一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（ ）
| A． | {﹣1，0，1，2} | B． | {﹣2，﹣1，0，1} | C． | {0，1} | D． | {﹣1，0} |
2．（5分）（2014•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（ ）
| A． | 30 | B． | 20 | C． | 15 | D． | 10 |
3．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（ ）
| A． | 向左平行移动个单位长度 | B． | 向右平行移动个单位长度 | |
| C． | 向左平行移动1个单位长度 | D． | 向右平行一定1个单位长度 |
4．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
| A． | ＞ | B． | ＜ | C． | ＞ | D． | ＜ |
5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（ ）
| A． | 0 | B． | 1 | C． | 2 | D． | 3 |
6．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）
| A． | 192种 | B． | 216种 | C． | 240种 | D． | 288种 |
7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（ ）
| A． | ﹣2 | B． | ﹣1 | C． | 1 | D． | 2 |
8．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（ ）
| A． | [，1] | B． | [，1] | C． | [，] | D． | [，1] |
9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（ ）
| A． | ①②③ | B． | ②③ | C． | ①③ | D． | ①② |
10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）
| A． | 2 | B． | 3 | C． | D． |
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．（5分）（2014•四川）复数= _________ ．
12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= _________ ．
13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 _________ m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）
14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 _________ ．
15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．
④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有 _________ ．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．
17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．
（1）证明：P是线段BC的中点；
（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．
19．（12分）（2014•四川）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．
（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；
（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn．
20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标．
21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．
2014年四川省高考数学试卷（理科）
参与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（ ）
| A． | {﹣1，0，1，2} | B． | {﹣2，﹣1，0，1} | C． | {0，1} | D． | {﹣1，0} |
| 考点： | 交集及其运算．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得． |
| 解答： | 解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z， ∴A∩B={﹣1，0，1，2}． 故选：A． |
| 点评： | 本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分． |
2．（5分）（2014•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（ ）
| A． | 30 | B． | 20 | C． | 15 | D． | 10 |
| 考点： | 二项式系数的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 二项式定理． |
| 分析： | 利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可． |
| 解答： | 解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr， 令r=2可得，T3=C62x2=15x2， ∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15， 在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15． 故选：C． |
| 点评： | 本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键． |
3．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（ ）
| A． | 向左平行移动个单位长度 | B． | 向右平行移动个单位长度 | |
| C． | 向左平行移动1个单位长度 | D． | 向右平行一定1个单位长度 |
| 考点： | 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 |
| 专题： | 三角函数的图像与性质． |
| 分析： | 根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． |
| 解答： | 解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度， 即可得到函数y=sin（2x+1）的图象， 故选：A． |
| 点评： | 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． |
4．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
| A． | ＞ | B． | ＜ | C． | ＞ | D． | ＜ |
| 考点： | 不等式比较大小；不等关系与不等式．菁优网版权所有 |
| 专题： | 不等式的解法及应用． |
| 分析： | 利用特例法，判断选项即可． |
| 解答： | 解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1， 则，∴A、B不正确； ，=﹣， ∴C不正确，D正确． 故选：D． |
| 点评： | 本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确． |
5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（ ）
| A． | 0 | B． | 1 | C． | 2 | D． | 3 |
| 考点： | 程序框图．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题；算法和程序框图． |
| 分析： | 算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值． |
| 解答： | 解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值， 画出可行域如图： 当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2． 故选：C． |
| 点评： | 本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． |
6．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）
| A． | 192种 | B． | 216种 | C． | 240种 | D． | 288种 |
| 考点： | 排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 |
| 专题： | 应用题；排列组合． |
| 分析： | 分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论． |
| 解答： | 解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种， 根据加法原理可得，共有120+96=216种． 故选：B． |
| 点评： | 本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题． |
7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（ ）
| A． | ﹣2 | B． | ﹣1 | C． | 1 | D． | 2 |
| 考点： | 数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 |
| 专题： | 平面向量及应用． |
| 分析： | 由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案． |
| 解答： | 解：∵向量=（1，2），=（4，2）， ∴=m+=（m+4，2m+2）， 又∵与的夹角等于与的夹角， ∴=， ∴=， ∴=， 解得m=2， 故选：D |
| 点评： | 本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档． |
8．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（ ）
| A． | [，1] | B． | [，1] | C． | [，] | D． | [，1] |
| 考点： | 直线与平面所成的角．菁优网版权所有 |
| 专题： | 空间角． |
| 分析： | 由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出． |
| 解答： | 解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪． 不妨取AB=2． 在Rt△AOA1中，==． sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=， =1． ∴sinα的取值范围是． 故选：B． |
| 点评： | 本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题． |
9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（ ）
| A． | ①②③ | B． | ②③ | C． | ①③ | D． | ①② |
| 考点： | 命题的真假判断与应用．菁优网版权所有 |
| 专题： | 函数的性质及应用． |
| 分析： | 根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案． |
| 解答： | 解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）， ∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确； f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确； 当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1）） ∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0， 又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以丨f（x）丨≥2丨x丨成立，故③正确； 故正确的命题有①②③， 故选：A |
| 点评： | 本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档． |
10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）
| A． | 2 | B． | 3 | C． | D． |
| 考点： | 直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有 |
| 专题： | 圆锥曲线中的最值与范围问题． |
| 分析： | 可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题． |
| 解答： | 解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（（0，m）， 由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m， ∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而， ∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2． 不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又， ∴S△ABO+S△AFO==． 当且仅当，即时，取“=”号， ∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B． |
| 点评： | 求解本题时，应考虑以下几个要点： 1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式． 2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高． 3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”． |
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．（5分）（2014•四川）复数= ﹣2i ．
| 考点： | 复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 |
| 专题： | 数系的扩充和复数． |
| 分析： | 利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果． |
| 解答： | 解：复数===﹣2i， 故答案为：﹣2i． |
| 点评： | 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题． |
12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 ．
| 考点： | 函数的值．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值． |
| 解答： | 解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数， ∴=1． 故答案为：1． |
| 点评： | 本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”． |
13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 60 m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）
| 考点： | 余弦定理的应用；正弦定理；正弦定理的应用．菁优网版权所有 |
| 专题： | 应用题；解三角形． |
| 分析： | 过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度． |
| 解答： | 解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D， 则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m ∴CD==46≈79.58m． 又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD==≈19.5m ∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m 故答案为：60m |
