一、曲线运动

1．运动特点

(1)速度方向：质点在某点的速度，沿曲线上该点的______方向．

(2)运动性质：做曲线运动的物体，速度的______时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动，即必然具有________.

2．曲线运动的条件

(1)从动力学角度看：物体所受______的方向跟它的速度方向不在同一条直线上．

(2)从运动学角度看：物体的________方向跟它的速度方向不在同一条直线上．

 特别提示：曲线运动一定是变速运动，变速运动不一定是曲线运动．

二、运动的合成与分解

1．基本概念

分运动合运动

2．分解原则

根据运动的________分解，也可采用________.

3．运算法则

位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循__________定则．

4．合运动和分运动的关系

(1)等时性：合运动与分运动经历的时间______.

(2)性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动进行，不受其他分运动的影响．

(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果．,1.(单选)质点做曲线运动，从A到B速率逐渐增加，如图所示，有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向，其中正确的是(　　)

2－1.(单选)(2014·茂名模拟)关于运动的合成，下列说法中正确的是(　　)

A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大

B．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等

C．只要两个分运动是直线运动，合运动一定是直线运动

D．两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动

2－2.

(单选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度(　　)

A．大小和方向均不变

B．大小不变，方向改变

C．大小改变，方向不变

D．大小和方向均改变

　　　　　　　对曲线运动规律的理解

1．做曲线运动的条件：物体受到的合力(或加速度)与速度不共线．

2．曲线运动的特点：

(1)曲线运动一定是变速运动

(2)物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向轨迹的“凹”侧．

3．速率变化情况判断

(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，速率增大；

(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，速率减小；

(3)当合力方向与速度方向垂直时，速率不变．

(单选)如图所示，一物体在水平恒力的作用下沿光滑水平面做曲线运动，当物体从M点运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°，则在物体从M点到N点的运动过程中，物体的速度将(　　)

A．不断增大

B．不断减小

C．先增大后减小

D．先减小后增大

[尝试解答]　________

1．(单选)一个物体在F1、F2、F3、…、Fn共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去外力F2，而其他力不变，则该物体(　　)

A．可能做曲线运动

B．不可能继续做直线运动

C．一定沿F2的方向做直线运动

D．一定沿F2的反方向做匀减速直线运动

　　　　　　　运动的合成与分解

1．运动的合成与分解的运算法则

运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．

2．合运动的性质判断

3．两个直线运动的合运动性质的判断

某研究性学习小组进行了如下实验：如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R.将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3 cm/s 匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速为零的匀加速直线运动．同学们测出某时刻R的坐标为(4,6)，此时R的速度大小为________cm/s.R在上升过程中运动轨迹的示意图是________．(R视为质点)

[解题思路]　关键词：①匀速上浮，②沿x轴正方向做初速为零的匀加速直线运动，说明蜡块在x、y轴正方向上的运动的合运动满足类平抛运动的规律．

[课堂笔记]

2.

(单选)2013年11月，超强台风海燕席卷菲律宾东中部地区，造成严重灾情，在救灾工作中，假设有一架直升机A用一长H＝50 m的悬索(重力可忽略不计)系住伤员B，直升机A和伤员B一起在水平方向上以v0＝10 m/s的速度匀速运动的同时，悬索在竖直方向上匀速上拉，如图所示．在将伤员拉到直升机内的时间内，A、B之间的竖直距离以l＝50－5t(单位：m)的规律变化，则(　　)

A．伤员经过5 s时间被拉到直升机内

B．伤员经过10 s时间被拉到直升机内

C．伤员的运动速度大小为5 m/s

D．伤员的运动速度大小为10 m/s

　小船渡河模型

————————————该得的分一分不丢！

　(1)以最短时间渡河时，船头应垂直于河岸航行，即与河岸成90°角．最短时间为

t＝＝s＝100 s．(2分)

(2)以最小位移过河，船的实际航向应垂直河岸，即船头应指向上游河岸．设船头与上游河岸夹角为θ，有

vcos θ＝u，(1分)

θ＝arccos＝arccos.(1分)

sin θ＝＝(1分)

渡河时间为t＝＝s≈106.1 s．(2分)

(3)设船头与上游河岸夹角为α，则有

(vcos α－u)t＝x(2分)

vtsin α＝l(2分)

两式联立得：α＝53°，t＝125 s．(1分)

[答案]　见规范解答

[建模感悟]　(1)模型概述

在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变、方向变化．这样的运动系统可看做“小船渡河模型”．

(2)模型特点

①船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．

②三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水的流速)、v(船的实际速度)．

③三种情景

a．过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽)．

b．过河路径最短(v2＜v1时)：合速度垂直于河岸，航程最短，x短＝d.

c．过河路径最短(v2＞v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．

由图可知：sin θ＝，最短航程：x短＝＝d.

