周建云曾敬杨广煜
【摘要】：在社会经济生活中，我们常会遇到一笔资金有很多不同的投资机会，面对这些机会，我们可以选择不同的投资方式，从而使这笔资金在一段时期内达到的收益最大。本文涉及的问题是对某校的一笔基金，每年都要用一部分本息奖励优秀师生，每年的奖金额大致相同，在可以将其存入银行和购买国库券的两种投资机会下（每种投资机会下又有多种方式），怎样安排一个n年的投资计划，使其每年可用于发奖励的奖金额尽可能多，而在n年后仍保留原有的基金数额不变。
在这个问题的解决过程中，我们首先考虑只存款不购国库券方式。对于第一年，年初有一笔资金例如5000万，在还没有投资的方式下是不可能发奖金的，所以在第一年年初不会发奖金。由于活期存款和半年期存款利率都比较低，学校不会因为要在第一年发奖金而去投资活期存款和半年期存款，按常理在第二年的1月1日发第一年的奖金完全是合理的，并且假设第n+1年的1月1日发第n年的奖金，所以在这种方式下，不可能采用活期和半年期存款投资方式。对于每年用于奖励的奖金额首先按每年相同处理，然后再按逐年递增，递增的比例相同来处理。这样通过对这种投资背景的分析,我们认为这是一个线性规划问题，根据每年可用于投资的投资额等于当年初（即前一年末）能收回的存款本利和减去当年初发放的奖金数，但第一年初的投资额为M，我们建立了关于这个问题的一般线性规划模型，并对M=5000，n=10用Lindo软件求得其最佳投资方案为：每年发放的奖金额为109.82万元，第一年投资一年期存款396.76万元，二年期存款200.49万元，三年期存款195.61万元，五年期存款4207.13万元；第二年投资三年期存款195.61万元，五年期存款98.47万元；第三、四、五年均投资五年期存款98.47万元；第六年投资五年期存款4581.97万元。对于奖金额逐年增长的具体方案见文中表三的数据。
再考虑可存款也可购国库券的情况。在这种情况下，由于国库券每年发行次数、发行时间不定，给问题的解决带来很大困难，因此我们给予了适当合理的简化。一般地，购买两年期国库券，加上存活期或半年期等待（由于发行时间不定）购买的时间，需要占用三年时间，从而可将购买两年期国库券的投资方式看成相当于三年期的定期存款方式，并计算出相应的年利率。这样我们就将所有的购买国库券方式转换成相应的定期存款方式来处理。而且我们在计算中发现，对于某一种国库券购买方式，在某一年的任何月份发行并在当月购买，所取得的收益是相同的。作为一个结论我们给予了证明。因此，无论国库券发行是在哪一个月，我们均可以看作是在该年的1月1日，而购买国库券从理论上分析是宜早不宜迟，因此发行即购买次数的增加只相当于定期存款投资数额的增加。这样它就是第一种情况的一种拓广，我们也建立了其一般的线性规划模型，并对M=5000，n=10给出了最好的投资方案（对于每年发放的奖金额相同）：每年发放的奖金额为127.54万元，第一年投资一年期存款346.14万元，二年期存款227.59万元，三年期存款222.05万元，四年期存款（即购买三年期国库券并存了一段时间的活期或半年期）4095.33万元，六年期存款108.万元（即购买五年期国库券并存了一段时间的活期或半年期）108.万元；第二年投资四年期存款115.94万元，六年期存款108.万元；第三、四年均投资六年期存款108.万元；第五年投资六年期存款4377.65万元。当然这样处理会有误差，经过多次计算检验，误差大约在5%左右。但是与问题简化的程度相比，我们认为这是合算的。
对于在基金到位后的第3年学校要举行校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%，只需要在前述两种情况下，在第四年的约束式中将奖金变量y修改为1.2y即可解决。
关键字：数学模型，线性规划，投资计划，投资方式。
一、问题重述：
某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款与银行的现行相同，定期存款不提前取，活期存款可任意支取。
校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：
1．只存款不购国库券；
2．可存款也可购国库券。
3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。
银行存款税后年利率（%）国库券年利率（%）
活期 0.792
半年期 1.6
一年期 1.800
二年期 1.944 2.55
三年期 2.160 2.
