一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知tan（）=，则tanα的值为（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
2．（5分）已知集合A={x|y=﹣2x﹣1}，B={y|y=x2}，则A∩B=（ ）
A．{（﹣1，1）} B．[0，+∞） C．（﹣1，1） D．∅
3．（5分）“x＞0”是“（）x＜3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．a∥b，b⊂α，则a∥α B．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b
C．a⊂α，b⊂α，α∥α，b∥β，则α∥β D．α∥β，a⊂α，则a∥β
7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称 B．关于点（，0）对称
C．关于直线x=对称 D．关于直线x=对称
8．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD=（ ）
A．150m B．75m C．150m D．300m
9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A．4π B．36π C．48π D．24π
10．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x）无零点，且对任意x∈R都有f（f（x）+x3）=2，若函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上与函数f（x）具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ）
A．[0，+∞） B．（﹣∞，﹣3] C．（﹣∞，0] D．[﹣3，+∞）
11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+ex﹣a+4ea﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（ ）
A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知函数f（x）=2cos（+x），且f（﹣a）=，则f（a）的值为 ．
14．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=9，则a的值 ．
15．（5分）已知函数f（x）=x（2x﹣），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是 ．
16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若方程f（x）+m+1=0在[，]内有两个零点，求m的取值范围．
18．（12分）设f（x）=aex﹣cos（x），其中a＞0．
（Ⅰ）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点；
（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，1）上存在唯一极值，求正数a的取值范围．
19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin（A+B），它的面积S=c2．
（1）求sinB的值；
（2）若D是BC边上的一点，cos，求的值．
20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求证：平面SBD⊥平面SAD；
（Ⅱ）若SD与底面ABCD所成的角为60°，求二面角C﹣SB﹣D的余弦值．
21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性
（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1x22＜2．
请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）．
（1）设t为参数，若y=﹣2，求直线l参数方程；
（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数a的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．
2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷（理科）
参与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知tan（）=，则tanα的值为（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
【解答】解：由tan（）=，得，
∴，解得tanα=．
故选：A．
2．（5分）已知集合A={x|y=﹣2x﹣1}，B={y|y=x2}，则A∩B=（ ）
A．{（﹣1，1）} B．[0，+∞） C．（﹣1，1） D．∅
【解答】解：∵集合A={x|y=﹣2x﹣1}=R，
B={y|y=x2}={y|y≥0}，
∴A∩B={y|y≥0}=[0，+∞）．
故选：B．
3．（5分）“x＞0”是“（）x＜3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：“（）x＜3”⇔“3﹣x＜3”⇔“﹣x＜1”⇔“x＞﹣1”，
故“x＞0”是“（）x＜3”的充分不必要条件，
故选：A．
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：以D为坐标原点，DC，DA，DD1分别为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
设正方体的边长为2，
可得A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0），
B1（2，2，2），C1（2，0，2），
由中点坐标公式可得E（2，1，0），F（2，1，2），
则=（2，﹣1，2），=（0，1，﹣2），
则cos＜，＞===﹣，
可得异面直线AF与C1E所成角的余弦值为，
则异面直线AF与C1E所成角的正弦值为=，
可得异面直线AF与C1E所成角的正切值为，
故选：C．
5．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：令f（x）=xln|x|，易知f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；
又x＞0时，f（x）=xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；
令f（x）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．
故选：C．
6．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．a∥b，b⊂α，则a∥α B．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b
C．a⊂α，b⊂α，α∥α，b∥β，则α∥β D．α∥β，a⊂α，则a∥β
