解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。

例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：于P、Q两点，且,求实数的取值范围。

分析：由可以得到，将P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲线方程，解出点的坐标，用表示出来。

解：设P(x1,y1),Q(x2,y2), ， (x1,y1-3)= (x2,y2-3)，即

方法一：方程组消元法，又P、Q是椭圆+=1上的点

消去x2，可得，即y2=

又－2y22，－22解之得： 

则实数的取值范围是。

方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法

设直线PQ的方程为：，

由消y整理后，得

P、Q是曲线M上的两点，＝

即                      

由韦达定理得： 

即     

由得，代入，整理得，解之得

当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或。

总之实数的取值范围是。

方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。

例题8：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值．

分析：

（07福建理科）如图，已知点（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过作直线l的垂线，垂足为点，且

（Ⅰ）求动点的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，求的值。

小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.

解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：

，化简得.

（Ⅱ）设直线的方程为：.

设，，又，

联立方程组，消去得：，，故

由，得：

，，整理得：，，

解法二：

（Ⅰ）由得：，

，， 

所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：.

（Ⅱ）由已知，，得.

则：.…………①

过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，

则有：.…………②

由①②得：，即.

练习：设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程．

山东2006理

双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线。

（I）求双曲线C的方程；

()过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）。当，且时，求Q点的坐标。

解：

（Ⅱ）解法一：

由题意知直线的斜率存在且不等于零。

设的方程：， 

则

在双曲线上， 

同理有： 

若则直线过顶点，不合题意. 

是二次方程的两根. ，

此时.所求的坐标为.

解法二：

由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程，，则.

，分的比为.

由定比分点坐标公式得

下同解法一

解法三：

由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程：，则.

，.

，，，又， 

即，将代入得

，否则与渐近线平行。。

解法四：

由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，则

,。

同理    ，.

即            （*）

又    ，消去y得.

当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。

由韦达定理有： 

代入（*）式得    所求Q点的坐标为。

练习：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点P为椭圆上一点，弦PA、PB分别过焦点F1、F2，（PA、PB都不与x轴垂直，其点P的纵坐标不为0），若，求的值。

解：（1）设椭圆C的方程为：，则b=1，由，得，则椭圆的方程为： 

（2）由得：，设，

有得： 

解得：，

根据PA、PB都不与x轴垂直，且，设直线PA的方程为：，代人，整理后，得： 

根据韦达定理，得：，则，

从而，，同理可求

则

由为椭圆上一点得：，则，故的值为18.下载本文