2.甲乙两名篮球队员的轮流投篮，直至某人投中篮筐为止。今让甲先投，果甲投中的概率为，乙为。求各队员投篮次数的概率分布。
解：
对甲而言：
=1 甲（未中）乙（中）或甲（中）
……………….
=k 意味着
或者
所以
其中、2、3…..
对乙而言：
其中、2、3…..
5.设某个动物生下r个蛋的概率是p()=。若每一个蛋能发育成动物的概率是p,且各个蛋能否发育成小动物是彼此相互的。证明恰有k个后代的概率分布是具有参数为的泊松分布。
证明;
令表示恰有k个后代，k个后代是由于r个蛋孵化出来的，rk.
那么据全概率公式得
P(=k)=
=
=e
=e
=e
=e
=e
=
即函数为的泊松分布。
6.设与相互，并具有共同的几何分布
（1）证明：。
（2）求的分布。
（3）求与的联合分布。
（1）证明：
(2)
=
=Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ
其中
Ⅱ=Ⅰ
Ⅲ=
∴
=
=
（3）
即
∴
这不可能∴
故
8．任意大学生，他的生日在一年中任一天的概率均为1/365,若某一学校有730名大学生，问有4名大学生的生日为元旦的概率是多少？
解：
9．某车间有200台同一型号的车床，由于种种原因，每台车床时常需要停车，假定各台车床的停车或开动相互的，且每台车床有60%的时间开动，开动时需要消耗的电能为E.问至少要供给这个车间多少电能，才能以99.9%的概率保证这个车间不致因为供电不足而影响生产。
解：
12.设每天到达炼油厂的油船数服从＝2的泊松分布.现港口的设备在一天内只能为三艘油船服务.如果在一天内有多于三艘油船到达，超过三艘的油船必须调往其他港口.求：
（1）在一个给定的日子，必须调油船离开的概率.
（2）为90%的日子里能容许安排所有的油船，现在的设备应增至几台？（设一台设备，只能给一艘船服务.）
（3）每天最可能到达的油船数是几艘？并求其概率.
解：
设油厂的油船数为
（1）必须调油船离开的概率
（2）设设备应增至台
则应满足
查表知当＝4时,
故设备应增至4台
（3）最可能到达的油船数是2艘；
14. . 密度函数为
（1）系数a
（2）F(x) f(x)图形
（3）求P（）
解：(1)由规范性：
=2a=1
a=
（2）
F(x)求法如下F：
,
时， +
==sinx+
, F(x)=1
15.问为何值时，是一随机变量的分布函数（设当时， ）?
解：据分布函数的性质
所以，A=1
17.设具有下述联合分布函数，问与是否相互？
（2）
解：
（2）
两者不
20．设二维随机变量的密度函数为
求：（1）的边沿分布密度函数；
（2）的条件分布密度函数；
（3）;及.
解：
（1）边沿密度函数
（2）条件密度函数
对于给定X=x，
==
对于，给定Y=y，
（3）==
=
=
21.设二维随机变量的密度函数是
求，的边沿分布密度函数。
解：题目中密度函数应该指时；否则等于0.
当时，
当时， 令
= =
当时，
当
23.（1）设是上的均匀分布，求的分布函数；
（2）设是上的均匀分布，求的分布函数。
解：
设的分布函数为，的分布函数为；
（1）
时，
时，
时，
故
（2）时
时，
时，
故
25 .设随机变量具有严格单调上升连续分布函数.求随机变量的分布函数。
解：设的分布函数为，那么
由于是严格单调连续的函数，所以具有同样单调性的反函数记作。
又由于为分布函数，从而。
当时，
当时，
当时，
的分布函数为：
26.设随机变量，其中c为任意常数，而是任意的随机变量。证明：是与相互的。
证明：依题意可知：的分布函数为
设的分布函数为，则的联合分布函数
时，
时，
任何时刻有
与相互
27.对事件定义随机变量
试证：事件相互的充要条件是相互。
证明：
若相互，那么对相互；
不妨设为，下证相互；
注意到：，即不发生，，即发生，从而
由的任意性知，任意个事件之间是相互的，即事件之间相互。
相互，那么对任意的，随机事件相互，。
令，表达式中不妨设中个为1，为0，令前个为1，后个为0；则
即相互，由的任意性知，事件之间相互。
28.求证：如果F(x)是分布函数，则对任何h≠0，函数
也是分布函数。
证明：①
②
③左连续的证明：因为F(x)左连续，任给>0，存在使得当时，就有 F(x)-F(z)<.于是：
由 的单调不降性，当时，均有。即左连续。对于完全类似。
29.求证：如果随机变量，同分布：
则
(1) 与相互。
（2）与也是相互的
证明：容易知道的联合密度函数为
(1)
再考虑的联合分布，为此做变换
于是所以
所以与相互。
（2）由（1）知
考虑的联合密度函数，为此做变换
此时，所以
故
从而即与也是相互的。
证毕。
30.如果与相互，均服从N，则与相互。
证明：
令
，
则
从而可以做变换
于是
所以与的联合分布为
从而：
所以与相互。
35.设之联合密度为
试求：（1）与的一维密度；
（2）证明与不相互.
(3)求与的一维密度;
(4)证明: 与为相互.
(5)试求.
解：
（1）
（2）由于当|x|,|y|<1时，
故与不相.
(3)由于
(4)由于
故与为相互.
(5)
由于与相互，故与也相互，从而，得到
36.设相互，且具有下述分布，求的分布
（1）()服从正态分布：
=
（2）都服从二项分布：
=()m()2-m (m=0,1,2)
=)n()2-n (n=0,1,2)
(3) 内服从均匀？分布，分布
=
（4）分别为与内的均匀分布；
（5）服从N，为上的均匀分布；
（6），的密度函数分别为
（7）设随机变量，相互，在上均匀分布，有分布函数（y）。
解：（1）根据卷积公式：
即服从正态N
这里，需要牢记
（2）
即P=
（3）根据卷积公式
只有当时，。此时或者按照课本的方法讨论两个区间的关系。或者如下图
当时，
当时
当时
其他情况下，
=
（4）
类似与（3）得到：
（5）
根据卷积公式：
所以
（6）
所以
（7） 此时仅有分布函数，无法使用卷积公式。
在区间上的小区间上：
在区间之外，
从而利用微元法有：
37.设连续型随机变量与相互，分别对下面的情况求及-的分布函数：
（1）分别有密度函数
（2）均匀分布与（-a，a）内;
（3）服从N
解：(1) ,连续型，故均有密度函数。
分别求和-的密度函数。（当然也可以考虑两者的联合密度函数，
再求各自的密度函数）
对于，令 作
==
所以有
；
对于-，令 作
所以
或者
所以
综上所述，
或者
（2）、的密度函数
==
=
=
=
=
（3）=
==
==
==
==
即
39.()正态分布， ，求的分布。
解：=
=
据37题2结论
=
=
=
=
40．变量相互,分别对下面两种情况,求的分布函数；
(1) 皆服从N(0,1)分布；
(2) 皆服从(0,a)上的均匀分布。
解：
(1)
(2)
当时， =
当时，
Other，
42.设服从泊松分布，且满足
求与.
解：
由于，则=1.3
故
