数学（文科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式

球体的面积公式 

S=4πR2

球的体积公式

V=πR3

其中R表示球的半径

锥体的体积公式V=Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

柱体体积公式V=Sh

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

台体的体积公式

V=

其中S1，S2分别表示台体的上、下面积，h表示台体的高

如果事件A,B互斥 ，那么

P(A+B)=P(A)+P(B)

一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P∩（CUQ）=

A.{1，2，3，4，6}    B.{1，2，3，4，5}

C.{1，2，5}          D.{1,2}

【答案】D

【命题意图】本题主要考查了集合的并集和补集运算。

【解析】Q{3，4，5}， CUQ={1，2，6}， P∩（CUQ）={1，2}.

2. 已知i是虚数单位，则=

A 1-2i    B 2-i       C  2+i         D   1+2i 

【答案】D

【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。

【解析】.

3. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是

A.1cm3      B.2cm3    C.3cm3    D.6cm3

【答案】C

【命题意图】本题考查的是三棱锥的三视图问题，体现了对学生空间想象能力的综合考查。【解析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为.

4．设a∈R ，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平行的

A 充分不必要条件   B 必要不充分条件  C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

【答案】A

【命题意图】本题考查的知识为依托于简易逻辑的直线平行问题的考查。

【解析】当，解得或.所以，当a＝1是，两直线平行成立，因此是充分条件；当两直线平行时，或，不是必要条件，故选A.

5. 设是直线，a，β是两个不同的平面

A. 若∥a，∥β，则a∥β         B. 若∥a，⊥β，则a⊥β

C. 若a⊥β，⊥a，则⊥β         D. 若a⊥β,∥a，则⊥β

【答案】B

【命题意图】本题考查的是平面几何的基本知识，具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质。

【解析】利用排除法可得选项B是正确的，∵∥a，⊥β，则a⊥β．如选项A：∥a，∥β时，a⊥β或a∥β；选项C：若a⊥β，⊥a，∥β或；选项D：若若a⊥β,⊥a，∥β或⊥β．

6. 把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是

【答案】A

【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质，具体考查了在x轴上的伸缩变换，在x轴、y轴上的平移变化，利用特殊点法判断图像的而变换。

【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos（x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos（x-1)，利用特殊点变为，选A.

7.设a，b是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b

B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa

D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|

【答案】C

【命题意图】本题考查的是平面向量，主要考查向量加法运算，向量的共线含义，向量的垂直关系。

【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实

数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．

8. 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3   B.2   C.     D. 

【答案】B 

【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的关系.

【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则，即，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为，，.

9. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是

A.     B.    C.5   D.6

【答案】C

【命题意图】本题考查了基本不等式证明中的方法技巧。

【解析】x+3y=5xy，，

.

10. 设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数

A. 若ea+2a=eb+3b，则a＞b

B. 若ea+2a=eb+3b，则a＜b

C. 若ea-2a=eb-3b，则a＞b

D. 若ea-2a=eb-3b，则a＜b

【答案】A

【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.

【解析】若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．

                     2012年普通高等学校招生全国统一考试

                               数  学（文科）

                           非选择题部分（共100分）

注意事项：

   1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

   2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色自拟的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11. 某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.

【答案】160

【命题意图】本题考查了随机抽样中的分层抽样，也是随机抽样中惯考的形式，利用总体重的个体数比，确定样本中某一个体的样本容量。

【解析】总体中男生与女生的比例为，样本中男生人数为.

 12. 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是___________。

【答案】

【命题意图】本题主要了以正方形中某些点为背景的随机事件的概率问题。

【解析】若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为.

13. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是___________。

【答案】

【命题意图】本题主要考查了框图。

【解析】T，i关系如下图：

【答案】

【命题意图】本题主要考查线性规划的求解范围问题.只要作图正确，表示出区域，然后借助于直线平移大得到最值.

【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的四边形，但目标函数过点（0,0）时，目标函数最小，当目标函数过点时最大值为.

15.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.

【答案】-16 

【命题意图】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用.

【解析】由余弦定理，

，，两式子相加为，

，

.

16. 设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1，则=_______________。

【答案】

【命题意图】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性.

【解析】.

17. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______.

【答案】

【命题意图】本题主要考查了曲线到直线的距离问题，利用单数综合解决曲线到直线的距离转为点到直线的距离.

【解析】C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l：y＝x的距离为：，故曲线C2到直线l：y＝x的距离为．

另一方面：曲线C1：y＝x 2＋a，令，得：，曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离的点为(，)，．

三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB。

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值.

【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.

【解析】（1）bsinA=acosB，由正弦定理可得，即得，.

（2）sinC=2sinA，由正弦定理得，由余弦定理，，解得，.

19. （本题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；

（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.

【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念，通项公式以及求和公式等基础知识，同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力。

（1）由Sn=，得

当n=1时，；

当n2时， ，n∈N﹡.

由an=4log2bn＋3，得，n∈N﹡.

（2）由（1）知，n∈N﹡

所以，

，

，n∈N﹡.

20. （本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。

（1）证明：（i）EF∥A1D1；

（ii）BA1⊥平面B1C1EF；

（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。

【命题意图】本题主要以四棱锥为载体考查线线平行，线面垂直和线面角的计算，注重与平面几何的综合, 同时考查空间想象能力和推理论证能力.

（1）（i）因为， 平面ADD1 A1，所以平面ADD1 A1.

又因为平面平面ADD1 A1=，所以.所以.

（ii）因为，所以，

又因为，所以，

在矩形中，F是AA的中点，即.即

，故.

所以平面.

(2) 设与交点为H，连结.

由（1）知，所以是与平面所成的角. 在矩形中，，，得，在直角中，，，得

，所以BC与平面所成角的正弦值是.

21.（本题满分15分）已知a∈R，函数

（1）求f(x)的单调区间

（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+＞0.

【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间，并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.

【解析】（1）由题意得，

当时，恒成立，此时的单调递增区间为.

当时，，此时函数的单调递增区间为.

(2)由于，当时，.

当时，.

设，则.

则有

当时，.

故.

22. （本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C： =2px（P＞0）的准线的距离为。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。

（1）求p,t的值。

（2）求△ABP面积的最大值。

【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.

（1）由题意得，得.

（2）设，线段AB的中点坐标为

由题意得，设直线AB的斜率为k（k）.

由，得，得

所以直线的方程为，即.

由，整理得，

所以，，.从而得

，

设点P到直线AB的距离为d，则

，设ABP的面积为S，则.

由，得.

令，，则.

设，，则.

由，得，所以，故ABP的面积的最大值为.下载本文