康德的“二律背反”与数学的难题“悖论”
陈 玲
(厦门大学哲学系,福建厦门 361005)
摘要:康德哲学的二律背反是将知性范畴引入理性所引起的矛盾,而理性具有无限的内涵;数学中悖论的重要根源是由于将无限引入数学而引起的。二律背反和悖论有着相同的根源———无限。排除二律背反和悖论,会增强人们对“无限”的认识;把握无限与有限的辩证关系还必须通过实践去实现。
关键词:二律背反;悖论;无限
中图分类号:B516131 文献标识码:A
收稿日期:2006-01-20
基金项目:福建省社会科学研究“十五”规划项目(2003B019)
作者简介:陈玲(1972-),女,福建莆田人,厦门大学科学技术哲学博士生,研究方向:科学思想史和科学哲学。
1 康德的“二律背反”和数学悖论
康德(I 1Kant )是德国古典哲学的奠基者,以他为开端的德国古典哲学在世界哲学史上占有极为重要的地位。具有鲜明辩证思想的二律背反贯穿了康德的整个批判哲学体系。二律背反指的是两个互相排斥但同样是可论证的命题之间的矛盾。康德在《未来形而上学导论》一书中将二律背反描述为四组正题和反题,康德称之为先验理念的四个冲突。
(1)正题:世界在时间上和空间上有始。反题:世界在时间上和空间上无限〔1〕。
(2)正题:在世界上的一切都是由单一的东西构
成的。反题:没有单一的东西;一切都是复合的〔2〕
。
(3)正题:世界上有出于自由的原因。反题:没
有自由,一切都是自然〔3〕
。
(4)正题:在世界因的系列里有某种必然的存在体。反题:里边没有必然的东西,在这个系列里,一切都是偶然的〔4〕。
在康德所列的二律背反的四个矛盾中,前两个康德把它称为力学的,后两个则称为数学的。他认为矛盾的正题代表了伊壁鸠鲁(Epicurus )主义的独断论,而反题则恰恰代表了柏拉图(Plato )主义的经验论,因此康德的二律背反实际上正是这两者之间对立的继续。二律背反是康德哲学的一个研究起点。这一点在康德1798年9月21日写给克里斯蒂安・伽尔韦的信中得到了证实,他说:“我的出发点不是对上帝存在、灵魂不朽等等的研究,而是对纯粹理性的二律背反———‘世界有一个开端,世界没有一个开端等等’的研究,……正是这个二律背反把我从独
断论的迷梦中唤醒过来,驱使我转向对理性本身的
批判,以便解决理性与它自身之间的诡异的矛盾这
件怪事。”〔5〕
可见二律背反在其哲学体系中的重要作用。在1781年5月11日致马库斯・赫茨的信中,康德谈及了写作《纯粹理性批判》一书中的某些不当之处:“否则,我总是会从我称之为‘理性的二律背反’的东西开始,它总是能在吸引人的篇章中被表述出来,并使读者萌生出这样的愿望,即去探寻这一争
论的根源。”
〔6〕
康德二律背反体现的积极意义在于它蕴育着一种新的思维方式的诞生,这就是理性辩证本性的发现,因为他揭示出了理性在将世界作为一个整体加以认识时,必然产生矛盾。这就沉重地打击了否定矛盾的旧形而上学思想。例如在第一个命题的论证中,康德认识到了时空即是连续的又是分离的,这与旧形而上学只片面地认为时空只具有连续性是不同的。对其中闪烁出的辩证法的思想火花,黑格尔(G 1W 1F 1Hegel )曾给予极高的评价:“康德这种思想认为知性的范畴所引起的理性世界的矛盾,乃是本质的,而且是必然的,这必须认为是近代哲学界一
个最重要和最深刻的一种进步。”〔7〕
它是后来黑格尔创立完整辩证法的基础,因而也成为马克思和恩格斯唯物辩证法的一种思想源泉。在这里,康德首次引入了“自然辩证法”的概念:“所以纯粹理性有一
种自然的和不可避免的辩证论”。〔8〕
辩证论在这里也可译作辩证法,康德所认为的自然辩证法具有的三种不同形态中,二律背反正是由于纯粹理性试图运用知性范畴去认识超经验的、客观上的统一体———世界时造成的。“自然辩证法的概念最先是由
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3第22卷 第4期2006年 4月
自然辩证法研究Studies in Dialectics of Nature Vol.22,No.4
Apr.,2006