【解答】解：由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：
在A 中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；
在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；
在C中，a⊂α，b⊂α，α∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；
在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．
故选：D．
7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称 B．关于点（，0）对称
C．关于直线x=对称 D．关于直线x=对称
【解答】解：∵函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，∴sin（+φ）=1，
∴cos（+φ）=0，∴函数y=cos（2x+φ）的图象关于点（，0）对称，
故选：A．
8．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD=（ ）
A．150m B．75m C．150m D．300m
【解答】解：设此山高h（m），由题意在点A处时测得点D的仰角为30°，得AC=h，
在△ABC中，∠CBA=90°，测得点D的仰角为45°，
∴BC=h，AB=300．
根据勾股定理得，3h2=h2+90000，
∴h=150
故选：C．
9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A．4π B．36π C．48π D．24π
【解答】解：设球的半径为R，
则∵圆锥的高h=5，底面圆的半径r=，
∴R2=（R﹣h）2+r2，即R2=（R﹣5）2+5，
解得：R=3，
故该球的表面积S=4πR2=36π，
故选：B．
10．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x）无零点，且对任意x∈R都有f（f（x）+x3）=2，若函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上与函数f（x）具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ）
A．[0，+∞） B．（﹣∞，﹣3] C．（﹣∞，0] D．[﹣3，+∞）
【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x）无零点，∴函数f（x）是单调函数，
令f（x）+x3=t，则f（x）=t﹣x3，
f′（x）=﹣3x2≤0在[﹣1，1]恒成立，故f（x）在[﹣1，1]递减，
结合题意g（x）=﹣x3+t﹣kx在[﹣1，1]递减，
故g′（x）=﹣3x2﹣k≤0在[﹣1，1]恒成立，
故k≥﹣3x2在[﹣1，1]恒成立，故k≥0，
故选：A．
11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，
三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，故体积为：，
半圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：π，
故组合体的体积V=+π，
故选：D．
12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+ex﹣a+4ea﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（ ）
A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1
【解答】解：令f（x）=x﹣ln（x+2）+ex﹣a+4ea﹣x，
令g（x）=x﹣ln（x+2），g′（x）=1﹣=，
故g（x）=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，
故当x=﹣1时，g（x）有最小值﹣1﹣0=﹣1，
而ex﹣a+4ea﹣x≥4，
（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；
故f（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；
故x=a+ln2=﹣1，
即a=﹣1﹣ln2．
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知函数f（x）=2cos（+x），且f（﹣a）=，则f（a）的值为 ．
【解答】解：f（x）=2cos（+x）=﹣2sinx，函数f（x）为奇函数，
又f（﹣a）=，
∴f（a）=﹣f（﹣a）=．
故答案为：．
14．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=9，则a的值 3 ．
【解答】解：若a＞2，由f（a）=9，得2a+1=9，得a=3，
若0＜a≤2，由f（a）=9，得log2a+4=9，得a=32，舍去．
综上a=3，
故答案为：3．
15．（5分）已知函数f（x）=x（2x﹣），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是 （﹣∞，） ．
【解答】解：x＞0时，f（x）在（0，+∞）递增，
而f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函数，
故f（x）在（﹣∞，0）递减，
若f（x﹣1）＞f（x），
则|x﹣1|＞|x|，即（x﹣1）2＞x2，
解得：x＜，
故答案为：（﹣∞，）．
16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 （1，5） ．
【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形，
则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；
而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体，
液面的形状都不可能是三角形；
所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积，
并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=，
又长方体体积为1×2×3=6，
所以液体体积取值范围是×6＜V液体＜×6，即1＜V液体＜5．
故答案为：（1，5）．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若方程f（x）+m+1=0在[，]内有两个零点，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a=
=，
∴=，
∴a=；
（2）由（1）知，f（x）=，
若方程f（x）+m+1=0在[，]内有两个零点，则方程f（x）=﹣m﹣1在[，]内有两个零点，
即函数y=f（x）的图象与y=﹣m﹣1的图象在[，]内有两个不同交点，
如图：
由图可知，要使函数y=f（x）的图象与y=﹣m﹣1的图象在[，]内有两个不同交点，
则，即．
18．（12分）设f（x）=aex﹣cos（x），其中a＞0．
