黄金卷（答案在最后）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
A．51 62 a b
+
C．51 63 a b
+
【答案】CA ．242
B ．24
【答案】B
【详解】如图所示，在正四棱锥P ABCD -连接OP ，则底面边长32AB =，对角线又5BP =，故高224OP BP BO =-=故该正四棱锥体积为()
21
323
V =⨯⨯故选：B
5．我国数学家陈景润在哥德猜想的研究中取得了世界领先的成果可以表示为两个素数的和身外没有其他因数的自然数）中，随机选取两个不同的数，其和等于
将APQ △翻折后，PQ A Q '⊥，PQ BQ ⊥，又平面平面A PQ ' 平面BCPQ PQ =，
A Q '⊂平面A PQ '，BQ ⊂平面BCPQ ，于是A Q '⊥平面显然A P '，BP 的中点D ，E 分别为A PQ ' ，四边形BCPQ 则DO ⊥平面A PQ '，EO ⊥平面BCPQ ，因此//DO BQ 取PQ 的中点F ，连接,DF FE 则有////EF BQ DO ，DF 四边形EFDO 为矩形，设A Q x '=且023x <<，DO 设球O 的半径R ，有2
222
3324
A P R DO x x '⎛⎫=+=-+
⎪⎝
⎭当23
x =
时，()
22R =，所以球O 表面积的最小值为故选：A ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。A ．正方体11ABCD A B C -B ．两条异面直线1D C 和C ．直线BC 与平面ABC D ．点D 到面1ACD 的距离为【答案】BC
【分析】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定的角的大小即为直线1D C 和进而求得直线BC 与平面ABC 判定D 错误.
【详解】对于A 中，正方体所以内切球的半径1
2
R =
，所以对于B 中，如图所示，连接因为11//AB C D 且11AB C D =所以异面直线1D C 和1BC 所成的角的大小即为直线又因为112AC AD D C ===
对于C 中，如图所示，连接B 因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C 又因为1AB BC B =I ，AB ⊂所以1B C ⊥平面11ABC D ，所以直线所以C 正确；
对于D 中，如图所示，设点D 所以111πsin 23ACD S AC AD =⨯⨯V 又因为12ACD S AD CD =⨯⨯=V 即111133ACD ACD S h S DD ⨯⨯=⨯⨯ 故选：BC.
10．已知函数3
21()3
f x x x =
-A ．()f x 为奇函数
C ．()f x 在[1,)-+∞上单调递增【答案】BC
【分析】根据奇函数的定义判断
12．已知函数()f x 及其导函数f 则（
）
A ．(1)(4)f f -=
B ．g ⎛- ⎝【答案】ABD
【分析】由题意分析得到()f x 关于直线【详解】因为3
(2)2
f x -为偶函数，所以所以()f x 关于直线32x =
对称，令因为33
()()22f x f x -=+，所以f '所以()()21g x g x +=--，因为所以()()21g x g x -=--，即(g 则()g x 的一个周期为2.因为(f x 所以33022g f ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ '⎪⎝⎭⎝⎭，所以g 因为()()1g x g x +=-，所以(2g 设()()h x f x c =+（c 为常数），定义域为3322h x f x c ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又f ⎛ ⎝
显然()()h x f x c =+也满足题设，即()f x 上下平移均满足题设，显然()0f 的值不确定，故C 错误.故选：ABD
第II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
由椭圆的性质可知，点P 位于短轴的端点时，设12π=206⎛⎫
∠<≤
⎪⎝
⎭
F PF θθ，因为
已知椭圆22
:11612
x y C +=，所以从而122
tan 12tan == PF F S b θθ121211+22=
⋅⋅ PF F S m PF m PF 所以12tan 4=m θ，解得=3tan m 2211sin 22=∠= DAB S m ADB m 所以12329sin 3cos sin 12tan 4
== DAB PF F S S θ
θθ所以1212223sin 4+= PF F DAB PF F DAB S S S S 因为π06<≤
θ，所以sin θ⎛∈ ⎝设2
1sin 0,4⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦
t θ，
所以12238+=+ PF F DAB S S t S S 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
(1)求棱BC 的长度：
(2)若111BB A B ⊥，且1△A FC 【答案】(1)2(2)
105
【详解】（1）取AC 的中点在三棱柱111ABC A B C -中，可得
则()()()111000,0,2,0,2,0,0B A C ，
，()
(
)
110,2,2,2,2,4A F A C =-=
-
设平面1A FC 的一个法向量为(,n x =
则11220
2240n A F y z n AC
x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令∴平面1A FC 的一个法向量为(n =-
易得平面11B A F 的一个法向量为m =
设平面11B A F 与平面1A FC 的夹角为210
cos 551
m n m n θ⋅∴===⋅⨯ ，
∴平面11B A F 与平面1A FC 的夹角的余弦值为20．为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）学生与最近食堂间的距离()m d (在食堂就餐0.15
点外卖合计
0.20
并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为点值作为代表）.
知3c =，所以()23,0F ，
若直线2MF 斜率为0，此时点A 设直线2MF 的方程为3x my =+联立22316
3x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，化简可得(m 则()
22220Δ361220m m m ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩，可得则1221226232m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
，又因为//l OA ，所以11l OA y k k x ==
所以直线l 的方程为3t y m --=联立()1122333y t y x t m my y y x my -⎧-=-⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩
，解得即P 的纵坐标为((1213P my y y m y +=
-又由上可知12262m y y m -+=
-，y 得()121212
my y y y =-+，
