一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1、（2011•福建）若集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N等于（　　）

    A、{0，1}        B、{﹣1，0，1}

    C、{0，1，2}        D、{﹣1，0，1，2}

考点：交集及其运算。专题：计算题。

分析：根据集合M和N，由交集的定义可知找出两集合的公共元素，即可得到两集合的交集．解答：解：由集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，

得到M∩N={0，1}．故选A

点评：此题考查了交集的运算，要求学生理解交集即为两集合的公共元素，是一道基础题．

2、（2011•福建）i是虚数单位1+i3等于（　　）

    A、i        B、﹣i    C、1+i        D、1﹣i

考点：虚数单位i及其性质。专题：计算题。

分析：由复数单位的定义，我们易得i2=﹣1，代入即可得到1+i3的值．

解答：解：∵i是虚数单位

∴i2=﹣1

1+i3=1﹣i

故选D

点评：本题考查的知识点是虚数单位i及其性质，属简单题，其中熟练掌握虚数单位i的性质i2=﹣1是解答本类问题的关键．

3、（2011•福建）若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（　　）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件    C、充要条件    D、既不充分又不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；充要条件。

分析：先判断“a=1”⇒“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案．

解答：解：当“a=1”时，“|a|=1”成立

即“a=1”⇒“|a|=1”为真命题

但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立

即“|a|=1”时，“a=1”为假命题

故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件

故选A

点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”⇒“|a|=1”与“|a|=1”时，“a=1”的真假，是解答本题的关键．

4、（2011•福建）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（　　）

    A、6        B、8    C、10        D、12

考点：分层抽样方法。

专题：计算题。

分析：根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．

解答：解：∵高一年级有30名，

在高一年级的学生中抽取了6名，

∴每个个体被抽到的概率是=

∵高二年级有40名，

∴要抽取40×=8，

故选B．

点评：本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题．

5、（2011•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（　　）

    A、3        B、11    C、38        D、123

考点：程序框图。

专题：图表型。

分析：通过框图的要求；将第一次循环的结果写出，通过判断框；再将第二次循环的结果写出，通过判断框；输出结果．

解答：解；经过第一次循环得到a=12+2=3

经过第一次循环得到a=32+2=11

不满足判断框的条件，执行输出11

故选B

点评：本题考查程序框图中的循环结构常采用将前几次循环的结果写出找规律．

6、（2011•福建）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

    A、（﹣1，1） B、（﹣2，2）C、（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）    D、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系。

专题：计算题。

分析：利用题中条件：“关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根”由韦达定理的出m的关系式，解不等式即可．

解答：解：∵关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，

∴△＞0，

即：m2﹣4＞0，

解得：m∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．

故选C．

点评：本题考查一元二次方程的根的判别式与根的关系，属于基本运算的考查．

7、（2011•福建）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（　　）

    A、        B、    C、        D、

考点：几何概型。

专题：常规题型。

分析：利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．

解答：解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．

故选C．

点评：本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．

8、（2011•福建）已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（　　）

    A、﹣3        B、﹣1    C、1        D、3

考点：指数函数综合题。

专题：计算题。

分析：由分段函数f（x）=，我们易求出f（1）的值，进而将式子f（a）+f（1）=0转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．

