(山东卷)

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013山东，理1)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)．

A．2＋i      B．2－I     C．5＋i      D．5－i

2．(2013山东，理2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)．

A．1      B．3      C．5      D．9

3．(2013山东，理3)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝，则f(－1)＝(　　)．

A．－2      B．0      C．1      D．2

4．(2013山东，理4)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)．

A．      B．      C．      D． 

5．(2013山东，理5)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)．

A．      B．      C．0      D． 

6．(2013山东，理6)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　)．

A．2      B．1      C．      D． 

7．(2013山东，理7)给定两个命题p，q，若p是q的必要而不充分条件，则p是q的(　　)．

A．充分而不必要条件      B．必要而不充分条件

C．充要条件              D．既不充分也不必要条件

8．(2013山东，理8)函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为(　　)．

9．(2013山东，理9)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)．

A．2x＋y－3＝0      B．2x－y－3＝0      C．4x－y－3＝0      D．4x＋y－3＝0

10．(2013山东，理10)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)．

A．243      B．252      C．261      D．279

11．(2013山东，理11)抛物线C1：y＝(p＞0)的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)．

A．      B．      C．      D． 

12．(2013山东，理12)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，的最大值为(　　)．

A．0      B．1      C．      D．3

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．(2013山东，理13)执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为__________．

14．(2013山东，理14)在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为__________．

15．(2013山东，理15)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为__________．

16．(2013山东，理16)定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：

①若a＞0，b＞0，则ln＋(ab)＝bln＋a；

②若a＞0，b＞0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；

③若a＞0，b＞0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；

④若a＞0，b＞0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.

其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)

三、解答题：本大题共6小题，共74分．

17．(2013山东，理17)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.

(1)求a，c的值；

(2)求sin(A－B)的值．

18．(2013山东，理18)(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.

(1)求证：AB∥GH；

(2)求二面角D－GH－E的余弦值．

19．(2013山东，理19)(本小题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互．

(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；

(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．

20．(2013山东，理20)(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且(λ为常数)．令cn＝b2n(n∈N*)．求数列{cn}的前n项和Rn.

21．(2013山东，理21)(本小题满分13分)设函数f(x)＝＋c(e＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈R)．

(1)求f(x)的单调区间、最大值；

(2)讨论关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数．

22．(2013山东，理22)(本小题满分13分)椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2.若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(山东卷)

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．

答案：D

解析：由题意得z－3＝＝2＋i，所以z＝5＋i.故＝5－i，应选D.

2．

答案：C

解析：当x，y取相同的数时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；其他则重复．故集合B中有0，－1，－2,1,2，共5个元素，应选C.

3．

答案：A

解析：因为f(x)是奇函数，故f(－1)＝－f(1)＝＝－2，应选A.

4． 

答案：B

解析：如图所示，由棱柱体积为，底面正三角形的边长为，可求得棱柱的高为.设P在平面ABC上射影为O，则可求得AO长为1，故AP长为故∠PAO＝，即PA与平面ABC所成的角为.

5． 

答案：B

解析：函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后变为函数＝的图象，又为偶函数，故，k∈Z，∴，k∈Z.

若k＝0，则.故选B.

6． 

答案：C

解析：不等式组表示的区域如图阴影部分所示，结合斜率变化规律，当M位于C点时OM斜率最小，且为，故选C.

7．

答案：A

解析：由题意：q⇒p， pq，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于所以p是q的充分而不必要条件．故选A.

8． 

答案：D

解析：因f(－x)＝－x·cos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x＋sin x)＝－f(x)，故该函数为奇函数，排除B，又x∈，y＞0，排除C，而x＝π时，y＝－π，排除A，故选D.

9．

答案：A

解析：该切线方程为y＝k(x－3)＋1，即kx－y－3k＋1＝0，由圆心到直线距离为＝1，得k＝0或，切线方程分别与圆方程联立，求得切点坐标分别为(1,1)，，故所求直线的方程为2x＋y－3＝0.故选A.

