【知识点汇总】
知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
【历年考点例析】
考点1、无理数
知识回顾：
无限不循环的小数，叫做无理数。
知识特点：
常见的无理数：
1、π以及π的有理数倍数。
2、、、；
3、2．010*********…………
考查题型
例1、写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 。（08年自贡市）
分析：-1的绝对值是1，所以，小于－1的数的绝对值一定要大于1，只要符合这一点，就可以了，所以，本题的答案不是唯一的。
解：小于－1的有理数-4、-5等等，小于－1的无理数-、-、-等等。
例2、从实数－，－，0，л，4中，挑选出的两个数都是无理数的为（ ）
A. －，0 B. л，4 C. －，4 D. －，л（08年湖北省宜昌市）
分析：根据常见的无理数，可以发现只有-和π是无理数，因此，选项D是正确的。
解：选D。
例3、如图1所示，A，B，C，D四张卡片上分别写有四个实数，从中任取两张卡片．
A B C D
（图1）
（1）请列举出所有可能的结果（用字母A，B，C，D表示）；
（2）求取到的两个数都是无理数的概率．（08嘉兴市）、
分析：用列表的方式，把所有的结果找出来，后根据无理数的定义，作出判断。
解：
（1）仔细观察上面的四个数，不难发现B、D是无理数，A和C是有理数，结果列表如下：
2仔细观察上表，一共有12种可能性，期中都是无理数的可能性有2种，
因此，两个数都是无理数的概率为：。
考点2、平方根
知识回顾：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根。记作±。读作“正负根号a”
知识特点：
1、被开方数a，满足的关系式是：a≥0；
2、平方根x与被开方数a，满足的关系式是：x=±；
3、被开方数a与平方根x，满足的关系式是：a= x2= （±）2= 2= （-）2；
4、两个平方根之间满足的关系式是：+（-）=0，即两个平方根互为相反数，所以，他们的和为0.
如下说法都是正确的：
1a的平方根是±；
②是a的平方根；
③-是a的平方根；
④±是a的平方根；其中a是非负数。
此外，0的平方根是0这个特例要记清楚。
考查题型
例4、2的平方根是（ ）
A．4 B． C． D．（08年南京市）
分析：根据平方根的特点，正数有两个平方根，且常用“±”来体现“两个”。
解：选D。
例5、9的算术平方根是
A. ±3 B. 3 C. －3 D. （08恩施自治州）
分析：算术平方根是平方根中的正数根，只有一个，所以，选项A、C都是不正确的；
因为，32=9，所以，9的算数平方根是3。
解：选B.
例6、化简：=（ ）
A．2 B．－2 C．4 D．－4（08年甘肃省白银市）
分析：理解的意义是解题的关键。的意义实际上就是求正数4的算术平方根，所以，应该只有一个，为正数，并且这个数的平方应该等于4，这样只有选项A符合要求。
解：选A。
化简=_________。(08年安徽省)
分析：因为，（-4）2=16，的意义是求正数16的算数平方根，因为，
42=16，所以，=4.
考点3、二次根式
知识回顾：
形如（a≥0）的式子，叫做二次根式。
知识特点：
1、被开放数a是一个非负数；
2、二次根式是一个非负数，即≥0；
3、有限个二次根式的和等于0，则每个二次根式的被开方数必须是0.
考查题型
例7、若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是
A.x>-5 B.x<-5 C.x≠-5 D.x≥-5 (08常州市)
分析：在这里二次根式的被开方数是x+5，要想使式子在实数范围内有意义,
必须满足条件：x+5≥0，所以，x≥-5，因此，选项D是正确的。
解：选D。
例8、若，则 ．（08年遵义市）
分析：
因为，|a-2|和都是非负数，并且它们的和是0，
所以，|a-2|=0且=0，所以，a=2，b=3，
所以，a2-b=4-3=1.
例9、若实数满足，则xy的值是 ．(08年宁波市)
分析：
因为，和都是非负数，并且它们的和是0，
所以，=0且=0，所以，x=-2，y=，
所以，xy=-2.
考点4、二次根式的化简与计算
知识回顾：
二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后，通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。
知识特点：
二次根式的加减运算：a+b=（a+b），（m≥0）；
二次根式的乘法运算：.=，( a≥0, b≥0)；
二次根式的除法运算：÷= ，( a≥0, b＞0)；
二次根式的乘方运算：=a，( a≥0)；
二次根式的开方运算：=
考查题型
例10、下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．（08年聊城市）
分析：这就是二次根式化简的综合题目，2与4的被开方数不相同，所以，它们不是同类二次根式，所以，不能进行合并计算，所以，A是错误的；
因为，，所以，B 也是错误的；
因为，÷=，所以，C是正确的；
根据二次根式的开方公式，得到D是错误的。
解：选C。
例11、若，则xy的值为 ( )
A． B． C． D．（08年大连市）
分析：xy=（）（）=-=a-b，所以，D是正确的。
解：选D。
考点5、最简二次根式
知识回顾：
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
知识特点：
1、最简二次根式中一定不含有分母；
2、对于数或者代数式，它们不能在写成an×m的形式。
考查题型
例12、下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D. （08年湖北省荆州市）
分析：
因为B中含有分母，所以B不是最简二次根式；
而8=22×2，27=32×3，所以，选项C、D都不是最简二次根式。
所以，只有选项A是正确的。
解：选A。
考点6、估算
例13、估计的运算结果应在（ ）．
Ａ．6到7之间 Ｂ．7到8之间 Ｃ．8到9之间 Ｄ．9到10之间
（08年芜湖市）
分析：
因为，4＜5＜9，所以，，所以，2＜＜3,
所以，4＜2＜6,
所以，4+4＜2+4＜6+4,所以，8＜2+4＜10,也就是在8到9之间.
