数 学（文科）
注意事项：
1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2． 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3． 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知，则( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 若复数满足，则( )
(A) (B) (C) (D)
(3) 若，则( )
(A) (B) (C) (D)
(4) 函数( )
(A) 是偶函数 (B) 是奇函数
(C) 不具有奇偶性 (D) 奇偶性与有关
(5) 若向量和向量平行，则( )
(A) (B) (C) (D)
(6) 等比数列的各项为正数，且则( )
(A) (B) (C) (D)
(7) 命题“任意”为真命题的一个充分不必要条件是( )
(A) (B) (C) (D)
(8) 已知，则的最小值是( )
(A) 1 (B) 16 (C) 8 (D) 4
(9) 执行如图所示的程序框图，则输出的值为( )
(A) (B)
(C) (D)
(10) 某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(11) 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是( )
(A) (B)
(C) (D)
(12) 双曲线：的实轴的两个端点为，点为双曲线上除外的一个动点，若动点满足，则动点的轨迹为( )
(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13) 给出下列不等式：
…………
则按此规律可猜想第个不等式为 ．
(14) 设是定义在上的周期为3的函数，右图表示该函数在区间上的图像，则 ．
(15) 已知，点的坐标为，当时，点满足的概率为 ．
(16) 设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且 与圆相交所得弦的长为2，为坐标原点，则面积的最小值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(17) （本小题满分12分）
已知函数的部分图像如图所示．
(Ⅰ) 求函数的解析式，并写出的单调减区间；
(Ⅱ)已知的内角分别是为锐角，且，求的值．
(18) （本小题满分12分）
为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95.
(Ⅰ) 作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数；
(Ⅱ)从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩不低于90分的概率．
(19) （本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，平面为正三角形，为的中点．
(Ⅰ) 求证：平面平面
(Ⅱ) 求三棱锥的体积．
(20) （本小题满分12分）
已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆交于两点。
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 若直线与圆相切，证明：为定值．
(21) （本小题满分12分）
已知函数
(Ⅰ) 讨论函数的单调性；
(Ⅱ) 若函数有两个零点，求实数的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
(22) （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，是⊙的直径，弦与垂直，并与相交于点，点为弦上异于点的任意一点，连接并延长交⊙于点
(Ⅰ) 求证：四点共圆；
(Ⅱ) 求证：
(23) （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为
(Ⅰ) 若直线与曲线有公共点，求的取值范围；
(Ⅱ) 设为曲线上任意一点，求的取值范围．
(24) （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数
(Ⅰ) 若的解集为，求实数的值；
(Ⅱ) 当时，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
| 题号 | 模 块 | 知识点 | 分值 |
| 1 | 集合 | 集合，对数的运算 | 5 |
| 2 | 复数 | 复数的概念、运算 | 5 |
| 3 | 三角函数 | 三角函数运算 | 5 |
| 4 | 函数 | 函数的奇偶性 | 5 |
| 5 | 平面向量 | 向量运算 | 5 |
| 6 | 数列 | 等比数列 | 5 |
| 7 | 逻辑 | 充分条件 | 5 |
| 8 | 不等式 | 线性规划 | 5 |
| 9 | 程序框图 | 程序框图 | 5 |
| 10 | 立体几何 | 三视图、表面积 | 5 |
| 11 | 立体几何 | 球 | 5 |
| 12 | 圆锥曲线 | 轨迹方程 | 5 |
| 13 | 推理 | 归纳推理 | 5 |
| 14 | 函数 | 函数周期性 | 5 |
| 15 | 几何概型 | 线性规划，几何概型 | 5 |
| 16 | 直线与圆 | 弦长，面积 | 5 |
| 17 | 三角函数 | 三角函数图像与性质 | 12 |
| 18 | 概率统计 | 概率统计，古典概型 | 12 |
| 19 | 立体几何 | 空间中的线面关系、体积 | 12 |
| 20 | 圆锥曲线 | 求椭圆方程、直线与圆锥曲线相交 | 12 |
| 21 | 函数导数 | 单调性、极值、函数零点 | 12 |
| 22 | 几何证明选讲 | 切割线定理、三角形相似 | 10 |
| 23 | 坐标系与参数方程 | 坐标互化、直线的参数方程 | |
| 24 | 不等式选讲 | 绝对值不等式 |
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | C | C | A | B | C | B | C | C | A | C | A | C |
2.【解析】，故选C.
3.【解析】，故选A.
4.【解析】函数的定义域为关于原点对称，，故函数是奇函数，故选B.
