| 题组一 | 正、余弦定理的简单应用 |
A．2 B．4＋2 C．4－2 D.－
解析：如图所示．
在△ABC中，由正弦定理得
=4，
∴b=2.
答案：A
2．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．
解析：由正弦定理得＝.
即＝.∴＝2.
∵△ABC是锐角三角形，
∴0＜A＜，0＜2A＜，0＜π－3A＜，解得＜A＜.[来源:学科网]
由AC＝2cosA得AC的取值范围为(，)．
答案：2 (，)
3．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.
解：由余弦定理得[来源:学科网ZXXK]
a2－c2＝b2－2bccosA.
又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.①
又sinAcosC＝3cosAsinC，
sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，
sin(A＋C)＝4cosAsinC，
sinB＝4sinCcosA.
由正弦定理得sinB＝sinC，
故b＝4ccosA.②
由①、②解得b＝4.[来源:学。科。网]
| 题组二 | 利用正、余弦定理判断三角形的形状 |
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形[来源:学科网]
D．等腰直角三角形
解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，
∴＝，
∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
答案：B
5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)．
由2sinAcosB＝sinC，
得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.
又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B.
所以△ABC是等腰三角形．
法二：利用正弦定理和余弦定理
2sinAcosB＝sinC可化为[来源:学科网]
2a·＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，
即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形．[来源:Z_xx_k.Com]
答案：B
| 题组三 | 三角形面积公式的应用 |
A. B. C.或 D.或
解析：由正弦定理知＝，∴sinC＝＝，
∴C＝或，A＝或，∴S＝或.
答案：D[来源:学科网]
7．在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝ ( )
A. B. C. D.
解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA),16(1－cosA)2＋cos2A＝1，∴cosA＝.
答案：B
8．(2009·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若c＝1，求a的值．[来源:Z#xx#k.Com]
解：(1)因为cos＝，
所以cosA＝2cos2－1＝，sinA＝.
又由·＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5.
因此S△ABC＝bcsinA＝2.
(2)由(1)知，bc＝5，又c＝1，所以b＝5，
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a＝2.
| 题组四 | 正、余弦定理的综合应用 |
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：依题意及面积公式S＝bcsinA，
得10＝bcsin60°，得bc＝40.
又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，[来源:学科网ZXXK]
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°
＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.
答案：C
10．(文)在三角形ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为 ( )
A．60° B．75° C．90° D．115°
解析：不妨设a为最大边．由题意，
＝＝，
即＝，
∴＝，
(3－)sinA＝(3＋)cosA，
∴tanA＝2＋，∴A＝75°.
答案：B
(理)锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是 ( )
A．(1,2) B．(1，) C．(，2) D．(，)
解析：∵△ABC为锐角三角形，且A＝2B，
∴∴＜B＜，
∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB，
＝＝2cosB∈(，)．
答案：D
11．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.
解析：∵m⊥n，∴ cosA－sinA＝0，
∴tanA＝，∴A＝.
∵acosB＋bcosA＝csinC，
∴sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，
∴sin(A＋B)＝sin2C，∴sinC＝sin2C，∵sinC≠0，∴sinC＝1.
∴C＝，∴B＝.
答案：
12．(文)(2010·长郡模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＜C＜且＝
(1)判断△ABC的性状；
(2)若|＋|＝2，求·的取值范围．
解：(1)由＝及正弦定理得sinB＝sin2C，
∴B＝2C，且B＋2C＝π，
若B＝2C，＜C＜，
∴π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；
∴B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．
(2)∵|＋|＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4，
∴cosB＝(∵a＝c)，
而cosB＝－cos2C，＜C＜，
∴＜cosB＜1，
∴1＜a2＜，
又·＝accosB＝2－a2，∴·∈(，1)．
(理)(2010·广州模拟)在△ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角．设m＝(cos，sin)，n＝(cos，－sin)，m，n的夹角为.
(1)求C的大小；
(2)已知c＝，三角形的面积S＝，求a＋b的值．
解：(1)m·n＝cos2－sin2＝cosC，
又m·n＝|m||n|cos＝，
故cosC＝，∵0＜C＜π，∴C＝.
(2)S＝absinC＝absin＝ab，
又已知S＝，故ab＝，∴ab＝6.
∵c2＝a2＋b2－2abcosC，c＝，
∴＝a2＋b2－2ab×＝(a＋b)2－3ab.
∴(a＋b)2＝＋3ab＝＋18＝，
∴a＋b＝.下载本文
