利用二次函数解决实际问题关键是把实际问题转化为二次函数模型，有时要根据实际问题的情境建立平面直角坐标系，建立坐标系以简单为原则，

例1写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

①圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

②某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

③菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系.

[例2]：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．

（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？

（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

（3）t为何值时s最小，最小值时多少？

[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积． 

解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，

则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4）

易知CN=4-x，EM=4-y．

过点B作BH⊥PN于点H

则有△AFB∽△BHP

∴，即，

∴，

，

此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，

∴当x≤5时，函数值随的增大而增大，

对于来说，当x=4时，．

练习1 ．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．

(1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；

（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？

解： 

∵ 

∴

∵二次函数的顶点不在自变量的范围内，

而当内，随的增大而减小，

∴当时，

(平方米)

答：当米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．

2

练习2． 如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？

（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

解：（1）设正方形的边长为cm，

则．

即．

解得（不合题意，舍去），．

剪去的正方形的边长为1cm．

（2）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，

则与的函数关系式为：

．

即．

改写为．

当时，．

即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，

长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．

例4一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到的最大高度是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮球中心到地面的距离为3.05米，

①根据题意建立直角坐标系，并求出抛物线的解析式。

②该运动员的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

练习 某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．

最大利润问题

例5：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

练习 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件。①若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？②若每件衬衫降价x 元时，商场平均每天盈利 y元，写出y与x的函数关系式。

例6  某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

 练习

1．某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：

（2）若樱桃进价为每千克13元，试求销售利润P（元）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式，当x取何值时，P的值最大？

习题

1．二次函数，当x=_ ，_时，y有最_ _值，这个值是．

2．某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为   (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)．

3．不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x2－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是，此时关于一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情况是_ _(填“有解”或“无解”)

4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是   米 ．

5．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V0t-gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面__ _m．

 6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天

   在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=V2

确定；雨天行驶时，这一公式为S=V2．如果车行驶的速度是60km/h，那么在雨天

行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差 _米．

7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价 _元，最大利润为_ _元．

8．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．

9  市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量(千克)与销售单价(元)

(）存在如下图所示的一次函数关系式．

     ⑴试求出与的函数关系式；

     ⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围(直接写出答案)．

解：⑴设y=kx+b由图象可知，

，

即一次函数表达式为．

   ⑵ 

     ∵  ∴P有最大值．

当时，（元）

（或通过配方，，也可求得最大值）

答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．

⑶∵

∴31≤x≤34或36≤x≤39．

利润最大化与二次函数

二次函数在市场经济的今天，用途特别广泛。利润最大问题，就是一个典型。下面就举例说明。

1、住宿问题

某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加元．求：

（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式． 

（2）该宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式． 

（3）该宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？最大值是多少？（2008年贵阳市）

分析：

因为，每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，

现在增加x元，折合个10元，所以，有个房间空闲；

空房间数+入住房间数=60，这样第一问就解决了；

房间收费数额应该等于房间的定价乘以房间的数量，这样第二问的等量关系也找到了；

在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=每天的房间收费数-每个房间每天支出的各种费用。

解：

（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式是：y=60-，

（2）宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式是：z=（200+x）（60-），

（3）宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式是：

W=（200+x）（60-）-20（60-），

整理，得：W=-+42x+10800

=-（x2-420x）+10800

= -（x-210）2+15210，

因为，a=-＜0，所以，函数有最大值，

并且，当x=210时，函数W有最大值，最大值为15210，

当每个房间的定价为每天410元时，有最大值，最大值是15210元。

2、投资问题

例2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）

（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？（2008年•南宁市）

分析：

根据图像和题意知道y1是x的正比例函数，并且知道图像上的一个点的坐标为P(1，2)，这样就可以求出正比例函数的解析式；

仔细观察抛物线的特点，抛物线经过原点，顶点也在原点，因此，解析式一定是形如y=ax2的形式。

解：

（1）因为，y1是x的正比例函数，设，y1=kx，

因为，图像经过点P(1，2)，

所以，2=k，

所以，利润y1关于投资量的函数关系式是y1=2x，x＞0；

因为，y2是x的二次函数，设，y2==ax2，

因为，图像经过点Q(2，2)，

所以，2=4a，

所以，a=，

所以，利润y2关于投资量的函数关系式是y2= x2 ，x＞0；

（2）这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，其中投资花卉x万元，

他获得的利润是：

y=y1+ y2= x2 +2×（8-x）= x2 -2x+16

=（x-2）2+14，

因为，a=＞0，所以，函数有最小值，

并且，当x=2万元时，函数y有最小值，最小值为14万元；

因为，对称轴是x=2，

当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，

所以，当x=0时，y有最大值，且为y=（x-2）2+14=16，

当2＜x≤8时，y随x的增大而增大，

当x=8时，y有最大值，且为y=（x-2）2+14=32，

所以，当x=8万元时，获得的利润最大，并且为32万元。

因此，这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得14万元利润；他能获取的最大利润是32万元。

3、存放问题

例3、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．

（1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为元，试写出与之间的函数关系式．

（2）若存放天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，试写出与之间的函数关系式．

（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润元？

（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）（08凉山州）

分析：

因为，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元，

所以，x天就应该上涨x×1=x元；

市场价格30元+上涨价=x天后每千克该野生菌的市场价格为元，这样第一问就解决了；

销售总额为元应该等于野生菌的价格乘以数量，这样第二问的等量关系也找到了；

在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=销售总额-损坏的野生菌的费用。

解：

（1）由题意得与之间的函数关系式是：（，且整数）；

（2）由题意得与之间的函数关系式是：；

（3）由题意得：

因为，a=-3＜0，所以，函数有最大值，

并且，当x=100时，函数W有最大值，最大值为30000，

所以，当时，，

因为，100天＜160天，

所以，存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．

4、定价问题

例4、为了落实副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近，州委州又出台了一系列“三农”优惠,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).