（Ⅰ）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点；
（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，1）上存在唯一极值，求正数a的取值范围．
【解答】证明：（Ⅰ）∵f（x）=aex﹣cos（x），
∴f′（x）=aex+sin（x），
∴k=f′（0）=a，f（0）=a，
∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））的切线方程为y﹣a=ax，即ax﹣y+a=0，
∴a（x+1）﹣y=0，
∴ax﹣y+a=0过定点（﹣1，0），
∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点：
解：（2）∵f（x）=aex﹣cos（x），
∴f′（x）=aex+sin（x），
∵f（x）在（﹣1，1）上存在唯一的极值点，
∴f′（﹣1）f′（1）＜0，
∴（﹣）（ae+）＜0，
解得﹣＜a＜，
故a 的范围为（﹣，）．
19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin（A+B），它的面积S=c2．
（1）求sinB的值；
（2）若D是BC边上的一点，cos，求的值．
【解答】解：（1）∵sinA=2sin（A+B），
∴sinA=2sinC，a=2c，
∴S=sinB•c•2c=c2，
故sinB=；
（2）由（1）sinB=，cos，
∴cosB=，sin∠ADB=，
∴sin∠BAD
=sin（B+∠ADB）
=sinBcos∠ADB+cosBsin∠ADB
=×+×
=，
由=，
得：=，解得：BD=c，
故=3．
20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求证：平面SBD⊥平面SAD；
（Ⅱ）若SD与底面ABCD所成的角为60°，求二面角C﹣SB﹣D的余弦值．
【解答】（1）证明：取AB中点M，连接DM，
∵底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=，
∴四边形BCDM是正方形，且AM=DM．∴∠DAB，∠ADC=90°，
∴DB⊥AD
又∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD=AD，BD⊂面ABCD，
∴BD⊥平面SAD，又DB⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SAD
（2）解∵侧面SAD⊥底面ABCD，∴∠SDA就是SD与底面ABCD所成的角或其补角，∴∠SDA=60°或120°，下面可以分类讨论，
在此求解∠SDA=60°的情况．
∵AD=SD，∴△SAD是等边△．
如图以D为原点，DA，DB所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，
设CD=2，则S（，0，），B（0，2，0），C（﹣，，0）
，
设面SCB的法向量为：
，可得
设面SBD的法向量为．
可得
cos==
∴二面角C﹣SB﹣D的余弦值为．
21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性
（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1x22＜2．
【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）
f′（x）=x﹣a+=，（a＞0），△=a2﹣4a．
①当△≤0，即0＜a≤4时，函数f（x）在（0，+∞）递增，
②当△＞0，即＞4时，f′（x）=0的根，
x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）递减．
（Ⅱ）证明：当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2
⇔方程lnx﹣x﹣m=0（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2．
令g（x）=lnx﹣x﹣m，定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣1
令g′（x）＜0得x＞1，令g′（x）＞0得0＜x＜1
所以函数g（x）=lnx﹣x﹣m的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1），
又lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0，
由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2，
又可知g（x）=lnx﹣x﹣m在（1，+∞）递减，故x2＞2，
令h（x）=g（x）﹣g（），（x＞2），
h（x）=g（x）﹣g（）=）=﹣x++3lnx﹣ln2（x＞2），
h′（x）=﹣，
当x＞2时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，所以h（x）＜h（2）=2ln2﹣＜0．
所以当x2＞2 时，g（x2）﹣g（ ）＜0，即g（x1）＜g（），
因为g（x）在（0，1）上单调递增，
所以x1＜，故x1•x22＜2．
综上所述：x1•x22＜2．
请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）．
（1）设t为参数，若y=﹣2，求直线l参数方程；
（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数a的值．
【解答】解：（1）由=3，即ρcosθcos﹣ρsinθsin=3，
直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=3，化为直角坐标方程：x﹣y﹣6=0．
∵y=﹣2+t，∴x=y+6=t，
∴直线l的参数方程为：（t为参数）．
（2）曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ，∴ρ2=4aρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4ax=0．
将（1）中的直线参数方程代x2+y2﹣4ax=0，并整理得：t2﹣2（1+a）t+12=0，
又△=12（1+a）2﹣4×12=12（a2+2a﹣3）＞0，解得：a＞1，
设P、Q对应参数分别为t1，t2，则t1+t2=2（1+a），t1•t2=12，
由t的几何意义得|PQ|2=|t1﹣t2|2=（t1+t2）2﹣4t1•t2=12（1+a）2﹣4×12，
|MP|•|MQ|=|t1|•|t2|=|t1t2|=12，
所以12（1+a）2﹣4×12=12，解得：a=﹣1，
∴实数a的值﹣1．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，
可得或或，
解得：﹣≤x≤；
故不等式的解集是[﹣，]；
（2）不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，
即|3x﹣a|﹣|3x+6|≤1﹣a，
由绝对值不等式的性质可得：
||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，
即有f（x）的最大值为|a+6|，
∴ 或，
解得：a≥﹣．