无理数的出现造成了第一次数学危机,它发生在公元前580—568年间的古希腊,有理数的观念作为一种数学思维方式刚刚崭露头角,人们对无理数的存在一无所知。那时最大的哲学流派也是最古老的数学共同体毕达哥拉斯(Pythagoras)学派确立了“万物皆数”的信仰,强调数学具有绝对真理性,认为世界上的一切事物均可以表示为整数和整数之比。可是该派成员希帕索斯(Hippasus)却从毕达哥拉斯定理推导出无理数。无理数的发现和芝诺(Zenon)悖论一起,引发了数学史上的第一次危机。第二次数学危机是由无穷小量引起的,它与微积分理论有关。17世纪牛顿(I1Newton)和莱布尼茨(G1W1Leibniz)发明的微积分一经问世,便显示出它作为一种数学工具的无穷魅力,解决了一系列与人类实践和经验密切相关的课题。但牛顿在阐述微积分理论基础的时候,一方面把无穷小量作为分母进行除法,另一方面又把它看作是零来去掉那些包含它的项,在逻辑上就陷入了诡辩的嫌疑。无穷小量既等于零又不等于零,这一悖论导致第二次数学危机的产生。第三次数学危机的出现使数学的理论基础大厦遭到了前所未有的冲击。19世纪末德国数学家康托尔(G1F1P1Cantuor)创造集合论,给数学的统一提供了一个新的基础。〔14〕然而布拉里-弗蒂(Burali-Forti)悖论、康托尔悖论以及罗素(B1A1W1Russell)悖论的相继出现再一次击碎了数学无懈可击的神话。集合论悖论对数学甚至哲学的打击是巨大的。时至今日,罗素悖论实际上并没有得到真正充分的解决。
悖论实际上是一种逻辑矛盾,它和辩证矛盾有着本质的区别。辩证矛盾中包含着对立面的统一,而这是逻辑矛盾所并不具备的。康德最早将自己发现的悖论称为二律背反,二律背反是悖论的一种极端的形式。罗素的学生莱姆塞(F1Ramsey)最早提出将悖论的类型分成集合论悖论和认识论悖论,而现代意义上较科学的划分应该将悖论分成集合论———逻辑悖论和语义悖论两类。罗素悖论是集合论———逻辑悖论的代表,而语义学悖论的典型则是说谎者悖论。
2 关于“无限”的科学
康德认为,二律背反“不是诡辩的把戏,而是理性一定会必然碰到的矛盾。”〔11〕那么,何为二律背反的根源呢?二律背反是理性在认识康德称为“第二先验理念———世界”时产生的,其根源就是理性以无限的和无条件的事物为对象,即当人们把宇宙作为一个总体(完整、无限、绝对统一)的时候,就必然产生“先验幻相”,也就是二律背反。二律背反产生的深刻根源是无限。此外,康德是用自己范畴表中的四项来表示二律背反现象的。他在理性理论中提出理性包含了矛盾的同时也具体地提出了有限与无限、简单与复杂、自由与必然等矛盾。这也说明了研究无限是产生二律背反的本质原因。当然,康德的二律背反还是不够完善的,黑格尔认为,“只承认无限是理性的对象,还是不够的,必须进一步去认识理性的对象。”〔12〕康德将有限的事物与无限的事物绝对地割裂开来,使他所追求的无限之物成为超越于经验和现象之外的不可知之物了。这就是说人类认知不仅仅应当发现无限,而且还应该去研究无限。
数学悖论的每次出现都造成了数学的困难,甚至引起了数学界和哲学界的极大恐慌,正如克莱因在罗素悖论出现时所说的:“正当数学家们不但接受了集合论并且还有大部分经典分析的时候,这些矛盾动摇了他们。作为逻辑结构,数学已处于一种悲惨的境地,数学家们以向往的心情回顾这些矛盾被认识以前的美好时代。”〔13〕如果说康德的二律背反是有限追求无限所引起的矛盾的话,那么悖论的产生无疑也是以无限为基石的。大量的科学事实已经证明,数学史上的三次危机实际上都是由无限进入数学所引起的。例如毕达哥拉斯悖论从实质上来说,就是无限概念进入数学而产生的悖论。而芝诺悖论是与无穷小的时间和空间紧紧联系着的,与无限过程有关。由此可见,第一次数学危机是因为无限进入数学而引发的,第二次数学危机的出现是因
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自然辩证法研究 第22卷 第4期为没有看清无限小量的本质。康托尔集合论中最著名的著作是《超穷数理论基础》,他指出“数学理论必须肯定实无穷,因为很多最基本的数学概念……事实上都是实无穷性的概念。”〔14〕由于集合本身具有无限扩张的性质,因此引起第三次数学危机的罗素悖论其最终的根源在于无限。
悖论的根源都与无限有关,这与我们考察的二律背反的根源是一致的,它们之间存在密切的联系。无限指的是无限大、无限小、无限过程。无限自诞生以来就以它无穷的魅力吸引着哲学家和数学家们去探索其深邃的奥秘。正如希尔伯特(D1Hilbert)在《论无限》中所说的“自从远古以来,无限问题就比任何其他问题更加激动人的情感,几乎没有任何其他概念如此有成效地刺激着心智。”〔15〕古希腊数学中有无限的概念,中国古代《庄子》中的“一尺之棰”也包含无限的含义。数学上要认识这无限大、无限小、无限过程就需要工具,如柯西的极限理论。柯西提出无穷小量是“以零为极限而又永不为零的变量”。柯西所创立的极限理论不仅解决了级数的收敛和发散、级数的求和,把函数展开为某种级数,特别是幂级数和三角级数等关于无穷级数的理论问题,将分析数学从集合图形和运动的直观理解中出来,而且使微积分中有关无限小的悖论不复存在,开始了数学理论自身的发展。