| 点评： | 本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题． |
14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．
| 考点： | 点到直线的距离公式．菁优网版权所有 |
| 专题： | 直线与圆． |
| 分析： | 先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值． |
| 解答： | 解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0）， 动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3）， 注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点， 则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10． 故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”） 故答案为：5 |
| 点评： | 本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题． |
15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．
④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有 ①③④ ．（写出所有真命题的序号）
| 考点： | 命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．菁优网版权所有 |
| 专题： | 新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． |
| 分析： | 根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论． |
| 解答： | 解：（1）对于命题① “f（x）∈A”即函数f（x）值域为R， “∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值， 故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b” ∴命题①是真命题； （2）对于命题② 若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]． ∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值． ∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题； （3）对于命题③ 若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B， 则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞）， 并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M． ∴f（x）+g（x）∈R． 则f（x）+g（x）∉B． ∴命题③是真命题． （4）对于命题④ ∵函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值， ∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符； 假设a＜0，当x→﹣2时，→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符． ∴a=0． 即函数f（x）=（x＞﹣2） 当x＞0时，∴，即； 当x=0时，f（x）=0； 当x＜0时，∴，即． ∴．即f（x）∈B． 故命题④是真命题． 故答案为①③④． |
| 点评： | 本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题． |
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．
| 考点： | 两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．菁优网版权所有 |
| 专题： | 三角函数的求值． |
| 分析： | （1）令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间． （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得 （cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值． |
| 解答： | 解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z， 求得 ﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z． （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α， ∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α）， ∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）（sinα+cosα）． 又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0， 当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣． 当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣． 综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣． |
| 点评： | 本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，属于中档题． |
17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
| 考点： | 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 | ||||
| 专题： | 概率与统计． | ||||
| 分析： | （1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列； （2）求出有一盘出现音乐的概率，重复试验的概率公式即可得到结论． （3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可． | ||||
| 解答： | 解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100． 则P（X=﹣200）=， P（X=10）== P（X=20）==， P（X=100）==， 故分布列为： X | ﹣200 | 10 | 20 | 100 |
| P |
则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．
由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．
| 这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少． | |
| 点评： | 本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力． |
18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．
（1）证明：P是线段BC的中点；
（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．
| 考点： | 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．菁优网版权所有 |
| 专题： | 空间向量及应用． |
| 分析： | （1）用线面垂直的性质和反证法推出结论， （2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值． |
| 解答： | 解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中： 平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2 设O为BD的中点，连接OA，OC 于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC 因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN∥NP，故BD⊥NP 假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线 从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点 （2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，0） 于是， 设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和 由，则，设z1=1，则 由，则，设z2=1，则 cos=== 所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值 |
| 点评： | 本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题． |
19．（12分）（2014•四川）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．
（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；
（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn．
| 考点： | 数列的求和；数列与函数的综合．菁优网版权所有 |
| 专题： | 函数的性质及应用；等差数列与等比数列． |
| 分析： | （1）由于点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d．由于点 （a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得d．再利用等差数列的前n项和公式即可得出． （2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2．进而得到an，bn．再利用“错位相减法”即可得出． |
| 解答： | 解：（1）∵点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上， ∴， 又等差数列{an}的公差为d， ∴==2d， ∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上， ∴=b8， ∴=4=2d，解得d=2． 又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n． （2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2， ∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为， 又，令y=0可得x=， ∴，解得a2=2． ∴d=a2﹣a1=2﹣1=1． ∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n， ∴bn=2n． ∴． ∴Tn=+…++， ∴2Tn=1+++…+， 两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣ = =． |
| 点评： | 本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题． |
20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标．
| 考点： | 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．菁优网版权所有 |
| 专题： | 圆锥曲线中的最值与范围问题． |
| 分析： | 第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2； 第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标． |
| 解答： | 解：（1）依题意有解得 所以椭圆C的标准方程为+=1． （2）设T（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0）， ①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2， 由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0， 所以 于是，从而， 即，则， 所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证． ②由两点间距离公式得， 由弦长公式得==， 所以， 令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号）， 所以当 最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）． |
| 点评： | 本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面： 1、设交点坐标，设直线方程； 2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理； 3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题． |
21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．
| 考点： | 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．菁优网版权所有 |
| 专题： | 导数的综合应用． |
| 分析： | （1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值； （2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点． |
| 解答： | 解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b， 又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e， ∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0， ∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b； ②当，则1＜2a＜e， ∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0， ∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增， g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b； ③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0， ∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b， 综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为； （2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0， 若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间， 由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求． 若，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1 令h（x）= （1＜x＜e） 则．由＞0⇒x＜ ∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减， =+＜0，即gmin（x）＜0 恒成立， ∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒， 又，所以e﹣2＜a＜1， 综上得：e﹣2＜a＜1． |
| 点评： | 本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大． |
参与本试卷答题和审题的老师有：任老师；王老师；孙佑中；刘长柏；qiss；尹伟云；翔宇老师；szjzl；caoqz；清风慕竹；静定禅心；maths（排名不分先后）
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2014年6月24日下载本文