(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.

(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?

(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元? （2008恩施自治州）

分析：利润=价格×销售数量，这是问题解答的关键。

解:⑴ y＝(x－20)∙ w

＝(x－20)(－2x＋80)

＝－2x2＋120x－1600，

所以，y与x的函数关系式为：

y＝－2x2＋120x－1600．

⑵ 因为，y＝－2x2＋120x－1600

＝－2 (x－30) 2＋200，

因为，a=-2＜0，所以，函数有最大值，

并且，当x=30时，函数y有最大值，最大值为200，

所以，当x＝30时，y有最大值200． 

因此，当销售价定为30元/千克时,每天可获最大销售利润200元.

⑶ 当y＝150时，可得方程　－2 (x－30 )2 ＋200＝150．

解这个方程，得  x1＝25，x2＝35．       

根据题意，x2＝35不合题意,应舍去．

所以，当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．

5、补贴问题

例5、某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．

（1）在未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？

（2）分别求出补贴实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与补贴数额之间的函数关系式；

（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值．（2008年泰安市）

分析：惠农是国家的基本，能进入中考，是对国家的正面宣传。

解：

1）没出台补贴前，这种蔬菜的收益额为

（元）；

（2）由题意可设与的函数关系为

将代入上式得，

得

所以种植亩数与补贴的函数关系为，

同理可得每亩蔬菜的收益与补贴的函数关系为， 

（3）由题意，得：

， 

所以，当，即每亩补贴450元时，全市的总收益额最大，最大为7260000元．

二次函数应用题

1、某校九年级的一场篮球比赛中，如图所示，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m．设篮球的运动轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m．

(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并判定此球能否准确投中？

(2)此时，若对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为2.9 m，那么他能否获得成功？

2、如图所示，一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4 m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面距离为3.05 m．

(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；

(2)若该运动员身高1.8 m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？

3、某跳水运动员在进行10 m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 m，入水处距池边的距离为4 m，同时运动员在距水面高度5 m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．(1)求这条抛物线的函数关系式；

(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．

4、如图所示，是一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一条抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离路面为6米，隧道的宽度AA1为6米．(1)求隧道拱抛物线BCB1的函数解析式．

(2)现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽度为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，它能否通过这个隧道？请说明理由．

5、某菜农搭建了一个横断面为抛物线形的蔬菜大棚，有关尺寸如图所示．

(1)现建立如图所示的平面直角坐标系，试写出这条抛物线的函数表达式；

(2)若这位菜农身高1.60m，则她在不弯腰的情况下，在大棚里横向活动范围有多长(精确到0.1m)？

6、如图所示，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB的宽为20m，若水位上升3m，则水面CD的宽为10m．

(1)建立如图所示的直角坐标系，试写出该抛物线的函数表达式；

(2)现有一辆满载救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)，货车正以40km/h的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以0.25m/h的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问：如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度最少为多少？

7、如图所示，公园要造圆形的喷水池，在水池垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面距离最大，高度2.25m．

若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外？

8、如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从A出发，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动．同时Q从B出发，沿BC边向C以2 cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：

(1)运动开始第几秒时，△PBQ的面积等于8 cm2？

(2)设运动开始到第t s时，五边形APQCD的面积为S cm2，写出S与t的函数关系式．

(3)t为何值时，S最小？求出S的最小值

9、某商店经营一批进价为10元的商品，据市场分析，每件售价15元，则一天可售55件，如果售价每降1元，则日销售量可增加3件，（为了方便结账，定价取整数）设销售单价为x元，日销售量为y件，日获利为w元。

解答下列问题：

（1）试写出y与x之间的函数关系式；

（2）试写出w与x之间的函数关系式；

（3）计算单价为12元时的日销售量和日是售利润；

（4）若使日销售利润达到200元，且老板要尽快减少库存，则售价应定为多少元?

（5）在如图所示的坐标系内作出w与x的图象，观察图象，说明定价为多少元时，日获利最多，为多少？

（6）若物价局限定其定价不能超过其进价的80％，则定价为多少元时，可获最大利润？

（7）试问：在（5）的条件下，销售利润是否有最小值？若有，试求出，若无，说明理由；

（8）分别写出本题中w与x的取值范围。

10、某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后可知：成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克(1微克＝10－3毫克)随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)相吻合，并测得服用时(即时间为0时)每毫升血液中含药量为0微克；服用2小时后每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时每毫升血液中含药量为7.5微克．

(1)试求出含药量y(微克)与服药时间x(小时)的函数解析式；

(2)画出0≤x≤8的函数简单示意图；

(3)服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出这个最大药量；

(4)结合图示说明一次服药后的有效时间是多少小时？(有效时间为血液中含药量不为0的总时间)下载本文