五年期 2.304 3.14 这是一个有多种投资方案的优化投资问题。问题的要求是如何进行组合投资，使每年学校奖励优秀师生的奖金尽可能多，且保证n年未仍保留原基金数额。因此，我们可以用线性规划来处理这个问题。
二、模型假设：
1、基金是在计划期第一年的1月1日到位，且n年内基金数额不再追加。我们把这一年作
为问题讨论的第一年。
2、从第二年开始每年的1月1日发奖金一次。且第（n+1）年的1月1日发第n年的奖金（第
一年年初不发）。
3、基金的每种使用方式是相互的，定期存款和国库券不能提前支取。
4、在计划期的n年中存款利率和国库券利率不变。
5、银行存款及国库券不以复利来计算利息。
6、假设购买国库券只能在发行的当月购买，且发行当月的任何一天购买收益率相同，即在
当月的第1天和最后1天购买收益率一样。
7、国库券每次发行时是三种利率的国库券都发行。
三、变量说明：
M 表示基金的总额（单位：万元）
y表示每年的奖励师生的奖金额（单位：万元）
x ij表示第i年对第j种存款方式的投资额（第j种存款方式表示j年期定期存款，单位：万元）
p i 表示i年期定期存款利率
p b 表示半年期定期存款利率
p h 表示活期存款利率
四、问题一：只存款不购国库券的的情况
1、问题分析
由于我们假设每年发奖金的时间在1月1日，第n+1年的1月1日发第n 年的奖金，而半年期和活期存款利率比较低，因此我们可以推断在此种情况下，半年期和活期存款投资方式不可能被采用，而只能采用一年期、二年期、三年期和五年期存款投资方式。十年的投资情况如下表一所示。例如表中x 11表示第一年对一年期定期存款式的投资额，一年后其本利和为1.018x 11；x 12表示第二年对二年期定期存款的投资额，二年后其本利和为1.03888x 12，其余类似。
2、模型的建立
建立模型的原则是：每一年的可用于投资的资金为来自于前几年存入的到期存款本息和减去当年初发放的奖金（第二年为第一年末能收回的本利和减去当年初发放的奖金，第三年为第二年末能收回的本利和减去当年初发放的奖金，其余类似，而第一年的可用投资额为M 万元）。每年的资金在发放完奖金后又继续选择合适的几种存款方式投资。
（1） 考虑每年奖金额相等的情况 计划期为n 年的一般模型：
max y
M x x x x =+++15131211
()y x p x x x x −+=+++111252322211
()()y x p x p x x x x −+++=+++21112235333231121
()()()y x p x p x p x x x x −+++++=+++3112221334543424112131 （ 第四年的约束 ） ()()()y x p x p x p x x x x −+++++=+++4113222335553525112131
()()()()()()2223335555321213151−−−+++++=+++i i i i i i i x p x p x p x x x x ()()46...1111−≤≤−++−n i y x p i
()()()2)5(23)6(35)8(53)3(2)3(1)3(213151−−−−−−+++++=++n n n n n n x p x p x p x x x ()y x p n −++−1)4(111 ()()()2)4(23)5(35)7(53)2(2)2(1)2(213151−−−−−−+++++=++n n n n n n x p x p x p x x x ()y x p n −++−1)3(11 ()()()()y x p x p x p x p x x n n n n n n −+++++++=+−−−−−−1)2(12)3(23)4(35)6(52)1(1)1(1213151()()()()y x p x p x p x p x n n n n n −+++++++=−−−−1)1(12)2(23)3(35)5(511213151
()()()()M y x p 1x p 21x p 31x p 511n 12)1n (23)2n (35)4n (5=−+++++++−−−
0≥ij x n i K 3,2,1= 5,3,2,1=j 0≥y
5≥n
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧
当n=10，M=5000，利率为题目中给定的利率时，模型为：
