课前预习

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式          ；

（2）完全平方公式        ．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式          ；

（2）立方差公式          ；

（3）三数和平方公式      ；

例1  计算：．

例2  已知，，求的值．

课堂练习

1．填空：

 （1）（              ）；

 （2）                  ；

  (3 )　                   ．

2．选择题：

（1）若是一个完全平方式，则等于                     （      ）

（A）         （B）         （C）       （D）

（2）不论，为何实数，的值                   （      ）

（A）总是正数                       （B）总是负数  

（C）可以是零                       （D）可以是正数也可以是负数

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例3  分解因式：

（1）x2－3x＋2；                        （2）x2＋4x－12；

（3）；             （4）．

课后练习

一、填空题：

1、把下列各式分解因式：

（1）__________________________________________________。

（2）__________________________________________________。

（3）__________________________________________________。

（4）__________________________________________________。

（5）__________________________________________________。

（6）__________________________________________________。

（7）__________________________________________________。

（8）__________________________________________________。

（9）__________________________________________________。

（10）__________________________________________________。

2、

3、若则，。

二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）

1、在多项式（1）（2）（3）（4）

           （5）中，有相同因式的是（    ）

A、只有（1）（2）          B、只有（3）（4）  

C、只有（3）（5）          D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）

2、分解因式得（    ）

A、    B、    C、    D、

3、分解因式得（    ）

A、       B、

C、       D、

4、若多项式可分解为，则、的值是（    ）

A、，    B、，    C、，    D、， 

5、若其中、为整数，则的值为（    ）

A、或    B、    C、    D、或

三、把下列各式分解因式

1、                        2、

3、                                     4、

2．提取公因式法

例4  分解因式：

      （1）            （2）    

课堂练习：

一、填空题：

1、多项式中各项的公因式是_______________。

2、__________________。

3、____________________。

4、_____________________。

5、______________________。

6、分解因式得_____________________。

7．计算=               

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）

1、…………………………………………………………    （    ）

2、……………………………………………………………    （    ）

3、……………………………………………    （    ）

4、………………………………………………………………    （    ）

3．公式法

例5  分解因式：    （1）       （2）

课堂练习

一、，，的公因式是______________________________。

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）

1、…………………………    （    ）

2、…………………………………    （    ）

3、…………………………………………………     （    ）

4、…………………………………………    （    ）

5、………………………………………………    （    ）

五、把下列各式分解

1、                             2、

3、                                 4、

4．分组分解法

例6 （1）         （2）．

课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）

（2）

5．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.

例7　把下列关于x的二次多项式分解因式：

（1）；           （2）．

课堂练习

1．选择题：

多项式的一个因式为                         （      ）

（A）     （B）     （C）     （D）

2．分解因式：

（1）x2＋6x＋8；                  （2）8a3－b3；

（3）x2－2x－1；                   （4）．

课后作业

1．分解因式：

　（1）；                        （2）； 

（3）；      　 （4）．

2．在实数范围内因式分解：

（1）；                   （2）；  

（3）；               （4）．

3．三边，，满足，试判定的形状．

4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．

第二讲  函数与方程

一、一元二次方程

1．根的判别式

课前预习

解下列方程（1）(2) (3) 

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

               x1，2＝；

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

            x1＝x2＝－；

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1  判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x2－3x＋3＝0；         （2）x2－ax－1＝0；  

（3） x2－ax＋(a－1)＝0；    （4）x2－2x＋a＝0．

2．根与系数的关系（韦达定理）

    如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．

    特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知   

   x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，

    即      p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

    所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有

    以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

例2  已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

例3   已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

例4  已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

    例5  若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

    （1）求| x1－x2|的值；  

（2）求的值；

（3）x13＋x23．

若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝（其中Δ＝b2－4ac）．

例6  若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

课堂练习

1．选择题：

（1）方程的根的情况是                         （    ）

    （A）有一个实数根                （B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根          （D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是                                                      （     ）

    （A）m＜                       （B）m＞－     

  （C）m＜，且m≠0              （D）m＞－，且m≠0      

2．填空:

（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝         ．

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是                    ．

（3）以－3和1为根的一元二次方程是                            ．

3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？

4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．

课后练习

A  组

1．选择题:

