（在此卷上答题无效）

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：

    1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与本人的准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他的答案标号。第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷  选择题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1.已知集合，为虚数单位，，，则复数

     A.               B.                C.               D. 

2.函数的定义域为

     A.             B.             C.               D. 

3.等比数列的第四项等于

     A.              B.                C.                 D. 

4.总体由编号为的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

5.展开式中的常数项为

     A.               B.              C.                 D. 

6.若，，，则的大小关系为

     A.     B.       C.         D. 

7.阅读如下程序框图，如果输出，那么在空白矩形框中应填入的语句为

否

结果

i是奇数

    A.      B.       C.           D. 

8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且∥，正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为，那么

A.8

B.9

C.10

D.11

9.过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于

A.              B.             C.             D. 

10.如图，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，∥，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点。设弧长的长为，,若从平行移动到，则函数的图像大致是

第Ⅱ卷  非选择题

注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11.函数的最小正周期为              .

12.设，为单位向量且、的夹角为，若，，则向量在方向上的射影为             .

13.设函数在内可导，且，则               .

14.抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则                .

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按其中一题评阅计分。本题共5分。

15.（1）．（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为： ，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴简历极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_______.

（2）．（不等式选做题）在实数范围内，不等式的解集为___________.

四、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

在中，角所对的边分别为，已知.

1）求角的大小；

2）若，求的取值范围。

17．（本小题满分12分）

正项数列的前项和满足：。

1）求数列的通项公式；

2）令，数列的前项和为。证明：对于任意，都有。

18.（本小题满分12分）

小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以为起点，再从（如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为。若就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。  

1)求小波参加学校合唱团的概率；

2)求X的分布列和数学期望。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，⊥平面，为的中点，为的中点，，，，连接并延长交于.

1)求证：AD⊥平面CFG；

2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值

20．（本小题满分13分）

如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.

1)求椭圆的方程；

2)是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为。问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

21.（本小题满分14分）

已知函数，为常数且.

1）证明：函数的图像关于直线对称；

2）若满足，但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，试确定的取值范围；

3）对于（2）中的，和，设为函数的最大值点，，，，记的面积为，讨论的单调性。

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

理科数学参

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1.C     2.D    3.A    4.D    5.C    6.B    7.C    8.A    9.B    10.D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

      11.            12.           13. 2           14. 6

三、选做题：本大题5分。

      15.  （1）    （2） 

四、解答题：本大题共6小题，共75分。

16. （本小题满分12分）

解：（1）由已知得 

即有 

因为，所以，又，所以，

又，所以。

（2）由余弦定理，有。

   因为，有。

 又，于是有，即有。

17.（本小题满分12分）

（1）解：由，得。

由于是正项数列，所以。

于是时，。

综上，数列的通项。

（2）证明：由于。

则。

   。    

18.（本小题满分12分）

解：（1）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有种，时，两向量夹角为直角共有8种情形；所以小波参加学校合唱团的概率为。

  （2）两向量数量积的所有可能取值为时，有两种情形；时，有8种情形；时，有10种情形。所以的分布列为：

19.（本大题满分12分）

解：（1）在中，因为是的中点，所以,

故，

因为,所以,

从而有，

故,又因为所以∥。

又平面，

所以故平面。

 （2）以点为坐标原点建立如图所示的坐标系，则,

，故 

设平面的法向量，则，

解得，即。

设平面的法向量，则，解得，

即。从而平面与平面的夹角的余弦值为。

20.（本大题满分13分）

解：（1）由在椭圆上得，    

 依题设知，则    

代入解得。

故椭圆的方程为。

（2）方法一：由题意可设的斜率为，

则直线的方程为    

代入椭圆方程并整理，得，

设，则有

在方程中令得，的坐标为。

从而。

注意到共线，则有，即有。

所以 

代入得，

又，所以。故存在常数符合题意。

方法二：设，则直线的方程为：，

令，求得，

从而直线的斜率为，

联立，得，

则直线的斜率为：，直线的斜率为：，

所以，

故存在常数符合题意。

21.（本大题满分14分）

（1）证明：因为，有，

所以函数的图像关于直线对称。

（2）解：当时，有  

所以只有一个解，又，故0不是二阶周期点。

当时，有

所以有解集，又当时，，故中的所有点都不是二阶周期点。

当时，有   

所以有四个解，又，

，故只有是的二阶周期点。综上所述，所求的取值范围为。

（3）由（2）得，

因为为函数的最大值点，所以或。

当时，。求导得：，

所以当时，单调递增，当时单调递减；

当时，，求导得：，

因，从而有，

所以当时单调递增。    下载本文