max y
根据现实要求，每年的奖金额可有所增加，对于奖金额每年增长1%，2%，3%,4%，5%，10%的情况，只需要在相应的约束中修改变量y的系数，计算结果见表三。
表三 奖金额逐年递增的最优投资方案 单位：万元 奖金增长率 1% 2% 3% 4% 5% 10% 第一年奖金额 105.155 100.653 95.826 92.119 88.6 70.093
一年期 394.790 392.856 390.927 3.100 3.827 378.651 二年期 198.579 196.661 194.810 192.827 192.169 181.400 三年期 195.683 195.712 195.686 195.658 190.412 194.679
第一年 五年期 4210.949 4214.772 4218.577 4222.415 4227.591 4245.270 一年期 二年期 三年期 197.639 199.626 201.557 203.484 206.710 214.149
第二年 五年期 99.102 99.9 100.580 100.500 101.470 101.224 一年期 二年期 三年期
第三年 五年期 100.093 101.2 103.598 104.520 106.544 111.350 一年期 二年期 三年期
第四年 五年期 101.094 103.675 106.705 108.700 111.871 122.481 一年期 二年期 三年期
第五年 五年期 102.105 105.748 109.907 113.049 117.465 134.731 一年期 二年期 三年期
第六年 五年期 4585.627 4591.363 4596.704 4601.071 4606.838 4631.701 一年期 二年期 三年期
第七年 五年期 一年期 二年期 三年期
第八年 五年期 一年期 二年期 三年期
第九年 五年期 一年期 二年期 三年期
投资方式
第十年 五年期
五、问题二：可存款也可购国库券的的情况
1、问题分析
在这种情况下，由于国库券每年发行次数、发行时间不定，给问题的解决带来很大困难，因此我们必须进行适当合理的简化。
由于购买两年期国库券，从时间上算一般要占用三年时间（这里包括存活期或半年期等待买国库券的时间；也包括国库券到期以后存活期或半年期等待至本年终的时间），因此我们可以将购买两年期国库券的投资方式看成是存定期三年的投资方式。类似的道理，也可将购买三年期和五年期国库券的投资方式分别看成是四年和六年定期存款的投资方式。经过计算机枚举计算，我们发现如下结论：
定理1：对于任何一种国库券，因为购买国库券只能在发行的当月购买，所以发行的月份也就是购买的月份，在某一年当中的任何月份发行（也即购买）所取得的收益是相同的（1月1日和7月1日除外）。
证明：假设在某一年第n月发行m年期的国库券，p h为活期利率，p b为半年期利率，又设p m为国库券利率，A为第n年初准备用于购买m年期的国库券的资金额。
当n≤7时：
首先，将A万元的资金存(n-1)个月的活期，到期时的本利和为：
A [1 + (n-1)p h/12]
然后再将A [1 + (n-1)p h/12]万元的资金用于购买m年期的国库券，到期时的本利和为：
A [1 + (n-1)p h/12] (1+m*p m)
然后再将A [1 + (n-1)p h/12] (1+m*p m)万元的资金存入半年定期，到期时的本利和为：
A [1 + (n-1)p h/12] (1+m*p m) (1+p b/2)
最后，将A [1 + (n-1)p h/12] (1+m*p m) (1+p b/2) 万元的资金存为活期，到期时的本利和为
A [1 + (n-1)p h/12] (1+m*p m) (1+p b/2) [1+(7-n)p h/12 ]
= A(1+m*p m) (1+p b/2) [1 + p h/2 +(n-1)(7-n)p h2/12 2] ①
当n＞7时：
首先，将A万元的资金存为半年定期，到期时的本利和为：
A (1 + p b/2)
然后再将A (1 + p b/2)万元的资金存为（n-7）个月活期，到期时的本利和为：
A (1 + p b/2)[1+(n-7)p h/12]
然后再用A (1 + p b/2)[1+(n-7)p h/12]万元的资金购买m年期的国库券，到期时的本利和为：
