【学习目标】
1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系．
2.能选择自然语言、图象语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．
【要点梳理】
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.
要点一、集合的有关概念
1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.
2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.
3．关于集合的元素的特征
(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.
4．元素与集合的关系：
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作aA
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作
5．集合的分类
(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：.
(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.
(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.
6．常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集)，记作N
正整数集，记作N*或N+
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
要点二、集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.
1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.
2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，….
3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合.
【典型例题】
类型一：集合的概念及元素的性质
例1 集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？
答案：是
解析：由分母有理化得，.由题中集合可知均有，，即.
点评：（1）解答本题首先要理解与的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，能否化成此形式，进而去判断是不是集合中的元素.（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.
举一反三：
【变式1】设
(1)若aZ，则是否有aS？
(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？
解：(1)若aZ，则有aS，即n=0时，xZ，∴aS；
(2)x1，x2S，则
∵m1，n1，m2，n2Z，∴m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z
∴x1·x2S.
类型二：元素与集合的关系
例2.用符号“”或“”填空．
(1)
(2)
(3)
解析：给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.
(1)
(2)令，则
令，则
(3) ∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，
∴
点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合是由抛物线上的所有点构成的，是一个点集.
举一反三：
【变式1】 用符号“”或“”填空
（1）若,则 ；-2 .
（2）若则 ；-2 .
答案：
（1）， （2），
类型三：集合中元素性质的应用
例3.设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（a,b）,在中唯一确定的元素与之对应），若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案： A
解析：抓住本题的本质恒成立. 只要为中元素即可有. B中由已知即为符合已知条件形式.中即可. D中相当于已知中的也正确.只有A不一定正确.
点评：本题应紧紧抓住关系式，即关系式中有三个数，其中有两个数相同且分别在两边，此时关系式等于中间的数，只要分析出这个特点即可解决.
举一反三：
【变式1】定义集合运算：.设集合，，则集合的所有元素之和为
A. 0 B. 6 C. 12 D. 18
答案： D
解析：，当时， ，于是的所有元素之和为0+6+12=18.
点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.
例4. ，则M=( )
A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {-1，2，3，4}
答案：D
解析：集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以
由aZ，所以-1≤a≤4
当a=-1时，符合题意；
当a=0时，不符合题意；
当a=1时，不符合题意；
当a=2时，符合题意；
当a=3时，符合题意；
当a=4时，符合题意.
故a=-1，a=2，a=3，a=4为M中元素，即M={-1，2，3，4}，选项D正确.
■高清课程：集合的表示及运算 例1
例5. 设集合={x|}，当集合为单元素集时，求实数的值.
答案：0，1
解析：由集合中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.
当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.
例6.已知集合，若，求实数的值及集合.
答案：，
解析：（1）若则.
所以，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.
（2）若，则或，
当时，满足题意；
当时，，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.
（3）若，则或，由上分析知与均应舍去.
综上，，集合.
点评：本题中由于1和集合中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.
举一反三：
【变式1】已知集合，，求实数的值
答案：
解析：当，即时，，满足题意；
当即，时，，与集合的概念矛盾，不满足题意舍去，
时， 由上面知，满足题意
故
例7．设是实数集，且满足条件：若，则.
（1）若，则中必还有另外两个元素；
（2）集合不可能是单元素集；
（3）集合中至少有三个不同的元素.
答案：（1） （2）略 （3）略
解析：（1）若，则，于是，故集合中还含有两个元素.
（2）若为单元素集，则，即，此方程无实数解，，与都为集合的元素，则不可能是单元素集.
（3）由已知.现只需证明三个数互不相等.
①若方程无解，；
②若，方程无解，；
③若，方程无解，，
故集合中至少有三个不同的元素.
点评：集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点.
类型四：集合的表示方法
例8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程的所有实数根组成的集合；
(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.
答案：；。
解析：(1)设方程的实数根为x，并且满足条件
因此，用描述法表示为；
方程有两个实数根
因此，用列举法表示为.
