参与试题解析

一、选择题．（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．﹣2的倒数是（　　）

A．﹣B． C．﹣2 D．2

【知识点】倒数．

【解析】根据倒数的定义即可求解．

【解答】解：﹣2的倒数是﹣．

故选：A．

2．下列运算正确的是（　　）

A．x4+x2=x6B．x2•x3=x6C．（x2）3=x6D．x2﹣y2=（x﹣y）2

【知识点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；因式分解-运用公式法．

【解析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则和公式法进行因式分解对各个选项进行判断即可．

【解答】解：x4与x2不是同类项，不能合并，A错误；

x2•x3=x5，B错误；

（x2）3=x6，C正确；

x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），D错误，

故选：C．

3．如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（　　）

A． B． C． D．

【知识点】几何体的展开图．

【解析】根据几何体的展开图先判断出实心圆点与空心圆点的关系，进而可得出结论．

【解答】解：∵由图可知，实心圆点与空心圆点一定在紧相邻的三个侧面上，

∴C符合题意．

故选C．

4．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（　　）

A．7.6×10﹣9B．7.6×10﹣8C．7.6×109D．7.6×108

【知识点】科学记数法—表示较小的数．

【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：将0.000000076用科学记数法表示为7.6×10﹣8，

故选：B．

5．的运算结果应在哪两个连续整数之间（　　）

A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6

【知识点】估算无理数的大小．

【解析】根据无理数的大小比较方法得到＜＜，即可解答．

【解答】解：∵＜＜，

即5＜＜6，

∴的运算结果应在5和6两个连续整数之间．

故选：D．

6．我市某中学九年级（1）班开展“阳光体育运动”，决定自筹资金为班级购买体育器材，全班50名同学筹款情况如下表：

A．11，20 B．25，11 C．20，25 D．25，20

【知识点】众数；中位数．

【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据．

【解答】解：在这一组数据中25元是出现次数最多的，故众数是25元；

将这组数据已从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数是20、20，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是20；

故选：D．

7．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m﹣n等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．无法确定

【知识点】三角形的面积．

【解析】设空白出的面积为x，根据题意列出关系式，相减即可求出m﹣n的值．

【解答】解：设空白出图形的面积为x，

根据题意得：m+x=9，n+x=6，

则m﹣n=9﹣6=3．

故选B．

8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（　　）

A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π

【知识点】扇形面积的计算．

【解析】根据点D为AB的中点可知BC=BD=AB，故可得出∠A=30°，∠B=60°，再由锐角三角函数的定义求出BC的长，根据S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD即可得出结论．

【解答】解：∵D为AB的中点，

∴BC=BD=AB，

∴∠A=30°，∠B=60°．

∵AC=2，

∴BC=AC•tan30°=2•=2，

∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD=×2×2﹣=2﹣π．

故选A．

9．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB=，EF=2，∠H=120°，则DN的长为（　　）

A． B． C．﹣D．2﹣

【知识点】矩形的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．

【解析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证OC=OM=CM=OG=，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN=2GP，即可得出答案．

【解答】解：长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：

则CP=DP=CD=，△GCP为直角三角形，

∵四边形EFGH是菱形，∠EHG=120°，

∴GH=EF=2，∠OHG=60°，EG⊥FH，

∴OG=GH•sin60°=2×=，

由折叠的性质得：CG=OG=，OM=CM，∠MOG=∠MCG，

∴PG==，

∵OG∥CM，

∴∠MOG+∠OMC=180°，

∴∠MCG+∠OMC=180°，

∴OM∥CG，

∴四边形OGCM为平行四边形，

∵OM=CM，

∴四边形OGCM为菱形，

∴CM=OG=，

根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线，

∴DN+CM=2PG=，

∴DN=﹣；

故选：C．

10．已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（　　）

A．m=n B．m=n C．m=n2D．m=n2

【知识点】抛物线与x轴的交点．

【解析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A（﹣﹣，m），B（﹣+，m）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．

【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，

∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．

又∵点A（x1，m），B（x1+n，m），

∴点A、B关于直线x=﹣对称，

∴A（﹣﹣，m），B（﹣+，m），

将A点坐标代入抛物线解析式，得m=（﹣﹣）2+（﹣﹣）b+c，即m=﹣+c，

∵b2=4c，

∴m=n2，

故选D．

二、填空题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11．若代数式有意义，则x的取值范围是　x≧2　．