解:选择C.
【考试题型归纳】
一. 基本概念型
例1.二次根式中，字母的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
析解：形如的式子叫二次根式，其中被开方数a的取值范围是。则二次根式中，即，故选C。
说明：注意二次根式中被开方数是非负数这个隐含条件是解题关键。
例2.在下列根式中，最简二次根式有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
析解：最简二次根式的概念是（1）被开方式的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。而。所以最简二次根式有两个，故选C。
例3.下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
析解：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。而，所以与是同类二次根式的是，故选B。
二. 性质运用型
例4.已知，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
析解：，因为，所以。故选D
例5.化简得（ ）。
A. 2 B. C. D.
析解：因为，，
所以
故。故选A。
说明：以上二例主要应用二次根式的性质：（1）。（2）。正确应用二次根式的性质是解决本题的关键。
三. 结论开放型
例6.先将化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。
析解：这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间。但要注意x的取值范围是。
原式
取，原式。
四. 大小比较型
例7. 用计算器计算，…，根据你发现的规律，判断，与，（n为大于1的整数）的值的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 与n的取值有关
析解：利用计算器计算得：，从而可以推断，故选C。
例8. 设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
析解：，同理。因为，所以。故选A。
五. 判断正误型
例9. 化简时，甲的解法是：，乙的解法是：，以下判断正确的是（ ）
A. 甲的解法正确，乙的解法不正确
B. 甲的解法不正确，乙的解法正确
C. 甲、乙的解法都正确
D. 甲、乙的解法都不正确
析解：甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用进行约分，所以二人都是正确的，故选C。
例10. 对于题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同。
甲的解答是：；
乙的解答是：。
谁的解答是错误的？为什么？
析解：乙的解答是错误的。
因为当时，所以，而应当是。
六. 规律探索型
例11. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题。
；
；
；
…… ……
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律。
（2）推算出的长。
（3）求出的值。
析解：（1）通过类比，可推知
（2）。
（3）
七. 计算说理型
例12. 有这样一道题，计算：的值，其中，某同学把“”错抄成“”，但他的计算结果是正确的。请回答这是怎么回事？试说明理由。
析解：这是一道说理型试题，既然x的值取错，计算结果仍是正确。那么可以猜测此二次根式化简后与x的值无关。这时应从二次根式的化简入手，揭开它神秘的面纱。
原式
八. 数形结合型
例13. 如图1，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
图1
析解：由题意知。所以边长为无理数的边数是2个，故选C。
例14. “数轴上的点并不都表示有理数，如图2中数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）
图2
A. 代入法 B. 换元法 C. 数形结合 D. 分类讨论
析解：本题“形”“数”结合，所反映的正是数学中的一种思想方法“数形结合”故选C。
九. 阅读理解型
例15. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，
即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为：
①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）。
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海式：
……②（其中）
（1）若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试。
析解：（1）
又，
（2）
【解题策略】
一、二次根式的定义
例1 函数的自变量x的取值范围是（ ）
解题策略：根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数。答案为A。
例2 函数的自变量x的取值范围是（ ）
解题策略：根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，还应特别注意分式的分母不能为零。答案为：C。
二、二次根式的性质
例3 若，则xy的值等于（ ）
A. -6 B. -2 C. 2 D. 6
解题策略：紧扣二次根式是一个非负数的性质，可以得到：，故。答案为：A
例4 如果，那么x的取值范围是（ ）
解题策略：运用二次根式是一个非负数的性质知，。答案为C。
例5 若b<0，化简的结果是（ ）
解题策略：紧紧抓住二次根式被开方数必须是非负数，由二次根式的性质
答案为：C
三、最简二次根式
例6 把二次根式化成最简二次根式为____________。
例7 下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
解题策略：最简二次根式必须满足下列两个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
例6的答案为：，例7的答案为：A。
四、同类二次根式
例8 在下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
例9 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
解题策略：紧扣定义：化成最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。例8的答案为A，例9的答案为B。
五、二次根式的化简运算
例10
以上推导中错误在第（ ）步
A. (1) B. (2) C. (3) D. (4)
解题策略：紧扣二次根式的性质是一个非负数，第（2）步是一个负数，是一个正数，答案为B。
例11 计算
解题策略：二次根式的有关概念是二次根式化简与运算的基础，二次根式的性质是二次根式化简与运算的根据。互为有理化因式，，答案为：。
六、二次根式的条件求值
例12 已知，则的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解题策略：分母有理化是在进行二次根式的化简与运算时常用的方法。
简解：
答案为C
例13 先化简，再求值：
其中a=3，b=4
解题策略：合并同类二次根式是在进行二次根式的化简与运算时常用的方法。
当a=3，b=4时，
七、二次根式的应用
例14 如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，设点C所表示的数为x，求的值。
解题策略：看懂题意、图意，抓住“点B关于点A的对称点为C”解题