无限可分为潜无限和实无限两种类型。“所谓潜无限,就是把无限作为一种变化着、成长着、被不断地产生出来的东西来解释,它永远处在构造中,永远没有完成。它是一种潜在的,而不是一种实在。……所谓实无限,是把无限集合的整体本身作为一个现成的单位来考虑,它是已经构造完成了的东西。”〔16〕潜无限实际上是对象的过程性的体现,而实无限则是对象的完成性即结果的反映。芝诺的“二分法”、
“阿基里追不上乌龟”以及《庄子》的“一尺之棰”体现潜无限思想,而西方古代的原子学说和《庄子》中的“大一”“小一”则反映实无限思想。人类最早认识无限只是将其局限在潜无限的范围之内,如亚里士多德,他认为无限是事物的属性,无限是潜在的存在的,那时潜无限是人们在科学和常识中所理解的无限,康德二律背反的第一组命题中提到的时间和空间的无限问题也仍遵循着这种无限观。康托尔划时代的成就———集合论出现之后,康托尔的集合论就建筑在实无限的基础之上,以经典逻辑为前提构造超限集合论。以罗素为代表的逻辑主义认为数学可以还原为逻辑,每一个数学概念都可以用逻辑概念来定义,他们坚定地捍卫实无限思想。而以布劳威尔(L1E1J1Brouwer)为代表的直觉主义高举“数学存在等于被构造”的旗帜,他们绝对地排斥实无限,认为悖论的产生正是由于潜无限和实无限的盲目转换。到了以希尔伯特为代表的形式主义那里,他们既不主张也不排斥实无限,而是认为应把非有限成分作为‘理想元素’引进数学中来,在非实在的意义上承认实无限在数学中的作用。西方数学界就悖论问题引起的无限之争旷日持久,而中国的数学家们却另辟蹊径,如徐治利教授提出了“双相无限”理论,在无限问题研究上独具一格。他认为:“任何无限过程乃是实无限与潜无限的对立统一体……数学上每一无限过程,本质上都是双相无限”,这一理论实际上是辩证无限观的数学化,任何对象都既包含潜无限又包含实无限,潜无限是作为实无限的片断存在的,而实无限则是在潜无限基础上经飞跃而形成的无限总体,潜无限和实无限是辩证的对立统一体。人类对无限的这种辩证认识不断地提升着人类的抽象思维能力,从而推动着人类的认识向更高的层次迈进。
3 对“无限”的认识和认识的无限
对“无限”的认识和认识的无限,这是人的认识深层的困难。而解决这种困难人们必须正确认识无限与有限的辩证关系。一方面,有限与无限是相互包含、紧密结合的,“真正的无限毋宁是‘在别物中即是在自己中’”。〔17〕另一方面,有限和无限是可以相互转化的,任何有限的东西,自身都包含矛盾,这就是康德哲学中由知性范畴引入理性而引发的矛盾,有限的东西总要超越自身,最终达到它的对立面———无限,列宁说过;“有限自身的本性,就是超越自己,否定自己的否定,并成为无限。”〔18〕因无限而产生的二律背反将是必然的、本质的,当无限进入数学而产生的悖论也将永远存在下去,解决了旧的悖论,新的悖论还将层出不穷地出现。但我们不应该像康德那样把矛盾的出现当作“不幸之事”,矛盾的出现促使人们认识的不断提高,使人类认识向“无限”进军。
科学中所出现的悖论我们都可以将它看成是科学发展的产物,是人类认识即将进入一个新阶段的预兆。数学史上三次危机的出现证明了悖论的产生有力地推动了数学的发展,“不可公度线段”的出现迫使人们去进一步认识和理解有理数,同时整数的权威受到了质疑,希腊人转而重视几何的演绎推理,由此完成了数学思想史上的一次巨大———建立了几何公理体系,在此基础上,古典逻辑也随之向前迈进。魏尔施特拉斯(K1Weierstrass)采用排除无穷小量的办法来解决存在于微积分中的种种缺点,从而解决了由无穷小概念所产生的各种困难。后来集
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康德的“二律背反”与数学的难题“悖论”合论成为数学的重要基础,并由此推广到化学、物理、生物等学科,促进人类科学的巨大发展。而这一切均是建筑在对无限系统分析的基础之上的,“无限被推上王位,享受着大获全胜的统治,无限在它的扶摇直上中达到了惊人的高度成功。”〔19〕然而集合论悖论的出现使大批的数学家再次投身于悖论的研究,数学哲学的三大流派直觉主义、逻辑主义、形式主义在消除悖论的努力中,提出了更多崭新的数学理论,如能行性理论、类型论、证明论等,其中尤以公理化系统理论成就最大,公理化系统的雏形是由策梅罗(E1F1F1Zermelo)提出的确定性、基本集合存、分出、幂集、并集、无限、选择七条公理,加上弗兰克尔的替换公理和公认的一阶逻辑公理构成了公理化集合论的框架,并进而衍生出ZF、ZFC和B G系统。