10．

答案：B

解析：构成所有的三位数的个数为＝900，而无重复数字的三位数的个数为＝8，故所求个数为900－8＝252，应选B.

11． 

答案：D

解析：设M，，故在M点处的切线的斜率为，故M.由题意又可知抛物线的焦点为，双曲线右焦点为(2,0)，且，，(2,0)三点共线，可求得p＝，故选D.

12．

答案：B

解析：由x2－3xy＋4y2－z＝0得＝1≥，

即≤1，当且仅当x2＝4y2时成立，又x，y为正实数，故x＝2y.此时将x＝2y代入x2－3xy＋4y2－z＝0得z＝2y2，所以，

当，即y＝1时，取得最大值为1，故选B.

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．答案：3

解析：第1次运行将F0＋F1赋值给F1，即将3赋值给F1，然后将F1－F0赋值给F0，即将3－1＝2赋值给F0，n增加1变成2，此时比ε大，故循环，新F1为2＋3＝5，新F0为5－2＝3，n增加1变成3，此时≤ε，故退出循环，输出n＝3.

14．答案： 

解析：设y＝|x＋1|－|x－2|＝利用函数图象(图略)可知|x＋1|－|x－2|≥1的解集为[1，＋∞)．而在[－3,3]上满足不等式的x的取值范围为[1,3]，故所求概率为.

15．答案： 

解析：∵＝λ＋，⊥，又＝－，∴(－)·(＋λ)＝0.∴2＋λ·－·－λ2＝0，即4＋(λ－1)×3×2×－9λ＝0，即7－12λ＝0，∴λ＝.

16．

答案：①③④

三、解答题：本大题共6小题，共74分．

17．

解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，

又b＝2，a＋c＝6，cos B＝，

所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.

(2)在△ABC中，sin B＝.

由正弦定理得sin A＝.

因为a＝c，所以A为锐角．

所以cos A＝.

因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝.

18．

(1)证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，

所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC.

又EF平面PCD，DC平面PCD，

所以EF∥平面PCD.

又EF平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，

所以EF∥GH.

又EF∥AB，所以AB∥GH.

(2)解法一：在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，

所以∠ABQ＝90°，即AB⊥BQ.

因为PB⊥平面ABQ，

所以AB⊥PB.

又BP∩BQ＝B，

所以AB⊥平面PBQ.

由(1)知AB∥GH，所以GH⊥平面PBQ.

又FH平面PBQ，所以GH⊥FH.

同理可得GH⊥HC，

所以∠FHC为二面角D－GH－E的平面角．

设BA＝BQ＝BP＝2，连接FC，

在Rt△FBC中，由勾股定理得FC＝，

在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝.

又H为△PBQ的重心，

所以HC＝.

同理FH＝.

在△FHC中，由余弦定理得cos∠FHC＝.

故二面角D－GH－E的余弦值为.

解法二：在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，

所以∠ABQ＝90°.

又PB⊥平面ABQ，

所以BA，BQ，BP两两垂直．

以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设BA＝BQ＝BP＝2，

则E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)．

所以＝(－1,2，－1)，＝(0,2，－1)，

＝(－1，－1,2)，＝(0，－1,2)．

设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，

由m·＝0，m·＝0，

得

取y1＝1，得m＝(0,1,2)．

设平面PDC的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，

由n·＝0，n·＝0，

得

取z2＝1，得n＝(0,2,1)．

所以cos〈m，n〉＝.

因为二面角D－GH－E为钝角，

所以二面角D－GH－E的余弦值为.

19．

解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，

由题意，各局比赛结果相互，

故P(A1)＝，

P(A2)＝，

P(A3)＝.

所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.

(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，

由题意，各局比赛结果相互，

所以P(A4)＝.

由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，

根据事件的互斥性得

P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，

又P(X＝1)＝P(A3)＝，

P(X＝2)＝P(A4)＝，

P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.