解答：解：∵f（x）=

∴f（1）=2

若f（a）+f（1）=0

∴f（a）=﹣2

∵2x＞0

∴x+1=﹣2

解得x=﹣3

故选A

点评：本题考查的知识点是分段函数的函数值，及指数函数的综合应用，其中根据分段函数及指数函数的性质，构造关于a的方程是解答本题的关键．

9、（2011•福建）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（　　）

    A、        B、    C、        D、

考点：同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦。

专题：计算题。

分析：把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．

解答：解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．

故选D

点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．

10、（2011•福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（　　）

    A、2        B、3    C、6        D、9

考点：函数在某点取得极值的条件；基本不等式。

专题：计算题。

分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．

解答：解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b

又因为在x=1处有极值

∴a+b=6

∵a＞0，b＞0

∴

当且仅当a=b=3时取等号

所以ab的最大值等于9

故选D

点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．

11、（2011•福建）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（　　）

    A、        B、或2    C、2        D、

考点：圆锥曲线的共同特征。

专题：计算题。

分析：根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用定义表示出a和c，则离心率可得．

解答：解：依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，

若曲线为椭圆则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t

则e==，

若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t

∴e==

故选A

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．

12、（2011•福建）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：

①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．

其中，正确结论的个数是（　　）

    A、1        B、2    C、3        D、4

考点：同余的性质（选修3）。

专题：综合题。

分析：根据题中“类”的理解，在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，

对于各个结论进行分析：①∵2011÷5=402…1；②∵﹣3÷5=0…2，③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可．

解答：解：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①对；

②∵﹣3÷5=0…2，∴对﹣3∉[3]；故②错；

③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对；

④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．故④对．

∴正确结论的个数是3．

故选C．

点评：本题主要考查了选修3同余的性质，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属于创新题．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13、（2011•福建）若向量=（1，1），（﹣1，2），则等于　1　．

考点：平面向量数量积的运算。

专题：计算题。

分析：根据平面向量数量积的坐标运算公式，把=（1，1），（﹣1，2），代入即可求得结果．

解答：解：∵=（1，1），（﹣1，2），

∴=1×（﹣1）+1×2=1，

故答案为：1．

点评：此题是个基础题．考查学生对公式掌握的熟练程度．

14、（2011•福建）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于　2　．

考点：解三角形。

专题：计算题。

分析：根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，让其等于列出关于AC的方程，求出方程的解即可得到AC的值，然后根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，得到△ABC，即可得到三角形的三边相等，即可得到边AB的长度．

解答：解：根据三角形的面积公式得：

S=BC•ACsinC=×2ACsin60°=AC=，

解得AC=2，又BC=2，且C=60°，

所以△ABC为等边三角形，则边AB的长度等于2．

故答案为：2

点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式化简求值，掌握等边三角形的的判别方法，是一道基础题．

15、（2011•福建）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2．，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．

考点：直线与平面平行的性质。

专题：计算题；综合题。

分析：根据已知EF∥平面AB1C和线面平行的性质定理，证明EF∥AC，又点E为AD的中点，点F在CD上，以及三角形中位线定理可知点F是CD的中点，从而求得线段EF的长度．

解答：解：∵EF∥平面AB1C，EF⊆平面AC，平面AB1C∩平面AC=AC，

∴EF∥AC，

又点E为AD的中点，点F在CD上，

∴点F是CD的中点，

∴EF=．

故答案为．

点评：此题是个基础题．考查线面平行的性质定理，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练应用的能力．

16、（2011•福建）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数．

经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于．

考点：数列的应用。

专题：计算题。

分析：根据题设条件，由（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，知[x（b﹣a）]2=（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，由此能求出最佳乐观系数x的值．

解答：解：∵c﹣a=x（b﹣a），b﹣c=（b﹣a）﹣x（b﹣a），

（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，

∴[x（b﹣a）]2=（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，

∴x2+x﹣1=0，

解得，

∵0＜x＜1，

∴．

故答案为：．

点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17、（2011•福建）已知等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3．

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值．

考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和。

专题：综合题；转化思想。

分析：（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；

（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于﹣35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值．

解答：解：（I）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d

由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，

从而，an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；

（II）由（I）可知an=3﹣2n，

所以Sn==2n﹣n2，

进而由Sk=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，

即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，

又k∈N+，故k=7为所求．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．

18、（2011•福建）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．

（I）求实数b的值；

（II）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

考点：圆与圆锥曲线的综合。

专题：综合题。

分析：（I）由，得：x2﹣4x﹣4b=0，由直线l与抛物线C相切，知△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，由此能求出实数b的值．

（II）由b=﹣1，得x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，由此能求出圆A的方程．

解答：解：（I）由，消去y得：x2﹣4x﹣4b=0①，

因为直线l与抛物线C相切，

所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，

解得b=﹣1；

（II）由（I）可知b=﹣1，

把b=﹣1代入①得：x2﹣4x+4=0，

解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得y=1，

故点A的坐标为（2，1），

因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，

即r=|1﹣（﹣1）|=2，

所以圆A的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

19、（2011•福建）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

（II）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

考点：概率的应用。

专题：综合题；分类讨论；转化思想。

分析：（I）通过频率分布表得推出a+b+c=0.35．利用等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，分别求出b，c，然后求出a．