【知识点】二次根式有意义的条件．

【解析】根据式子有意义的条件为a≥0得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．

【解答】解：∵代数式有意义，

∴x﹣2≥0，

∴x≥2．

故答案为x≥2．

12．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB=　36°　．

【知识点】多边形内角与外角．

【解析】由正五边形的性质得出∠B=108°，AB=CB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．

【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠B=108°，AB=CB，

∴∠ACB=÷2=36°；

故答案为：36°．

13．已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第　一　象限．

【知识点】一次函数与一元一次方程．

【解析】关于x的方程mx+3=4的解为x=1，于是得到m+3=4，求得m=1，得到直线y=﹣x﹣3，于是得到结论．

【解答】解：∵关于x的方程mx+3=4的解为x=1，

∴m+3=4，

∴m=1，

∴直线y=（m﹣2）x﹣3为直线y=﹣x﹣3，

∴直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第一象限，

故答案为：一．

14．如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是　　．

【知识点】概率公式；等腰三角形的判定．

【解析】根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案．

【解答】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，

故P（所作三角形是等腰三角形）=；

故答案为：．

15．设一列数中相邻的三个数依次为m、n、p，且满足p=m2﹣n，若这列数为﹣1，3，﹣2，a，﹣7，b…，则b=　128　．

【知识点】规律型：数字的变化类．

【解析】根据题意求出a，再代入关系式即可得出b的值．

【解答】解：根据题意得：a=32﹣（﹣2）=11，

则b=112﹣（﹣7）=128．

故答案为：128．

16．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：

①△DOE是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE；③若AC=1，则四边形CEOD的面积为；④AD2+BE2﹣2OP2=2DP•PE，其中所有正确结论的序号是　①②③④　．

【知识点】勾股定理；四点共圆．

【解析】①正确．由ADO≌△CEO，推出DO=OE，∠AOD=∠COE，由此即可判断．

②正确．由D、C、E、O四点共圆，即可证明．

③正确．由S△ABC=×1×1=，S四边形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC=S△ABC即可解决问题．

④正确．由D、C、E、O四点共圆，得OP•PC=DP•PE，所以2OP2+2DP•PE=2OP2+2OP•PC=2OP（OP+PC）=2OP•OC，由△OPE∽△OEC，得到=，即可得到2OP2+2DP•PE=2OE2=DE2=CD2+CE2，由此即可证明．

【解答】解：①正确．如图，∵∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB

∴AO=OB=OC，∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°，

在△ADO和△CEO中，

，

∴△ADO≌△CEO，

∴DO=OE，∠AOD=∠COE，

∴∠AOC=∠DOE=90°，

∴△DOE是等腰直角三角形．故①正确．

②正确．∵∠DCE+∠DOE=180°，

∴D、C、E、O四点共圆，

∴∠CDE=∠COE，故②正确．

③正确．∵AC=BC=1，

∴S△ABC=×1×1=，S四边形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC=S△ABC=，

故③正确．

④正确．∵D、C、E、O四点共圆，

∴OP•PC=DP•PE，

∴2OP2+2DP•PE=2OP2+2OP•PC=2OP（OP+PC）=2OP•OC，

∵∠OEP=∠DCO=∠OCE=45°，∠POE=∠COE，

∴△OPE∽△OEC，

∴=，

∴OP•OC=OE2，

∴2OP2+2DP•PE=2OE2=DE2=CD2+CE2，

∵CD=BE，CE=AD，

∴AD2+BE2=2OP2+2DP•PE，

∴AD2+BE2﹣2OP2=2DP•PE．

故④正确．

三、解答题．（本大题共8小题，共72分）

17．化简：（1+）÷．

【知识点】分式的混合运算．

【解析】首先把括号内的式子通分相加，把除法转化为乘法，然后进行乘法运算即可．

【解答】解：原式=÷

=•

=a﹣1．

18．近几年来，国家对购买新能源汽车实行补助，2016年某省对新能源汽车中的“插电式混合动力汽车”实行每辆3万元的补助，小刘对该省2016年“纯电动乘用车”和“插电式混合动力车”的销售计划进行了研究，绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．