故X的分布列为

20．

解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得

解得a1＝1，d＝2.

因此an＝2n－1，n∈N*.

(2)由题意知，Tn＝，

所以n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝.

故cn＝b2n＝＝，n∈N*.

所以Rn＝0×0＋1×1＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)×n－1，

则Rn＝0×1＋1×2＋2×3＋…＋(n－2)×n－1＋(n－1)×n，

两式相减得

Rn＝1＋2＋3＋…＋n－1－(n－1)×n

＝

＝，

整理得Rn＝，

所以数列{cn}的前n项和Rn＝.

21．

解：(1)f′(x)＝(1－2x)e－2x，

由f′(x)＝0，解得x＝.

当x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x＞时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．

所以，函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，

最大值为.

(2)令g(x)＝|ln x|－f(x)＝|ln x|－xe－2x－c，x∈(0，＋∞)．

①当x∈(1，＋∞)时，ln x＞0，则g(x)＝ln x－xe－2x－c，

所以g′(x)＝.

因为2x－1＞0，＞0，

所以g′(x)＞0.

因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增．

②当x∈(0,1)时，ln x＜0，则g(x)＝－ln x－xe－2x－c.

所以g′(x)＝.

因为e2x∈(1，e2)，e2x＞1＞x＞0，

所以＜－1.又2x－1＜1，

所以＋2x－1＜0，即g′(x)＜0.

因此g(x)在(0,1)上单调递减．

综合①②可知，当x∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)＝－e－2－c.

当g(1)＝－e－2－c＞0，即c＜－e－2时，g(x)没有零点，

故关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为0；

当g(1)＝－e－2－c＝0，即c＝－e－2时，g(x)只有一个零点，

故关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为1；

当g(1)＝－e－2－c＜0，即c＞－e－2时，

当x∈(1，＋∞)时，由(1)知

g(x)＝ln x－xe－2x－c≥＞ln x－1－c，

要使g(x)＞0，只需使ln x－1－c＞0，即x∈(e1＋c，＋∞)；

当x∈(0,1)时，由(1)知

g(x)＝－ln x－xe－2x－c≥＞－ln x－1－c，

要使g(x)＞0，只需－ln x－1－c＞0，

即x∈(0，e－1－c)；

所以c＞－e－2时，g(x)有两个零点，

故关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为2.

综上所述，

当c＜－e－2时，关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为0；

当c＝－e－2时，关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为1；

当c＞－e－2时，关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数为2.

22．

(1)解：由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程，

得，

由题意知，即a＝2b2.

又，所以a＝2，b＝1.

所以椭圆C的方程为.

(2)解法一：设P(x0，y0)(y0≠0)．

又F1(，0)，F2(，0)，

所以直线PF1，PF2的方程分别为

lPF1：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，

lPF2：y0x－(x0－)y－y0＝0.

由题意知＝.

由于点P在椭圆上，

所以，

所以.

因为＜m＜，－2＜x0＜2，

可得.

所以m＝.

因此.

解法二：设P(x0，y0)．

当0≤x0＜2时，

①当时，直线PF2的斜率不存在，易知P或P.

若P，则直线PF1的方程为.

由题意得，

因为＜m＜，

所以.

若P，同理可得.

②当x0≠时，

设直线PF1，PF2的方程分别为y＝k1(x＋)，y＝k2(x－)．

由题意知，

所以.

因为，

并且k1＝，k2＝，

所以

＝，

即.

因为为＜m＜，0≤x0＜2且x0≠，

所以.

整理得m＝，

故0≤m＜且m≠.

综合①②可得0≤m＜.

当－2＜x0＜0时，同理可得＜m＜0.

综上所述，m的取值范围是.

(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．

联立

整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(－2kx0y0＋－1)＝0.

由题意Δ＝0，

即＋2x0y0k＋1－＝0.

又，

所以＋8x0y0k＋＝0，

故k＝.

由(2)知，

所以

＝，

因此为定值，这个定值为－8.下载本文