1．已知a,b,c为非零的平面向量，甲：a·b=a·c,乙：b=c，则 ( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于 ( )
A. B. C. D.4
3．在ABCD中,AC=,BD=,周长为18,则这个平行四边形的面积为 ( )
A.16 B.17 C.18 D.32
4．若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72.则向量a的模是 ( )
A.2 B.4 C.6 D.12
5．下列各向量中，与a＝(3,2)垂直的向量是 ( )
A.b=(3，－2) B.b=(2,3) C.b=(-4,6) D.b=(-3,2)
6．已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直，则λ等于 ( )
A. B.- C.± D.1
7．已知m,n是夹角为60°的两个单位向量，则a=2m+n和b=-3m+2n的夹角是 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
二、填空题(5×3′＝15′)
8．已知A(1，3)、B(2，4)、C(5，6)，则= .
9．已知=0，的夹角为 .
10．已知e为单位向量，|a|=4,a与e的夹角为π，则a在e方向上的投影是 .
11．已知a=(4,3),b=(-1,2),则a与b的夹角为 .
12．平面向量a,b中，已知a=(4,-3),|b|=1,且a·b=5,则向量b= .
三、解答题(4×10′＝40′)
13．已知|a|=4,|b|=5,当
(1)a∥b;
(2)a⊥b;
(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积.
14．求证:三角形ABC的三条高线AD、BE、CF交于一点H.
15．已知向量a=(1,1),b=(1,0),c满足a·c=0且|a|=|c|,b·c>0.
(1)求向量c;
(2)若映射f:(x,y)→(x1,y1)=xa+yc,求映射f下(1,2)的原象.
16．设O是△ABC的外心，H是三角形内一点，且,求证：H是△ABC的垂心.
四、思考与讨论(2×12′＝24′)
17．已知a=(,-1),b=().
(1)若存在不同时为零的实数k和t,使x=4a+(t2-3)b,y=-ka+tb，且x⊥y，
求k=f(t)的解析式；
图1
(2)确定f(t)的单调区间．
18．如图1，在Rt△ABC中，已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A
为中点，问的夹角θ取何值时的值最大？并求出这个最大值.
参
1．B a·b=a·ca·(b-c)=0a与(b-c)垂直，或b-c=0.故甲乙，反过来，若b=ca·b=a·c，即乙甲，故甲是乙的必要非充分条件.
2．C |a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=|a|2+6|a||b|cos〈a,b〉+9|b|2,
∵|a|=1,|b|=1,〈a,b〉=60°,∴原式=1+6×1×1×cos60°+9=13,∴|a+3b|=.
3．A ∵2=9，
∴=4×5×
4．C (a+2b)·(a-3b)=|a|2-a·b-6|b|2=-72,∴|a|2-|a|·|b|·cos60°-6|b|2=-72.
∴|b|=4代入上式，解得:|a|=6(∵|a|>0).
5．C 验证a·b=0即可.
6．A (3a+2b)(λa-b)=0,又a·b=0,∴3λ|a|2-2|b|2=03λ×4-2×9=0λ=.
7．C 不妨设m=(1,0),n=(,),则a=(,),b=(-2,),
|a|=,|b|=,a·b=-5+∴cosθ==-，故θ=120°．
8．25 =(1,1), =(4,3), =(3,2)，∴·+·=(1×4+1×3)+(4×3+3×2)=25.
9．120° ∵||2=|+|2=||2+||2+2||·||cosθ,∴cos=-,θ=120°.
10．-2 4×cosπ=4×(-)=-2为所求.
11．arccos cos〈a,b〉==.
12． 设b=(x,y),由已知
13．解 (1)a∥b时，有两种情况.
若a与b同向，则θ=0°，a·b=|a|·|b|=20；
若a与b反向，则θ=180°，a·b=-|a|·|b|=-20.
(2)当a⊥b时，θ=90°，∴a·b=0.
(3)当a与b夹角为60°时，a·b=|a|·|b|cos60°=10.
14．分析 要证三条高线交于一点，只要证两条高线的交点在第三条高线上.
证明 设BE与CF交于H,并设=a, =b, =h,
则=b-a, =h-a, =h-b
∵,∴(h-a)·b=0 ①
∵,∴(h-b)·a=0 ②
∵(h-a)·b=(h-b)·a，∴h·b=h·a,即h·(b-a)=0.
∴,即H在AD上.故AD、BE、CF交于一点H.
点评 用向量作工具解几何问题总是先得一些向量为已知的，再用这些向量表示其他向量，并建立相应关系式，至于选用哪些为基本向量，则应根据实际情况而定.
15．解 （1）设c=(m,n),由题意得m+n=0,且m2+n2=2且m·1+n·0>0.
解之得m=1,n=-1,∴c=(1,-1).
(2)由题意得x(1,1)+y(1,-1)=(1,2),∴x+y=1且x-y=2,解之得x=,y=-.
∴(1,2)的原象是(-).
16．证明 ∵
同理得，.
所以H是△ABC的垂心.
点评 处理垂直、夹角和距离是两个向量数量积的强项，这也是学习向量的主要目的之一.
17．解 (1)由已知a·b=0,又x⊥y，且x,y不同时为零．
∴x·y=［4a+(t2-3)b］·［-ka+tb］=0.∴-4k+(t3-3t)=0,∴k= (t3-3t)(t≠0).
(2)f(t)= (t3-3t)，∵f(t1)-f(t2)= (t1-t2)( -3)，
当t1 当1≤t1 18．分析 本题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力. 解 方法1 如图2①.∵⊥,∴·=0. ∵=-,=-,=-,∴·=(-)·(-) =·-·-·+·=-a2-·+· =-a2-·(-)=-a2+·=-a2+a2cosθ. 故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0. 图2 方法2 以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图D19②所示的平面直角坐标系. 设|AB|=c.|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且｜PQ｜=2a,|BC|=a. 设点P的坐标为（x,y）,则Q（-x,-y），∴=(x-c,y), =(-x,-y-b), =(-c,b), =(-2x,-2y). ∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by. ∵cosθ=,∴cx-by=a2cosθ.∴·=-a2+a2cosθ. 故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0. 点评 题型新颖，培养了学生的知识迁移能力，及运算化简能力.下载本文