A (1 + p b/2)[1+(n-7)p h/12]（1+mp m）
最后，将A (1 + p b/2)[1+(n-7)p h/12]（1+mp m）万元的资金存为活期，到期时的本利和为
A [1 + (n-7)p h/12] (1+m*p m) (1+p b/2) [1+(13-n)p h/12 ]
= A(1+m*p m) (1+p b/2) [1 + p h/2 +(n-7)(13-n)p h2/12 2] ②
在①式中， (n-1)(7-n)p h2/12 2≤9•p h2/122=p h2/16<< (1+p b/2)
在②式中，(n-7)(13-n)p h2/12 2≤9•p h2/122=p h2/16<< (1+p b/2)
因此，无论是n≤7还是n>7最后的投资总收益近似为：
A(1+m*p m) (1+p b/2) [1 + p h/2]
与n无关。证毕关于上述结论的说明：对于1月1日发行的m年期国库券，则不需要等待购买，而是立即购买，资金占用时间为m年，因而m+1的投资收益会高于A(1+m*p m) (1+p b/2) [1 + p h/2]；同样对于7月1日发行的m年期国库券，整个投资过程中可能会出现两次半年期存款方式，
因而最后的投资收益也会高于A(1+m*p m ) (1+p b /2) [1 + p h /2]。对于这两天可另外处理，但在本问题中由于在这两天发行国库券的概率非常小，我们将不予考虑。
由定理1，无论国库券发行是在哪一个月，我们均可以看作是在该年的1月1日，而购买国库券从理论上分析是宜早不宜迟，因此发行即购买次数的增加只相当于定期存款投资数额的增加。这样第二种情况就可认为是第一种情况的一种拓广。
根据如下公式可计算出购买三种国库券相当于定期存款的年利率如表四所示。
1)
A(m A
-/2] [1 /2)(1 )*m A(1p p p h b m ++++=
相对利率
表四 国库券转换成定期存款的相对利率（%） 种类 二年期国库券 （看作定期三年） 三年期国库券 （看作定期四年） 五年期国库券
（看作定期六年）
原利
率
2.55 2.
3.14 相对
利 率
2.131 2.502 2.854 由此可知：购买两年期国库券（看作定期三年）的利率2.131低于实际三年定期存款利率2.160，所以购买两年期国库券投资方式不可能被采用。另外，与问题一中类似，半年期和活期存款方式（四年期和六年期存款中所包含的除外）同样不可能被采用，所以，此种情况下的各种可能的投资方式及年利率如下表五所示。
表五 国库券转换后的所有可能投资方式
投资方式 利率
一年期定期存款 1.800 二年期定期存款 1.944 三年期定期存款 2.160
四年期定期存款（三年期国库券） 2.502
五年期定期存款 2.304
六年期定期存款（五年期国库券） 2.854
2、模型建立
建立模型的原则仍是：每一年的可用于投资的资金为来自于前几年存入的到期存款本息和减去当年初发放的奖金（第二年为第一年末能收回的本利和减去当年初发放的奖金，第三年为第二年末能收回的本利和减去当年初发放的奖金，其余类似，而第一年的可用投资额为M 万元）。其目标仍是使每年可用于发奖金的资金数尽可能多，并且n 年后仍保留原有的基金数不变。
由于将购买国库券方式转换成了定期存款方式，因此这种情况也是线性规划问题。由于奖金额逐年递增的情况可以在奖金额相同的情况下通过简单的修改很容易得到结果（可仿照问题一），所以在此我们仅就奖金额相同的情况进行处理。
计划期为n 年的一般线性规划模型为：
M x x x x x x =+++++161514131211
y x p x x x x x x −+=+++++111262524232221)1( y x p x p x x x x x x −+++=+++++211122363534333231)1()21( y x p x p x p x x x x x x −+++++=+++++3112221234544434241)1()21()31( 第四年的约束 y x p x p x p x p x x x x x x −+++++++=+++++141322233144565554535251)1()21()31()41( 4223332441556665636261)21()31()41()51(x p x p x p x p x x x x x x +++++++=+++++ y x p −++511)1( ()()()()333444555656