(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件，且15 大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24， 因此，用列举法表示为. 点评：（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开. （2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然. （3）用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质. 举一反三： 【变式1】用列举法表示集合： (1)A={xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0} (2)B={(x，y)|x+y=3， xN， yN} (3)C={y|x+y=3，xN， yN} (4) (5) (6)P={x|x(x-a)=0， aR} 解析：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么. (1)A={1，-2，-1，2} (2)B={(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)} (3)C={0，1，2，3} (4)D={(0，0)} (5)M={0} (6)当a≠0时，P={0，a}；当a=0时，P={0}. 点评：此例题（2）与（3），（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互异性，遇到代数式时，能否意识到字母aR，需要分类讨论. 【变式2】用适当的方法表示下列集合： （1）比5大3的数； （2）方程的解集； （3）二次函数的图象上的所有点组成的集合。 答案：（1）；（2）；（3）。 解析：（1）比5大3的数显然是8，故可表示为。 （2）方程可化为， 方程的解集为。 （3）用描述法表示为。 点评：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合。 巩固练习 一、选择题 1．下列四个集合中，是空集的是( ) A． B． C． D． 2．集合可化简为（ ） A． B． C． D． 3．集合 用描述法可表示为（ ） A． B． C． D． 4．若以集合中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5． 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 6．设为实数，．记集合．若||、分别为集合的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、填空题 7．用符号“”或“”填空 (1)-3______， ______， ______； (2)(是个无理数). 8. 方程组用列举法表示为 . 9．设，则集合中所有元素之积为 . 10．由所确定的实数集合是 . 11．用描述法表示的集合可化简为 . 12．设是整数集的一个非空子集，对于,如果，且，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 三、解答题 13．已知集合，试用列举法表示集合. 14．分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）大于且小于6的整数所组成的集合； （2）方程的实数根所组成的集合. 15．已知集合={x|，}. （1）若中只有一个元素，实数的取值范围. （2）若中至少有一个元素，实数的取值范围. （3）若中元素至多只有一个，求实数的取值范围. 16．设集合. 求证：（1）一切奇数属于集合； （2）偶数不属于； （3）属于的两个整数，其乘积仍属于. 答案与解析： 一、选择题 1.D 选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，选项D中的方程无实数根. 2. B 解方程得，因为，故选B. 3. C 集合A表示所有的正奇数，故C正确. 4.D 元素的互异性. 5. D ，故选D. 6．D 当时，且；当时，且；当时且（比如）时，且 ，故只有D不可能. 二、填空题 7. . 8. 加减消元法，解二元一次方程组，解集是点集. 9. ，，解得，代入，得，由韦达定理，得所有元素之积为. 10. 对分类讨论可得. 11. ，，. 12．6 若，因为1不是孤立元，所以.设另一元素为，假设，此时，，且，不合题意，故.据此分析满足条件的集合为，共有6个. 三、解答题 13.解：由题意可知是的正约数，当；当； 当；当；而，∴，即 . 14.解：（1） （2） . 15. 解：（1）若时，则，解得，此时. 若时，则 或时，中只有一个元素. （2）①中只有一个元素时，同上或. ②中有两个元素时，，解得且.综上. （3）①时，原方程为，得符合题意； ②时，方程为一元二次方程，依题意，解得. 综上，实数的取值范围是或. 16．证明：（1）设为任意奇数，则，因为且均为整数，.由的任意性知，一切奇数属于. （2）首先我们证明如下命题： 设：，则与具有相同的奇偶性. 以下用反证法证明. 假设，则存在，使得.若与同为奇数，则（）（ ）必定为奇数，而表示偶数，矛盾；若与同为偶数，则（）（ ）必定被4整除，但表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾. 综上所述，形如的偶数不属于. （3）设，则存在，使得. = =， 又因为，均为整数， .下载本文