在这些理论的基础之上还产生了被称为数学和逻辑发展里程碑的哥德尔(K1G odel)不完全性定理,在推动数学发展的同时也促进了人类认识的提高,“解决悖论的过程就是发展人的认识(即发展数学)以克服历史局限性的过程。”〔20〕可以说,解决悖论的过程甚至比发现悖论的过程还要重要。在推动数学发展的同时悖论的研究也促进了逻辑学和数学哲学的发展,因此,悖论的消除对于推进人类的认识向无限发展,从而实现对无限的认识,最终推动整个科学的发展,无疑具有不可比拟的重大作用。
再次,要从本质上把握无限与有限的辩证关系还必须通过实践才能实现,这样的实践是有许许多多内容的,在这里,我们主要就建构与解构、操作与检验的实践来进行论述。
(1)建构与解构 建构一词较早出现在瑞士著名心理学家皮亚杰(J1Piaget)的认知心理学。他在研究儿童智力形成时认为,儿童认知结构的发展是在与外部环境发生相互作用的过程中完成的。这一过程即建构的过程,它涉及两个基本环节:同化和顺应。同化是指个体把外界刺激同自己原有的认知结构(也称图式)进行整合,它是认知结构数量的扩充(图式外延)。顺应是指在外部刺激下无法接受新信息而对自身原有的认知结构进行调整的过程,它是认知结构性质的改变(图式改变)。这种理论强调个体的主动性在建构认知结构中的关键作用。解构则是后结构主义的代表人物德里达解构理论中的中心名词,它了西方哲学形而上学的传统,展示了人类思维方式的崭新图景。德里达的解构其实是消除和分解结构的过程,即通过拆解人类惯有的思维、理解的模式和结构来享受无限的可能性。解构并不是否定,他同时也在提供新的可能性。建构与解构是人类思维领域内建设性和批判性精神的集中体现。对建构和解构动态分析的过程可以帮助我们建立起对无限和有限辩证关系的理解,数学史上集合论悖论的解决过程就是一个极好的说明。康托尔的集合论是本世纪数学史上的伟大发现之一,“超限基数和超限序数理论乃至整个超限集合论的建立,使人类对于无限的认识进到了一个崭新的阶段”。〔21〕然而在这个严密的理论体系中却出现了不和谐的音符,那就是先后发现的布拉里———弗尔蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论,这使康托尔所建构的集合论的严密性受到了前所未有的质疑。在此之后,就数学的可靠基础和数学命题的本质问题,数学界和哲学界展开了一场激动人心的大论战。一些新型的理论由此应运而生,其中尤以形式主义学派建构的公理化系统贡献最大,可以这么说,它是迄今为止解决以上悖论的较为理想的理论。它部分地解构了集合论当中的一些不合理因素,使人类对无限和有限的认识又向前迈进了一大步。
(2)操作与检验 操作一词进入哲学源出于美国物理学家布里奇曼(P1W1Bridgman)创立的操作主义,在他的经典著作《现代物理学的逻辑》一书中,操作是实证主义和实用主义相结合的产物,此书指出,任何科学概念都不是对客观实在的反映,它只能用操作来加以定义,它们只表征经验,惟有经验才是真实存在的。这就使最早应用于物理学理论的操作扩大到了思维领域,也即是“纸和笔”的操作。但是,这里提及的操作还必须经过检验,一系列概念必须要与操作相适应,只有借助于检验的操作才能最终被确定下来,并被操作所定义。比如数学操作,数学上的算和证就是两种最基本的操作。算是依据量和运算法则对量的关系进行操作的一种手段和法则。证是依据一些前提(已知条件)和逻辑规则进行逻辑证明的一种数学操作。算和证又是相互联系的,算达到一定程度后可以通过证把算推向更高水平。有些问题的解是否存在,可以先通过“证”去了解,然后再通过“算”把具体的解找出来。这是法国布尔巴基(N1Bourbaki)学派擅长采用的高超手段,人们可以从这样的数学操作实践中学到和移植从有限认识无限的途径。17世纪微积分刚发明时,虽然缺乏逻辑基础(无穷小量的概念含糊不清),但却由于其实用性而在许多领域被操作着,“由于这些概念被证明越来越实用,数学家们起初还忸怩作态,后来就变得肆无忌惮了。”〔22〕贝克莱尖锐的质问使数学家们再也不能回避这个问题了,他们开始检验自己的工作,重新探讨分析的逻辑困境,揭开了数学严格化运动的序幕。柯西建立的极限理论最终很好地解决了这个难题,他富有成效性的工作使得数学的真理性再次