654321)31()41()51()61(−−−−+++++++=+++++i i i i i i i i i i x p x p x p x
p x x x x x x ()()57......)1()21(111222−≤≤−++++−−n i y x p x p i i ()()()()()()()()48459561065444342414)41()51()61(−−−−−−−−+++++=++++x n n x n n n n x p x p x p x x x x x
()()()y x p x p x p n n n −++++++−−−151262373)1()21()31( ()()()()()()()()363474585693332313)31()41()51()61(−−−−−−−−+++++++=+++n n n n n n n n x p x p x p x p x x x x ()()y x p x
p n n −++++−−141252)1()21(. ()()()()()()()3534575686322212)31()41()51()61(−−−−−−−+++++++=++n n n n n n n x p x p x p x p x x x ()()y x )p 1(x )p 21(13n 124n 2−++++−− ()()()()()()()()()()343454565676211131415161−−−−−−+++++++=+n n n n n n x p x p x p x p x x ()()()()y x p 1x p 2112n 123n 2−++++−− ()()()()()()()()333444555666131415161−−−−+++++++=n n n n n x p x p x p x
p x ()()()()y x p 1x p 2111n 122n 2−++++−− ()()()()()()()()()()2123234345456562131415161−−−−−+++++++++n n n n n x p x p x p x p x
p ()M y x p n =−++111 6,5,4,3,2,1;....3,2,1....0==≥j n i x ij 0≥y
⎪
⎪⎪⎪
⎪
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⎪⎪
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⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
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⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
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⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨
⎧
max y
在这种情况下，由于将购买国库券方式转换成定期存款方式，问题得到了很大的简化，但是当然也带来了误差。根据我们对现实银行资料的调查可知，国库券一般每年至多发行3次，而根据题意发行时间不定，可以将发行时间认为是服从[1，12]上的均匀分布的随机数。我们就国库券每年发行3次，发行时间是服从[1，12]上的均匀分布的随机数，进行了随机抽样计算，得到每年最多能发的奖金额平均大约为132万元左右，而我们求到的结果为127.54万元，误差在5%左右。与问题的简化程度相比，我们认为这是一种比较合算的处理方法。
六、问题三：学校在基金到位后的第3年要举行校庆，这一年的奖金要比其它年度多20%
对于这种情况，我们只需要在问题一和问题二中第四年（因第四年的1月1日发的奖金是用于第三年）的约束等式中，将奖金额y改为1.2y即可求出最佳投资方案，所求结果见表七和表八。
表七只存款且第三年奖金增加20%情况下的投资方案单位：万元
七、模型的评价与改进方向
模型的优缺点：
1、对于问题一本文建立的是线性规划模型，求出的是最优投资方案，不存在任何计算误差和人为误差，是一种比较理想的结果，可完全应用于实际投资，以取得最好的投资效益。
