摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
关键词：柯西不等式 证明 应用
柯西（Cauchy）不等式
等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：
证明1：构造二次函数
=
恒成立
即
当且仅当 即时等号成立
证明（2）数学归纳法
（1）当时 左式= 右式=
显然 左式=右式
当时， 右式 右式
仅当即 即时等号成立
故时 不等式成立
（2）假设时，不等式成立
即
当，k为常数， 或时等号成立
设
则
当，k为常数， 或时等号成立
即 时不等式成立
综合（1）（2）可知不等式成立
柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛。举例，证明不等式：
例1：已知正数满足 证明
证明：利用柯西不等式
又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得：
故
例2：已知实数满足，试求的最值
解：由柯西不等式得，有
即
由条件可得，
解得，当且仅当时等号成立，
代入时，
时
参考文献：1 柯西不等式的微小改动 数学通报 2002 第三期
2柯西不等式与排序不等式 南山 湖南教育出版社
3李永新 李德禄 中学数学教材教法 东北师大出版社
4用柯西不等式解释样本线性相关系数 数学通讯 2004年第七期
