大题增分专项 解析几何大题考向探究
全国卷3年考情分析
考|题|细|目|表
| 年份 | 全国Ⅰ卷 | 全国Ⅱ卷 | 全国Ⅲ卷 |
| 2019 | 直线方程、直线与抛物线的位置关系·T19 | 轨迹方程、直线与椭圆的位置关系·T21 | 直线与抛物线的位置关系·T21 |
| 2018 | 直线的方程、直线与椭圆的位置关系、证明问题·T19 | 直线的方程、直线与抛物线的位置关系、圆的方程·T19 | 直线与椭圆的位置关系、等差数列的证明·T20 |
| 2017 | 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、定点问题·T20 | 点的轨迹方程、椭圆方程、向量的数量积等·T20 | 直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程·T20 |
解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等。试题难度较大，多以压轴题出现。
解答题的热点题型有：
1．直线与圆锥曲线的位置关系。
2．圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解。
3．轨迹方程及探索性问题的求解。
考点一 求值与证明问题
【例1】 (2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|。
解 设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)。
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝。
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－。
从而－＝，得t＝－。
所以l的方程为y＝x－。
(2)由＝3可得y1＝－3y2。
由可得y2－2y＋2t＝0。
所以y1＋y2＝2。从而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3。
代入C的方程得x1＝3，x2＝。
故|AB|＝。
求值与证明问题大多联系圆锥曲线的定义、方程、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系，有时还要注意运用平面几何的知识。
【变式训练1】 (2019·福州市模拟)已知点A在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，O为坐标原点，直线l：－＝1的斜率与直线OA的斜率乘积为－。
(1)求椭圆C的方程；
(2)不经过点A的直线y＝x＋t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于M，N两点。求证：|AM|＝|AN|。
解 (1)由题意知，
kOA·kl＝－·＝－＝－。
即a2＝4b2 ①，
又＋＝1 ②，
所以联立①②，解得
＋y2＝1。
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
tx＋t2－1＝0，
所以Δ＝4－t2>0，即－2 t，x1·x2＝t2－1。 证法一：要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线AQ、AR的斜率互为相反数，即证明kAQ＋kAR＝0。 ＝0。 所以|AM|＝|AN|。 证法二：要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线AQ，AR与y轴的交点M，N连线的中点S的纵坐标为－，即AS垂直平分MN即可。 直线AQ与AR的方程分别为 lAQ：y＋(x－1)， lAR：y＋(x－1)， －， －， ， ＝－，即AS垂直平分MN。 所以|AM|＝|AN|。 考点二 最值与范围问题 ，记M的轨迹为曲线C。 (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G。 ①证明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面积的最大值。 ＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点。 (2)①证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)。 。 ，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)。 ， (x－u)。 得 (2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0 ①。 设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解， 。 。 所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形。 ， 。 ，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号。 在[2，＋∞)单调递减， 。 。 解决圆锥曲线中最值与范围问题，一般有两个思路：①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解。在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件。 【变式训练2】 (2019·江西省五校协作体联考)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋。 (1)求椭圆M的方程； (2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值。 。 ，故b2＝a2－c2＝3。 ＝1。 。 ，C(x3，y3)，D(x4，y4)。 得3x2＋4nx＋2n2－6＝0， 。 。 。 考点三 定点与定值问题 【例3】 (2019·北京高考)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)。 (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B。求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点。 解 (1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2。 所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1。 (2)抛物线C的焦点为F(0，－1)。 设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)。 得x2＋4kx－4＝0。 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4。 x。 。 。 ， ， ＋(n＋1)2 ＋(n＋1)2 ＋(n＋1)2 ＝－4＋(n＋1)2。 ＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3。 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3)。 (1)动线过定点问题的两大类型及解法 ①动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)。 ②动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点。 (2)求解定值问题的两大途径 → ②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值。 【变式训练3】 (2019·南昌市第一次模拟)已知椭圆C：＋。 (1)求C的方程； (2)设C的左、右顶点分别为A，B，若直线PA，PB分别交直线x＝2于M，N两点，过点F1作以MN为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值。 解 (1)设P(x0，y0)，椭圆的半焦距为c。 ·2c·b＝bc， 。 ，a2＝b2＋c2， ，c＝2， ＝1。 (2)由(1)可知A(－4,0)，B(4,0)，F1(－2,0)。 由题可知，x0≠2，且x0≠±4。 设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2， 则直线PA的方程为y＝k1(x＋4)， 令x＝2得y＝6k1，故M(2,6k1)。 直线PB的方程为y＝k2(x－4)， 令x＝2得y＝－2k2，故N(2，－2k2)。 记以MN为直径的圆为圆D，则D(2,3k1－k2)。 如图，过点F1作圆D的一条切线，切点为T，连接F1D，DT。 则|F1T|2＝|F1D|2－|DT|2， 所以|F1T|2＝16＋(3k1－k2)2－(3k1＋k2)2＝16－12k1k2， ， ， －16)， ， ＝25， 所以|F1T|＝5。 故切线长为定值5。 【变式训练4】 (2019·石家庄教学质量检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为。 (1)求椭圆C的方程。 ，0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。 ＝，＋＝1， 又a2－b2＝c2，所以a2＝4，b2＝1。 ＋y2＝1。 ，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称。理由如下： my－1＝0。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t,0)(依题意t≠x1，t≠x2)。 由根与系数的关系可得， 。 直线QA与直线QB恰关于x轴对称，则直线QA与直线QB的斜率互为相反数， ＝0，即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0。 ＝0， －my1－t)＝0， －t)(y1＋y2)－2my1y2＝0， ＝0， t)＝0， 也符合题意。 ，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称。 重点增分专练(十一) 解析几何大题考向探究 第一次作业 基础通关训练 1．(2019·贵阳市监测考试)已知椭圆C：＋。 (1)求椭圆C的方程； (2)设经过点(2，－1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G，H两点，若k1，k2分别是直线MG，MH的斜率，求k1＋k2的值。 ＝0，得b＝c， 将x＝c代入＋ ， ， ，b＝1， ＋y2＝1。 ＋y2＝1与点(2，－1)， 设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)， 即y＝kx－2k－1， ＋y2＝1中，得 (1＋2k2)x2－4k(2k＋1)x＋8k2＋8k＝0， 由题意知Δ＝－16k(k＋2)>0，得－2 ， ＝2k－(2k＋1)＝－1， 所以k1＋k2＝－1。 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B。 (1)证明：直线AB过定点； 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积。 ＝2y1。 ＝x1。 整理得2tx1－2y1＋1＝0。 设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0。 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0。 。 。 可得x2－2tx－1＝0。 于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1， y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1， ＝2(t2＋1)。 。 因此，四边形ADBE的面积 。 。 与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0。 解得t＝0或t＝±1。 。 。 3．(2019·长沙市统考)已知椭圆C：＋。 (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值。 。 ，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8， ＝1。 (2)由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3。 直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)， ＝(4,3k＋m)， ＝－8＋m2－9k2。 得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0。 因为直线l与椭圆C相切，所以 Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0， 化简得m2＝9k2＋8。 ＝－8＋m2－9k2＝0， ， 。 ，再验证一般性结论) 4．(2019·安徽质检)已知椭圆C：＋)在椭圆C上。 (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)过点F的直线交椭圆于A，B两点(直线不与x轴垂直)，已知点A与点P关于x轴对称，证明：直线PB恒过定点，并求出此定点坐标。 。 (2)设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，－y1)， 可设PB的直线方程为y＝kx＋m， 整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0， ， ， 整理得，2kx1x2＋(m－2k)(x1＋x2)－4m＝0， －4m＝0，解得m＝－4k， 所以PB的直线方程为y＝kx－4k＝k(x－4)，直线PB恒过定点(4,0)。 ，动点P的轨迹为E。 (1)求E的方程； |，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标。 解 (1)设点M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知N(x0,0)， (0，－y0)， y， ＝4， ＝1， ＝1。 (2)由(1)可知D(－2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， Δ＝(8mk)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝16(12k2－3m2＋9)>0，即3＋4k2－m2>0， 。 。 |， ＝0， 即(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0， ＝0， 所以7m2－16mk＋4k2＝0， k，且均满足3＋4k2－m2>0。 当m＝2k时，l的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)， 直线恒过点(－2,0)，与已知矛盾； 。 。 第二次作业 能力增分加练 1．(2019·天津高考)设椭圆＋。 (1)求椭圆的方程； (2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上。若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率。 ，b＝2，c＝1。 ＝1。 。 2．(2019·重庆市七校联考)已知A，B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AB|＝a(a>0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛物线y2＝2px(p>0)在第一象限分别交于D，C两点。 (1)若a＝p，点A与抛物线y2＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率； 的取值范围。 ， －1。 (2)设直线CD的方程为y＝kx＋b(k≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)， 得ky2－2py＋2pb＝0， ， ， ， ab。 ， ， <。 3．(2019·洛阳市第二次联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2。 (1)求椭圆C的标准方程； ，求证：点(m，k)在定圆上。 ＝，2b＝2，a2＝b2＋c2， ＋y2＝1。 消去y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2<4k2＋1 ①。 ， ， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2， ，即4y1y2＝5x1x2， 所以4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2， ＋4m2＝0， ②。 ， 上。(没求k的范围不扣分) 4．(2019·河北衡中联考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋。 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l过点(1,0)且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当∠OPB最大时，求直线l的方程。 ＋y2＝1。 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－1)(k<0)。 消去y，得(9k2＋1)x2－18k2x＋9k2－9＝0， 。 ， 。 。 时，等号成立，此时∠OPB最大。 ，此时直线l的方程为x＋3y－1＝0。 5．(2019·石家庄市一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|＝2x0。 (1)求抛物线C的方程； )的两条切线PA，PB，切线PA，PB与抛物线C的另一交点分别为A，B，线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范围。 ，由题意得， 所以抛物线C的方程为y2＝4x。 －8k1＋r2－4＝0。 －8k2＋r2－4＝0。 ，k1k2＝1。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 得，k1y2－4y－4k1＋8＝0， ， －2＝4k2－2， 同理可得y2＝4k1－2。 )－2(k1＋k2)＋1 ＝2(k1＋k2)2－2(k1＋k2)－3， ∈[－4，－2)， >－2，所以9