（1）补全条形统计图；

（2）求出“D”所在扇形的圆心角的度数；

（3）为进一步落实该，该省计划再补助4.5千万元用于推广上述两大类产品，请你预测，该省16年计划大约共销售“插电式混合动力汽车”多少辆？

注：R为纯电动续航行驶里程，图中A表示“纯电动乘用车”，B表示“纯电动乘用车”，C表示“纯电动乘用车”（R≥250km），D为“插电式混合动力汽车”．

【知识点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【解析】（1）首先由A的数目和其所占的百分比可求出总数，进而可求出D的数目，问题得解；

（2）由D的数目先求出它所占的百分比，再用百分比乘以360°，即可解答；

（3）计算出补贴D类产品的总金额，再除以每辆车的补助可得车的数量．

【解答】解：（1）补贴总金额为：4÷20%=20（千万元），

则D类产品补贴金额为：20﹣4﹣4.5﹣5.5=6（千万元），补全条形图如图：

（2）360°×=108°，

答：“D”所在扇形的圆心角的度数为108°；

（3）根据题意，16年补贴D类“插电式混合动力汽车”金额为：6+4.5×=7.35（千万元），

∴7350÷3=2450（辆），

答：预测该省16年计划大约共销售“插电式混合动力汽车”2450辆．

19．某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．

（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；

（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．

【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．

【解析】（1）根据题意结合购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元分别得出等式求出答案；

（2）利用该企业每月的污水处理量不低于1565吨，得出不等式求出答案．

【解答】解：（1）设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得：

，

解得：．

答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元；

（2）设购进a台A型污水处理器，根据题意可得：

220a+190（8﹣a）≥1565，

解得：a≥1.5，

∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，

∴A型污水处理设备买越少，越省钱，

∴购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最省钱．

20．如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．

（1）求证：∠A=∠BDC；

（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．

【知识点】切线的性质．

【解析】（1）由圆周角推论可得∠A+∠ABD=90°，由切线性质可得∠CDB+∠ODB=90°，而∠ABD=∠ODB，可得答案；

（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，根据勾股定理可求得MN的长．

【解答】解：（1）如图，连接OD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，

又∵CD与⊙O相切于点D，

∴∠CDB+∠ODB=90°，

∵OD=OB，

∴∠ABD=∠ODB，

∴∠A=∠BDC；

（2）∵CM平分∠ACD，

∴∠DCM=∠ACM，

又∵∠A=∠BDC，

∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，

∵∠ADB=90°，DM=1，

∴DN=DM=1，

∴MN==．

21．如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D．

（1）求双曲线的解析式；

（2）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质．

【解析】（1）根据在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），可以求得点D的坐标，又因为双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D，从而可以求得k的值，从而可以求得双曲线的解析式；

（2）由图可知三角形CDE的面积等于三角形EDA与三角形ADC的面积之和，从而可以解答本题．

【解答】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），

∴点D的坐标是（1，2），

∵双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D，

∴2=，得k=2，

即双曲线的解析式是：y=；

（2）∵直线AC交y轴于点E，

∴S△CDE=S△EDA+S△ADC=，

即△CDE的面积是3．

22．如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．

（1）求出此时点A到岛礁C的距离；

（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）

【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【解析】（1）根据题意得出：∠CBD=30°，BC=120海里，再利用cos30°=，进而求出答案；

