一、计算题（每小题12分，满分60分）
1．求
解 原积分=
=
2．求
解 由洛比塔法则，
原极限=
而
3．求p的值，使
解：当取满足即时
积分
4．设，且，求的表达式
解：由条件单调增。且
易知，若不然，不妨设 则当时
矛盾 同理可让
5．计算，其中S为圆柱面，（0z1）
解： S圆柱面关于y对称，且y是奇函数
原积分=
二、（满分20）
设
求（1） （2）
解：
（1） （2）
三、（满分20分）
有一张边长为的正方形纸（如图），、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，并将圆柱垂直放在xoy平面上，且B与原点重合，D落在轴正向上，此时，求：
（1）通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；
（2）此旋转曲面、xoy平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积。
解：圆柱面为
D点坐标为（0，4，0），E点坐标可取为（2，2，0）
（1）C点坐标为（0，4，4） 过C，E两点的直线方程为
放转曲面方程
（2）旋转曲面在xoz的投影曲线方程为
四、（满分20分）求函数在的最大值、最小值。
解：在D的最大、最小值即为在
的最大、最小值
，而，即最大值为1
，而即最小值为
五、（满分15分） 求
解： k 六、（满分15分）证明：， 证明： 只须证 同理 且 当时，即，得证 （非专业组） 1．计算，（a>0，b>0） 解：原积分= = 2. 设幂级数的系数满足，n=1，2，3…，求此幂级数的和函数。 解：则 即，且 解方程 由 3. 已知二阶可导，且， R （1）证明， R （2）若，证明R 证明：（1）记 则 即 ⑵ 即 4．求 由洛比塔法则原极限= 5．设 ，求 解： 6． ，（） 解：记原积分为I则 7.设函数满足方程， R，求的极值。 解：由条件， 有 解方程得 含得可能极值点 k整数 当时有极大值 时极小值 8.证明当时， 证明令，则，要证不等式为＜，即要证＜，而且＜0， ＞得证 9．求 解：原极限= 10．设，求a，b的值。 解：当（时） 即 而 11.设，求 解： n≥2 12.某水库的泄洪口为圆形，半径为1米，现有一半径为2米的闸门悬于泄洪口的正上方（如图）问闸门下降多少米时，泄洪口被盖住一半？ 解：取小圆的圆心为原点、水平线为x 轴，垂线为y轴。则泄洪口圆周方程为，闸门（原始位置）为,下降后为两圆交点为： 其中 或 盖住的面积为 13. 已知是[0，1]上二阶可导函数，且， ，证明：使得。 证明：＜1下载本文
