教学目标

本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.

本讲力求实现的一个核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，即所谓的整数唯一分解定理，教师可以在课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生做一个找规律式的不完全归纳，让学生自己初步领悟“原来任何一个数字都可以表示为的结构”

知识点拨

一、约数的概念与最大公约数

0被排除在约数与倍数之外

1． 求最大公约数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．

例如：，，所以；

②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：，所以；

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．

例如，求600和1515的最大公约数：；；；；；所以1515和600的最大公约数是15．

2． 最大公约数的性质

①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以．

3． 求一组分数的最大公约数

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求．

二、倍数的概念与最小公倍数

1. 求最小公倍数的方法

①分解质因数的方法；

例如：，，所以；

②短除法求最小公倍数；

例如： ，所以；

③．

2. 最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．

3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤

先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公约数；即为所求．例如： 

注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如： 

三、最大公约数与最小公倍数的常用性质

1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果为、的最大公约数，且，，那么互质，所以、的最小公倍数为，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数．

2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即，此性质比较简单，学生比较容易掌握。

3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数

例如：，210就是567的最小公倍数

b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍

例如：，而6,7,8的最小公倍数为

性质⑶不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比它们的乘积大”。

四、求约数个数与所有约数的和

1． 求任一整数约数的个数

一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

如:1400严格分解质因数之后为，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)

约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。

2． 求任一整数的所有约数的和

一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。

如：，所以21000所有约数的和为

此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。

例题精讲

模块一、约数与倍数、最大公约数与最小公倍数基本概念

【例 1】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？

【巩固】一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？ 

【例 2】有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？ 

【巩固】把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？ 

【巩固】教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？ 

【例 3】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

【巩固】用这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数．

【巩固】用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是___________．

【例 4】两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．

【巩固】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？

【例 5】(西城区13中入学试题)一次考试，参加的学生中有得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？

【巩固】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少? 

【巩固】一次考试，参加的学生中有得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有多少人？

【例 6】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？ 

【巩固】加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件。要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人?（假设这三道工序可以同时进行）

【例 7】大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米．由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印．求圆形花圃的周长． 

【巩固】甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？ 

【巩固】3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长千米，中圈跑道长千米，外圈跑道长千米.甲每小时跑千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米.问他们同时出发，几小时后，3人第一次同时回到出发点? 

【巩固】有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米．已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可以首次相聚？ 

【例 8】已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数． 

【巩固】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？ 

【巩固】已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数． 

【巩固】两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数． 

模块二、最大公约数与最小公倍数性质的综合应用

【例 9】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少? 

【巩固】已知两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知有12个约数，有10个约数，求与的和． 

【例 10】甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是.乙数是_____.

【巩固】甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？ 

【巩固】马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是______.

【例 11】如图，鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A、B开始向另一端挖洞。老鼠对鼹鼠说：“你挖完后，我再挖。”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少个洞？ 

【巩固】有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？（★★）

【巩固】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

【例 12】已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是多少？ 

【巩固】已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数．

【例 13】（2008第四届“IMC国际数学邀请赛”（新加坡）六年级复赛）如图，A、B、C是三个顺次咬和的齿轮，当A转4圈时，B恰好转3圈：当B转4圈时，C恰好转5圈，则A、B、C的齿数的最小数分别是多少？      

【例 14】求满足条件的a、b的值(a、b都是四位数)． 

【例 15】为自然数，且，、……、与690都有大于l的公约数．的最小值为多少？ 

【例 16】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？ 

【巩固】如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍．现有一个整数n，除掉它的约数1和n外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？ 

【例 17】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？ 

【巩固】恰有8个约数的两位数有________个． 

【巩固】在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？ 

【巩固】能被2145整除且恰有2145个约数的数有          个． 

【巩固】能被210整除且恰有210个约数的数有         个． 

【巩固】(2008年仁华考题)1001的倍数中，共有      个数恰有1001个约数． 

【例 18】已知偶数A不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求4A的约数的个数. 

【巩固】自然数N有45个正约数。N的最小值为           。

【例 19】(2008年101中学考题)已知A数有7个约数，B数有12个约数，且A、B的最小公倍数，则          ． 

【巩固】如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？ 

【例 20】设A共有9个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？ 

【例 21】已知自然数A、B满足以下2个性质：⑴A、B不互质   ⑵A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。那么A+B的最小值是多少？

【巩固】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？ 

【巩固】10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？ 

【巩固】有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693，这两个自然数的差是          ． 

【例 22】a>b>c是3个整数。a，b，c的最大公约数是15；a，b的最大公约数是75；a，b的最小公倍数是450；b，c的最小公倍数是1050。那么c是多少? 下载本文