（II）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”的事件数，求解即可．

解答：解：（I）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35．

因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b==0.15

等级系数为5的恰有2件，所以c==0.1

从而a=0.35﹣0.1﹣0.15=0.1

所以a=0.1，b=0.15，c=0.1．

（II）从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，所有可能的结果为：

{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}

设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”，则A包含的基本事件为：

{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}共4个，

又基本事件的总数为：10

故所求的概率P（A）==0.4

点评：本题考查概率、统计等基本知识，考查数据处理能力、运算能力、应用意识．考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想．

20、（2011•福建）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB．

（I）求证：CE⊥平面PAD；

（II）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积。

专题：综合题。

分析：（I）由已知容易证PA⊥CE，CE⊥AD，由直线与平面垂直的判定定理可得

（II）由（I）可知CE⊥AD，从而有四边形ABCE为矩形，且可得P到平面ABCD的距离PA=1，代入锥体体积公式可求

解答：解：（I）证明：因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，

所以PA⊥CE，

因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD

又PA∩AD=A，所以CE⊥平面PAD

（II）由（I）可知CE⊥AD

在Rt△ECD中，DE=CDcos45°=1，CE=CDsin45°=1，又因为AB=CE=1，AB∥CE

所以四边形ABCE为矩形

所以

=

又PA平面ABCD，PA=1

所以

点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，运算求解的能力；考查数形结合思想，化归与转化的思想．

21、（2011•福建）设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．

（I）若点P的坐标为，求f（θ）的值；

（II）若点P（x，y）为平面区域Ω：，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．

考点：任意角的三角函数的定义；二元一次不等式（组）与平面区域；三角函数的最值。

专题：综合题；转化思想。

分析：（I）由已知中函数f（θ）=，我们将点P的坐标代入函数解析式，即可求出结果．

（II）画出满足约束条件的平面区域，数形结合易判断出θ角的取值范围，结合正弦型函数的的性质我们即可求出函数f（θ）的最小值和最大值．

解答：解（I）由点P的坐标和三角函数的定义可得：

于是f（θ）===2

（II）作出平面区域Ω（即感触区域ABC）如图所示

其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）

于是0≤θ≤

∴f（θ）==

且

故当，即时，f（θ）取得最大值2

当，即θ=0时，f（θ）取得最小值1

点评：本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．

22、（2011•福建）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）．

（I）求实数b的值；

（II）求函数f（x）的单调区间；

（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．

考点：利用导数研究函数的单调性。

专题：计算题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想。

分析：（I）把x=e代入函数f（x）=﹣ax+b+axlnx，解方程即可求得实数b的值；

（II）求导，并判断导数的符号，确定函数的单调区间；

（III）假设存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点，转化为利用导数求函数y=f（x）在区间[，e]上的值域．

解答：解：（I）由f（e）=2，代入f（x）=﹣ax+b+axlnx，

得b=2；

（II）由（I）可得f（x）=﹣ax+2+axlnx，函数f（x）的定义域为（0，+∞），

从而f′（x）=alnx，

∵a≠0，故

①当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1；

②当a＜0时，由f′（x）＞0得0＜x＜1，由f′（x）＜0得x＞1；

综上，当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；

当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；

（III）当a=1时，f（x）=﹣x+2+xlnx，f′（x）=lnx，

由（II）可得，当x∈（，e），f（x），f′（x）变化情况如下表：

又f（）=2﹣＜2，

所以y=f（x）在[，e]上的值域为[1，2]，

据此可得，若，则对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点；

并且对每一个t∈（﹣∞，m）∪（M，+∞），直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都没有公共点；

综上当a=1时，存在最小实数m=1和最大的实数=2M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点．

点评：此题是个难题．主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归和转化思想，分类与整合思想．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．下载本文