（2）根据题意结合已知得出当点B在A′的南偏东75°的方向上，则A′B平分∠CBA，进而得出等式求出答案．

【解答】解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，

由题意可得：∠CBD=30°，BC=120海里，

则DC=60海里，

故cos30°===，

解得：AC=40，

答：点A到岛礁C的距离为40海里；

（2）如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，

可得∠1=30°，∠BA′A=45°，A′N=A′E，

则∠2=15°，即A′B平分∠CBA，

设AA′=x，则A′E=x，

故CA′=2A′N=2×x=x，

∵x+x=40，

∴解得：x=20（﹣1），

答：此时“中国海监50”的航行距离为20（﹣1）海里．

23．在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC；

（2）若∠DAF=∠DBA，

①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；

②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF．

【知识点】几何变换综合题．

【解析】（1）由旋转得到∠BAC=∠BAD，而DF⊥AC，从而得出∠ABC=45°，最后判断出△ABC是等腰直角三角形；

（2）①由旋转得到∠BAC=∠BAD，再根据∠DAF=∠DBA，从而求出∠FAD=∠BAC=∠BAD=60°，最后判定△AFD≌△BED，即可；

②根据题意画出图形，先求出角度，得到△ABD是顶角为36°的等腰三角形，再用相似求出，，最后判断出△AFD∽△BED，代入即可．

【解答】解：（1）由旋转得，∠BAC=∠BAD，

∵DF⊥AC，

∴∠CAD=90°，

∴∠BAC=∠BAD=45°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°，

∴AC=CB，

（2）①由旋转得，AD=AB，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠DAF=∠ABD，

∴∠DAF=∠ADB，

∴AF∥BB，

∴∠BAC=∠ABD，

∵∠ABD=∠FAD

由旋转得，∠BAC=∠BAD，

∴∠FAD=∠BAC=∠BAD=×180°=60°，

由旋转得，AB=AD，

∴△ABD是等边三角形，

∴AD=BD，

在△AFD和△BED中，

，

∴△AFD≌△BED，

∴AF=BE，

②如图，

由旋转得，∠BAC=∠BAD，

∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD，

由旋转得，AD=AB，

∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，

∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，

∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°，

∴∠BAD=36°，

设BD=x，作BG平分∠ABD，

∴∠BAD=∠GBD=36°

∴AG=BG=BC=x，

∴DG=AD﹣AG=AD﹣BG=AD﹣BD，

∵∠BDG=∠ADB，

∴△BDG∽△ADB，

∴．

∴，

∴，

∵∠FAD=∠EBD，∠AFD=∠BED，

∴△AFD∽△BED，

∴，

∴AF==x．

24．已知抛物线与x轴交于A（6，0）、B（﹣，0）两点，与y轴交于点C，过抛物线上点M（1，3）作MN⊥x轴于点N，连接OM．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图1，将△OMN沿x轴向右平移t个单位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、M′O′与直线AC分别交于点E、F．

①当点F为M′O′的中点时，求t的值；

②如图2，若直线M′N′与抛物线相交于点G，过点G作GH∥M′O′交AC于点H，试确定线段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．

【知识点】二次函数综合题．

【解析】（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+），把点M（1，3）代入即可求出a，进而解决问题．

（2））①如图1中，AC与OM交于点G．连接EO′，首先证明△AOC∽△MNO，推出OM⊥AC，在RT△EO′M′中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．

②由△GHE∽△AOC得==，所以EG最大时，EH最大，构建二次函数求出EG的最大值即可解决问题．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+），把点M（1，3）代入得a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+），

∴y=﹣x2+x+2．

（2）①如图1中，AC与OM交于点G．连接EO′．

∵AO=6，OC=2，MN=3，ON=1，

∴==3，

∴=，∵∠AOC=∠MON=90°，

∴△AOC∽△MNO，

∴∠OAC=∠NMO，

∵∠NMO+∠MON=90°，

∴∠MON+∠OAC=90°，

∴∠AGO=90°，

∴OM⊥AC，

∵△M′N′O′是由△MNO平移所得，

∴O′M′∥OM，

∴O′M′⊥AC，

∵M′F=FO′，

∴EM′=EO′，

∵EN′∥CO，

∴=，

∴=，

∴EN′=（5﹣t），

在RT△EO′M′中，∵O′N′=1，EN′=（5﹣t），EO′=EM′=+t，

∴（+t）2=1+（﹣t）2，

∴t=1．

②如图2中，

∵GH∥O′M′，O′M′⊥AC，

∴GH⊥AC，

∴∠GHE=90°，

∵∠EGH+∠HEG=90°，∠AEN′+∠OAC=90°，∠HEG=∠AEN′，

∴∠OAC=∠HGE，∵∠GHE=∠AOC=90°，

∴△GHE∽△AOC，

∴==，

∴EG最大时，EH最大，

∵EG=GN′﹣EN′=﹣（t+1）2+（t+1）+2﹣（5﹣t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣2）2+．

∴t=2时，EG最大值=，

∴EH最大值=．

∴t=2时，EH最大值为．

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