教学内容：
了解初中数学和高中数学衔接和高中阶段必备的初中知识技能：
数和式的运算、因式分解与配方法、一元二次方程与韦达定理、二元二次方程组、二次函数的最值问题、和不等式。
重点、难点：
了解初中数学与高中数学的区别；理解、掌握高中阶段必备的初中知识技能。
教学具体内容：
一、高中数学与初中数学的简单对比：
高中数学内容部分是在初中数学的基础上提高要求，努力揭示数学的本质，如函数是建立在集合的基础上进一步的学习，更加抽象；并增加了一些内容，如集合、立体几何、向量、平面解析几何、导数、微积分与定积分等等。从内容的量上，高中阶段比初中有长足增加；内容难度和思维层次当然更进一层。
二、高中阶段必备的初中知识技能
（一）数和式的运算：乘法公式、根式和分式
乘法公式: 【公式1】
【公式2】(立方和公式)
【公式3】(立方差公式)
【例1】已知，求的值．
解：
原式=
说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．
练习1、设，求的值．
解：
2、化简
解：原式=
（二）因式分解与配方法
因式分解的方法：公式法(立方和、立方差公式)、分组分解法、十字相乘法和其他方法：配方法和拆、添项法。
【例2】分解因式
解：
说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验。还可用十字相乘法。
练习3、分解因式
解：
（三）一元二次方程与韦达定理
1、一元二次方程的实数根个数的判断式和求根公式
(1) 当时，方程有两个不相等的实数根：；
(2) 当时，方程有两个相等的实数根：
(3) 当时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
2、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：由十六世纪的法国数学家韦达发现。
定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：
【例3】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．
(1) 方程两实根的积为5； 课后思考1：(2) 方程的两实根满足．
分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论．
解：(1) ∵方程两实根的积为5
∴
所以，当时，方程两实根的积为5．
(2) 由得知：
①当时，，所以方程有两相等实数根，故；
②当时，，由于
，故不合题意，舍去．
综上可得，时，方程的两实根满足．
说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．
练习4、若是方程的两个根，试求下列各式的值：
(1)； (2)； (3)； (4)．
分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．
解：由题意，根据根与系数的关系得：
(1)
(2)
(3)
(4)
（四）二元二次方程组
【例4】解方程组
分析：注意到两个方程都有项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．
解：(1)得：
代入(1)得：．
分别代入(3)得：．
∴ 原方程组的解是：．
说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解．
练习5、解方程组
分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得，代入方程(2)消去．
解：由(1)得： (3)
将(3)代入(2)得：，解得：
把代入(3)得：；把代入(3)得：．
∴原方程组的解是：．
（五）二次函数的最值问题
【例6】当时，求函数的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值．
解：作出函数的图象．当时，，当时，．
练习6、当时，求函数的最大值和最小值．
解：作出函数的图象．当时，，当时，．
课后思考2、当时，求函数的最小值(其中为常数)．
分析：由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数的对称轴为．画出其草图．
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即时： 当时，；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即时：
当时，；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：
当时，．
综上所述：
（六）不等式：一元一次不等式、一元二次不等式的、简单分式不等式、含绝对值号不等式的解法
【例7】（1）求关于的不等式的解．
（2） ；（3）解不等式；（4）。
解：（1）原不等式可化为：
(1) 当时，，不等式的解为；
(2) 当时，．
①时，不等式的解为；
②时，不等式的解为；
③时，不等式的解为全体实数．
(3) 当时，不等式无解．
综上所述：当或时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为全体实数；当时，不等式无解．
（2）不等式可化为 ∴ 不等式的解是
（3）解：原不等式可化为：
说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．
(2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：
课堂总结：
一、要求了解高中数学与初中数学的简单对比；
二、要求理解和掌握高中阶段必备的初中知识技能。下载本文
