
17. （本小题满分14分）
某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为 ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．
解：（1） ………………………4分
（2）根据题意，
所以恒成立 ………………………6分
即 恒成立 …………………8分
…14分（2+2+2）
18. （本小题满分16分）
平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；
①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。
②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．
（1）由题意知 ，则 ,又 可得 ,
所以椭圆C的标准方程为. ………………4分
（2）①M N ………………6分
………9分
②点（），点Q， ………………10分
，，
==． ……………………12分
点P在椭圆C上， ，
==．……………14分
，
．
的取值范围是． ……………………………16分
19. （本小题满分16分）
设数列的前项和，，，且当时，．
（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．
19.解：（1）当时, ,,
代入并化简得, ………………………4分
而恒为正值,∴
∴数列是等比数列. ………………………5分
∴.当时,,
又，∴ ………………………7分
（2）当时，,此时 ，又
∴. …………………………………9分
故， …………………………………10分
当时，
，……12分
若，
则等式为，不是整数，不符合题意；……………14分
若，则等式为，
∵是整数, ∴必是的因数, ∵时
∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.
综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，
当时，不存在正整数使等式成立. ……………16分
20．（本小题满分16分）
已知为实常数，函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点；
①求实数的取值范围；
②求证：.
20.（1）的定义域为．其导数． 1分
①当时，，函数在上是增函数； 2分
②当时，在区间上，；在区间上，．
所以在是增函数，在是减函数. 4分
（2）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点;
当时，在是增函数，在是减函数，此时为函
数的最大值，当时，最多有一个零点，
所以，解得， 6分
此时，，且，
令，则，
所以在上单调递增，所以，即
所以的取值范围是 8分
②证法一：
下面证明：当时， .
设 ，则 .
在 上是增函数，所以当时， .
即当时，..
. ……… 16分
②证法二：
令
则：，
所以函数在区间上为减函数.
,则,又
于是.
又由(1)可知 .即 ……… 16分
江苏省常州高级中学
2015～2016学年第一学期期中质量检查高三年级
数学理科附加卷
21．（1） [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知，矩阵有一个属于特征值的特征向量，
（1）求矩阵；
（2）若矩阵，求 ．
解：（1） ……………4分
（2） ……………6分
……………10分
21．（2） [选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．
（1）求与交点的直角坐标；
（2）若与相交于点，与相交于点，求的最大值．
（1） ……………4分
（2）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．
所以，
当时，取得最大值，最大值为． ……………10分
22．（本小题满分10分）
为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名。从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
【解析】(1)由已知，有
所以事件发生的概率为. ……………4分
(2)随机变量的所有可能取值为
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望 …………10分
23．（本小题满分10分）
若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M（2，2）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为，
当变化且满足时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．
24．（1） ……………………………2分
（2） ……………………………4分
定点（6，－4）……………………………10分下载本文