5. 【解析】依题意得，，得x＝－3，又,所以，故选C.
6.【解析】，
.
7.【解析】原命题等价于“对于任意恒成立”，得，故选C.
8.【解析】如图，作出可行域（阴影部分），画出初始直线，平行移动，可知经过点时，取得最小值3，，故选C.
9.【解析】以4为周期，所以，故选A.
10. 【解析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的底面积为：，侧面积为：；圆柱的底面半径是1，高是3，其底面积为：，侧面积为：；∴组合体的表面积是,故选C．
11. 【解析】由题意在平面内的射影为的中点，平面，，，在面内作的垂直平分线，则为的外接球球心．，，，，即为到平面的距离，故选A．
12．【解析】设,实轴的两个顶点，，∵QA⊥PA，∴（-x-a）（-m-a）+ny=0，可得同理根据QB⊥PB，可得，两式相乘可得，∵点P（m，n）为双曲线M上除A、B外的一个动点， 整理得 ， ，故选C．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13. 14. 2. 15. 16.3
13. 【解析】观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为，不等式右边为首项为1，公差为的等差数列，故猜想第n个不等式为
答案：
14. 【解析】由于f(x)是定义在R上的周期为3的函数，所以f(2 015)＋f(2 016)＝f(672×3-1)＋f(672×3+0)＝f(-1)＋f(0)，而由图像可知f(-1)＝2，f(0)＝0，所以f(2 015)＋f(2 016)＝2＋0＝2.
15. 【解析】如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界),∴所求的概率.
16. 【解析】由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为，即所以，所以，又，所以的面积为，最小值为3.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 解：（Ⅰ）由周期得所以 ………………2分
当时，，可得因为所以故
………4分
由图像可得的单调递减区间为 ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，, 即,又为锐角,∴.…………8分
，. ……………9分
…………10分
. …………12分
18.解：（Ⅰ）抽取的15人的成绩茎叶图如图所示， …………3分
由样本得成绩在90以上频率为，故志愿者测试成绩在90分以上（包含90分）的人数约为=200人. …………5分
（Ⅱ）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为,,,,,,其中，的成绩在90分以上（含90分）， …………6分
成绩在80分以上（包含80分）志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有：{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{,,},{,,},{,,}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，},{，，}共20种，………8分
其中选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的不同取法有：{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{,,},{,,}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}共12种， …………10分
∴选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率为=. …………12分
19．解：（Ⅰ）证明：因为底面，所以……………2分
因为底面正三角形，是的中点,所以……………4分
因为，所以平面………………5分
因为平面平面,所以平面平面…………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知中，，
所以 ………………………………9分
所以 ………………………12分
20.解：（Ⅰ）由题意得 …………4分
（Ⅱ）当直线轴时，因为直线与圆相切，所以直线方程为。 …………5分
当时，得M、N两点坐标分别为，………6分
当时，同理； …………7分
当与轴不垂直时，
设，由,, ………8分
联立得 …………9分
，， …………10分
=
………… 11分
综上，（定值） ………… 12分
21. 解：（Ⅰ） ……………1分
1当上单调递减； ………………2分
2当.………… 3分
.…………4分
…………5分
综上：当上单调递减；
当a>0时， …………6分
（Ⅱ）当由（Ⅰ）得上单调递减，函数不可能有两个零点；………7分
当a>0时，由（Ⅰ）得，且当x趋近于0和正无穷大时，都趋近于正无穷大，………8分
故若要使函数有两个零点，则的极小值，………………10分
即，解得,
综上所述，的取值范围是 …………………12分
22.解：（Ⅰ）证明:连接，则，……………2分
又则，……………4分
即，则四点共圆．……………5分
（Ⅱ）由直角三角形的射影定理可知……………6分
相似可知：，,
……………8分
……………10分
23.解：（Ⅰ）将C的极坐标方程化为直角坐标为…1分
直线的参数方程为……………2分
将直线的参数方程代入曲线C的方程整理得………3分
直线与曲线有公共点，,得
的取值范围为.……………5分
（Ⅱ）曲线的方程，
其参数方程为……………7分
为曲线C上任意一点，.……9分
的取值范围是……………10分
24.解：（Ⅰ）显然，……………1分
当时，解集为，，无解；……………3分
当时，解集为，令，，
综上所述，.……………5分
（Ⅱ）当时，令…………7分
由此可知，在单调减，在和单调增，
则当时，取到最小值， ……………8分
由题意知，，则实数的取值范围是……………10分下载本文
