摘要：对数学和图形进行描述和分析的工具很多，但能用良好的数学性质把一些复杂的现象（例如，同步、并发、分布、冲突、资源共享等）描述的直观、生动形象的工具很少，而Petri网就具有这些优点。在分布式系统、信息系统、离散事件系统等领域，都可以利用Petri网对离散事件动态系统建模、规范分析和设计，而且非常好。Petri网有很多分析方法，文章就作简要概述。

关键词：Petri网；Petri网语言；可达性；不变量；死锁

Petri网是一种计算模型，也是一种数学模型，最先是由德国的C.A.Petri教授提出来的，之后，得到了深入的研究，对于异步并发系统的描述和模拟，能用非常友好的图形表示出来。

友好的图形表示只是Petri网得到广泛应用的一个原因，更主要的原因是它的分析方法非常完备，而且这些方法对于分析和模拟系统的行为非常有效。下面就简述一下其丰富的分析方法。

1Petri网语言

Petri网语言，是用来解决一个网系统中由于变迁而引发的序列问题。这种通过变迁引发的序列，可以控制事件发生的顺序，从而对资源进行合理的配置和有效地调度。最初Petri网语言的目的是利用这种变迁引发的序列来分析系统的行为，并通过其语言来进行计算和模拟，对于系统的设计能有效地进行控制和改进。随着Petri网语言的发展，它在理论和应用方面都得到很好的应用，成为了Petri网的重要组成部分。

2可达树

Petri网是否可达如何判定，可以在一个网系统中设置一个标识，根据这个标识是否能够从初始标识可达来判定Petri网的可达性。Petri网的很多问题都是通过可达性问题来进行分析的。判定Petri网的可达性很难，但其可达性问题是可以判定的。如何去判定？有很多方法，基其中之一是基于可达树或可覆盖树。如果Petri网有界，那么可达树的节点就有限，其网系统的可达性就能够分析的非常准确。如果Petri网无界，可达树的节点就无限，所以这样的可达树就没办法构造出来。如果节点有限就可以判定，那么可构造一个可覆盖树，这个可覆盖树的节点是有限的，如何构造，可以在可达树中引入一个无界符号来解决。但是这样的话一些不可达的标识也有可能出现在可覆盖树中，所以这时候可达性也解决不了。所以，一般都用有界的Petri网来模拟现实系统。所以，系统的行为可以根据可达树来分析。

3状态方程

用一个矩阵来表示Petri网结构，用一个向量来表示Petri网的标识，当然这个向量必须是非负整数。这样的话，就可以用线性代数的方法即状态方程的方法来分析Petri网的性质。如果Petri网的标识是可达的，那么它肯定满足状态方程。反过来，如果Petri网中的标识满足状态方程，但它不一定可达。造成这种情况出现的原因是“先借后还”，对于一些特殊的Petri网，其可达性与状态方程的可满足性等价，这样的话，其可达性就可以通过解方程来判定。

4基于Petri网结构性质的分析方法

不管是状态方程还是可达树，都关系到Petri网的初始标识，但也有可能遇到与初始标识无关的，但与网的结构有关的性质，所以网系统的一些性质可以通过T-不变量、可重复向量、死锁等方法来解决。

①T-不变量。T-不变量反映的是网的这样一种性质：与这个T-不变量所对应的变迁序列引发之后，并不会改变每个库所中的托肯的数目。也就是说这组变迁引发前后的标识一样。这样，这组变迁序列按照原来的次序可重复、无限次地引发，因此，T-不变量与系统的活性有着紧密的联系。T-不变量在通信系统的活性判定及通信协议的验证上有着很好的应用。利用T-不变量可得出一个很漂亮的结论：根据规则与已知条件可推出某个结论，则Petri网中就存在一个相应的T-不变量，反之亦然。现在大家关注的一个问题是关于T-不变量的求解。其实。一个T-不变量就是一个平凡的整数系数线性方程组的解。然而，这个解要求是非负整数解（全零向量除外），这就给解方程组增加了很大的麻烦。求解算法已经存在一些。但比较经典的当属FM算法。此算法简短，容易实现，是基于矩阵的初等变换，可以求出一组T-不变量。而一个网的任一T-不变量都可由这组T-不变量非负有理数系数线性表出。另外一些方法，也主要是基于FM 算法。

②可重复向量。可重复向量是Petri网中的一个重要的结构性质之一，利用它可以表示这样的一组变迁，即当这组变迁引发后每个库所中的托肯数不减少的情况。所以这种方法可以用来判定网是有界还是无界的。活性的判定也可利用可重复向量作为一个必要条件。前面介绍的T-不变量也是一种可重复向量，只不过具有特殊性。可重复向量是一个不等式方程组的解，这个不等式方程要求是整数系数且具有线性，所以这个解也必须是非负整数解。

③死锁(siphon)。死锁指的是某组库所的所有输入变迁都是它的输出变迁。这种结构与网的活性联系比较紧密。由此可见，在检测系统的活性及预防时死锁起着非常重要的作用。

利用死锁来分析Petri网，首先要找出此网的死锁。目前已经存在一些求解算法。最直接的就是枚举判断，然而这种方法的时间与空间复杂度都是指数级的。因此，许多学者就去研究其他一些方法：基于不等式、逻辑方程、代数方法、结构特性、标号关联矩阵等。还有其他一些方法，这些方法为死锁在Petri网分析中的应用提供了保障。

P-不变量与T-不变量是一对对偶的概念。陷阱(trap)与死锁也是一对对偶的概念。它们在Petri网的分析中也有着一定的应用，特别是经常利用死锁与陷阱相结合来分析Petri网的活性。利用求解T-不变量与死锁的方法，可相应地去求解P-不变量与陷阱。

5其他分析方法

另外的一些分析方法。像：网进程、网的分解与合成等，也经常被用到，也得到了一定的研究，在此不再叙述。

6结语

综上所述，Petri网的分析方法非常丰富，并且各有所长，这为Petri网的广泛应用提供了有力的支持。

参考文献：

[1] J.Peterson著.吴哲辉译.Petri网理论与系统模拟[M].徐州:

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[2] 蒋昌俊.离散事件动态系统的PN机理论[M].北京:科学出

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[3] 蒋昌俊.Petri网的行为理论及其应用[M].北京:高等教育出

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[4] 吴哲辉.Petri网导论[M].北京:机械工业出版社,2006.

[5] 表崇义.Petri网原理及应用[M].北京:电子工业出版社,

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[6] 昊哲辉.有界Petri网的活性与公平行的分析与实现[J].计

 算机学报,19,(7).下载本文