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自然辩证法研究 第22卷 第4期得到了捍卫。通过实践,人类在对“无限”的认识和认识的无限的征途中,不断向前迈进。
(本文的撰写承蒙厦门大学郭金彬教授、陈嘉明教授悉心指导,深表谢意)
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The“Antinomy”in K ant and Mathematical Tough“Paradox”
CHEN Ling
(Department of Philosophy,Xiamen University,Xiamen Fujian361005,China)
Abstract:The“antinomy”in Kant Philosophy is the contradiction caused by the introduction of perception category to rationality1And rationality has infinite connotations1The major source of paradox in mathematics is resulted from the introduction of infinit y to mathematics1antinomy and paradox have the same origin———infinity1The exclusion of antinomy and paradox will enrich people’s knowledge towards“infinity”1The dialectical relation2 ship between the finite and infinite quality can only be grasped through practice1
K ey w ords:antinomy;paradox;infinity(本文责任编辑 费多益)
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刺激了新的怀疑思维,产生了新一轮的怀疑思维→问题空间重构→范式更替;二是在范式更替中产生的新信息,可能直接引发新的问题空间重构;三是在范式更替中产生的信息,对后来的某一个新的怀疑思维→问题空间重构→范式更替产生影响,又出现新一轮的变更。
总之,在怀疑思维、问题空间重构和范式更替的运动中,由于存在着信息选择、信息反馈的多样性,从而造成信息运动的随机性和多路径,因而形成怀疑思维、问题空间重构和范式更替的网状运动。
参考文献
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The N et Motion of Doubt Thinking,R econstruction of
Problem Space and R eplacement of Paradigm
CHEN Xi2lei,WAN G G ang
(Department of Philosophy,Xiamen University,Xiamen Fujian361005,China)
Abstract:Doubt thinking have three characters:negative,trail,non-certainty1These characters can create reconstruction of problem space can help to break a dead lock and create the replacement of paradigm1They form a chain motion1Because the complexity of information motion in the course of sci2 entific cognition,they also appear as a net motion
K ey w ords:doubt-thinking;reconstruction of problem space;replacement of paradigm;motion of information
(本文责任编辑 王国政)
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