2、在问题二中通过对购买国库券投资方式的灵活处理，大大减少了因国库券每年发行次数和时间不确定性造成建模的复杂程度和问题求解的工作量，这在解决实际问题中具有重要的现实意义。
3、这种建模的思想和方法，能很好地适用于基金的无风险投资，计算简单，可操作性强，易于推广，其稳定性也很好。
4、在问题二中由于对购买国库券投资方式的转换，在带来处理问题的简便、快捷等优点的同时也带来了计算的误差。经过计算对比，在问题二中求出的最大奖金额可能稍许偏低，误差大约在5%左右，但是与其减少的问题复杂程度相比，我们认为是合算的。
模型的改进方向：
1、在问题二中，由于国库券每年的发行次数和发行时间不定，可作为服从某个分布的随机数来处理，建
立随机规划模型，从而求得尽可能多的奖金额及最好的投资方案。但是问题求解的复杂程度将是相当大的。
2、当利率是变动时，可建立二次规划模型加以解决。
3、当需要同时考虑投资风险时，将化为一个多目标规划来处理。
参考文献：
【1】李火林等编《数学模型及方法》江西高校出版社南昌 1997
【2】叶其孝编《大学生数学建模竞赛辅导教材(二) 》湖南教育出版社长沙 1997
【3】吴江等编《运筹学模型与方法教程》清华大学出版社北京 2000
附录：
定理1的计算机验证程序（matlab 5.3）
%将国库券投资方式看作定期存款的相对利率的计算机验证
p0=0.00792; %活期存款利率
p05=0.016; %半年期存款利率
p1=0.018; %一年期存款利率
p2=0.0255; %二年期国库券利率
p3=0.02; %三年期国库券利率
p5=0.0314; %五年期国库券利率
y2=1；
%y2为把二年期国库券看作三年定期存款情况下，国库券在各个月首发行时的相对利率
y3=1;
%y3为把三年期国库券看作四年定期存款情况下，国库券在各个月首发行时的相对利率
y5=1;
%y5为把五年期国库券看作六年定期存款情况下，国库券在各个月首发行时的相对利率
for n=1:12
x=n;
if x<7 %当国库券发行时间上半年时
if x==1 %当国库券发行时间为1月1日时
A=(1+p1); %A为购入国库券之前资金增长率
C=1; %C为国库券到期后资金增长率
else
A=(1+p0*(x-1)/12);
C=(1+p05/2)*(1+(7-x)*p0/12);
end
else %当国库券发行时间为下半年时
if x==7 %当国库券发行时间为7月1日时 A=(1+p05/2);
C=(1+p05/2);
else
A=(1+p05/2)*(1+(x-7)*p0/12);
C=(1+p0*(13-x)/12);
end
end
B=A*(1+2*p2);
y2(n)=(B*C-1)/3*100;
B=A*(1+3*p3);y3(n)=(B*C-1)/4*100;
B=A*(1+5*p5);
y5(n)=(B*C-1)/6*100;
end
y2 %输出三种国库券在各个月份发行时相对利率
y3
y5
subplot(2,2,1) %画出三种国库券在各个月份发行时相对利率图plot(1:n,y2,'*')
subplot(2,2,2)
plot(1:n,y3,'*')
subplot(2,2,3)
plot(1:n,y5,'*')
%源程序结束
由程序结果列表如下：
表九将各个月份发行的三种国库券看作定期存款的相对利率（%）
1月1日2月3月4月5月6月7月
1日
8月9月 10月 11月 12月
2年
期国
库券
2.3306 2.1314 2.1315 2.1315 2.1315 2.1314 2.2854 2.1314 2.1315 2.1315 2.1315 2.1314
3年
期国
库券
2.6565 2.5021 2.5021 2.5021 2.5021 2.5021 2.6214 2.5021 2.5021 2.5021 2.5021 2.5021
5年期国库券2.9638
2.8542
2.8541 2.8542 2.8542 2.8541 2.8541 2.93 2.8542 2.8542 2.8542 2.8542 2.8541
图
1、 二年国库券看作三年定期时，其在各个月份发行时的相对年利率图( % )
图2、 三年国库券看作四年定期时，其在各个月份发行时的相对年利率图( % )
图
3、五年国库券看作六年定期时，其在各个月份发行时的相对年利率图 ( % )