（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（   ）

  （A）－3          （B）3           （C）－2         （D）2

（2）下列四个说法：

   ①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；

④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是                                 （   ）                       

   （A）1个          （B）2个         （C）3个       （D）4个

（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（   ）

（A）0             （B）1           （C）－1        （D）0，或－1

2．填空:

（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝        ．

（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝         ．

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是

              ．

（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝       ．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

B  组

1．选择题:

若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为                                                     （    ）

  （A）1，或－1      （B）1          （C）－1       （D）0

2．填空:

（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于           ．

（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是            ．

3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．

4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：

（1）| x1－x2|和；

（2）x13＋x23．

5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值．

C  组

1．选择题：

（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于                                          （    ）

   （A）          （B）3           （C）6          （D）9

（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值为          （    ）

   （A）6            （B）4           （C）3           （D）

（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为                                                   （    ）

  （A）α＋β≥     （B）α＋β≤    （C）α＋β≥1     （D）α＋β≤1  

（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是                                                     （    ）

  （A）没有实数根                     （B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根             （D）有两个异号实数根

2．填空：

若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝    ．

3． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

（2）求使－2的值为整数的实数k的整数值；

（3）若k＝－2，，试求的值．

4．已知关于x的方程．

（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．

5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．

二、二次函数

1． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

课前预习

作图（1）(2) (3)  

问题1  函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．

问题2  函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．

（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝． 

    例1  求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

函数y＝ax2＋bx＋c图象作图要领：

（1）确定开口方向：由二次项系数a决定

（2）确定对称轴：对称轴方程为

（3）确定图象与x轴的交点情况，①若△>0则与x轴有两个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出②①若△=0则与x轴有一个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出③①若△<0则与x轴有无交点。

（4）确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）

（5）由以上各要素出草图。

课堂练习：作出以下二次函数的草图

        （1）    (2)    (3) 

例2  某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：

例3  把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值．

例4  已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值． 

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．

课堂练习

1．选择题：

（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是                   （   ）

  （A）y＝2x2                      （B）y＝2x2－4x＋2

（C）y＝2x2－1                   （D）y＝2x2－4x 

（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2                     （   ） 

（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的                    

（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的    

（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的   

（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

2．填空题

（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝     ，n＝          ．

（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝      时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝      时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝      时，函数图象经过原点．

（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向     ，对称轴为           ，顶点坐标为           ；当x＝         时，函数取最        值y＝     ；当x         时，y随着x的增大而减小．

3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．

（1）y＝x2－2x－3；              （2）y＝1＋6 x－x2．

4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：

（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

2．二次函数的三种表示方式

二次函数可以表示成以下三种形式：

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

例1  已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

例2  已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

例3  已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．

课堂练习

1．选择题:

（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是                    （    ）

  （A）0个        （B）1个         （C）2个       （D）无法确定

  （2）函数y＝－(x＋1)2＋2的顶点坐标是                           （    ）

      （A）(1，2)      （B）(1，－2)     （C）(－1，2)    （D）(－1，－2)

2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a                  (a≠0) ．

（2）二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为         ．

3．根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；            

（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x轴交于两点(1－，0)和(1＋，0)，并与y轴交于(0，－2)．

2． 二次函数的简单应用

    一、函数图象的平移变换与对称变换

    1．平移变换

    问题1  在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

    我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．

    例1 求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：

    （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；

    （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．

    2．对称变换

    问题2  在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

    我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．

    例2  求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：

    （1）直线x＝－1；

    （2）直线y＝1．

练习

选择题：

把函数y＝－(x－1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为                                                （    ）

（A）y＝ (x＋1)2＋1                 （B）y＝－(x＋1)2＋1          

   （C）y＝－(x－3)2＋4                （D）y＝－(x－3)2＋1

第三讲  三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

图2

图1

如图1 ，在三角形△ABC中，有三条边，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图2）是三角形中的三种重要线段.       

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

例1  求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.

已知   D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，

图3

求证   AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图4）

图4

例2   已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.

图5

例3  若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.

已知  O为三角形ABC的重心和内心.

求证  三角形ABC为等边三角形.

图6

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图7）

图7

例4  求证：三角形的三条高交于一点.

已知  中， AD与BE交于H点.

求证  .

过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.

练习

1．若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是_________;

2．若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.下载本文