3.

(单选)一条自西向东的河流，南北两岸分别有两个码头A、B，如图所示．已知河宽为80 m，河水水流的速度为5 m/s，两个码头A、B沿水流的方向相距100 m．现有一种船，它在静水中的行驶速度为4 m/s，若使用这种船渡河，且沿直线运动，则(　　)

A．它可以正常来往于A、B两个码头

B．它只能从A驶向B，无法返回

C．它只能从B驶向A，无法返回

D．无法判断

　绳(杆)端速度的分解模型

　[解析]　小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图所示，由图可知vB＝vAcos θ，则vB＜vA，小车向左运动的过程中θ角减小，vB增大，B向上做加速运动，故绳的拉力大于B的重力．故选项A、D正确．

[答案]　AD

[建模感悟]　(1)模型概述

绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，求解在运动过程中它们的速度关系，都属于该模型．

(2)模型特点

由绳(杆)长度不变，因此两端沿绳(杆)方向的分速度大小相等．

(3)求解方法

把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．

4．(多选)如图所示，A、B两球分别套在两光滑的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮相连，现在将A球以速度v向左匀速移动，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，下列说法正确的是(　　)

A．此时B球的速度为v

B．此时B球的速度为v

C．在β增大到90°的过程中，B球做匀速运动

D．在β增大到90°的过程中，B球做加速运动

一 高考题组

1．(单选)(2011·高考上海卷)如图，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为(　　)

A．vsin α　　　　　　　    B. 

C．vcos α      D. 

2．(单选)(2011·高考江苏卷)

如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为(　　)

A．t甲＜t乙      B．t甲＝t乙

C．t甲＞t乙      D．无法确定

二 模拟题组

3.

(单选)(2014·琼海模拟)小球在水平桌面上做匀速直线运动，当它受到力F的作用(F的方向如图所示)时，小球可能的运动方向是(　　)

A．Oa      B．Ob

C．Oc      D．Od

4.

(单选)(2014·温州模拟)如图所示，在抗洪抢险中，一战士驾驶摩托艇救人，假设河岸是平直的，洪水沿河岸向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2.战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d.若战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为(　　)

A.      B．0

C.      D. 

5．(单选)(2014·衡水质检)如图所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，悬线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动悬线紧贴着桌子的边缘以水平速度v匀速运动，当光盘由A位置运动到图中虚线所示的B位置时，悬线与竖直方向的夹角为θ，此时铁球(　　)

A．竖直方向速度大小为vcos θ

B．竖直方向速度大小为vsin θ

C．竖直方向速度大小为vtan θ

D．相对于地面速度大小为v

第二节　抛体运动

一、平抛运动

1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在______作用下所做的运动，叫平抛运动．

2．性质：平抛运动是加速度恒为____________的________曲线运动，轨迹是抛物线．

二、平抛运动的规律

以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴建立平面直角坐标系，则

1．水平方向：做__________运动，速度：vx＝______，位移：x＝________.

2．竖直方向：做__________运动，速度：vy＝______，位移：y＝______.

3．合运动

(1)合速度：v＝＝__________，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝＝________.

(2)合位移：x合＝＝，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝＝______.

三、斜抛运动

1．定义：将物体以一定的初速度沿____________抛出，物体仅在______的作用下所做的运动．

2．性质：加速度恒为____的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．

3．处理方法：斜抛运动可以看成是水平方向上的__________运动和竖直方向上的______________运动的合成．,1.(多选)对平抛运动，下列说法正确的是(　　)

A．平抛运动是加速度大小、方向不变的曲线运动

B．做平抛运动的物体，在任何相等的时间内位移的增量都是相等的

C．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动

D．落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关

2－1.

(多选)(2012·高考新课标全国卷)如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的．不计空气阻力，则(　　)

A．a的飞行时间比b的长

B．b和c的飞行时间相同

C．a的水平速度比b的小

D．b的初速度比c的大

2－2.(单选)一个物体以初速度v0水平抛出，落地速度为v，那么物体的运动时间是(　　)

A．(v－v0)/g　　　　　　    B．(v＋v0)/g

C. /g  D. /g

3．(单选)做斜抛运动的物体，到达最高点时(　　)

A．速度为零，加速度向下

B．速度为零，加速度为零

C．具有水平方向的速度和竖直向下的加速度

D．具有水平方向的速度和加速度

　　　　　　　平抛运动的基本规律及应用

1．飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．

2．水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．

3．落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．

4．速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示．

5．两个重要推论

(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙中A点和B点所示．

(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.

(单选)(2014·济南模拟)如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)

A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ

B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为

C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长

D．若小球初速度增大，则θ减小

[思路点拨]　(1)已知下落时间可以求出哪些物理量？

(2)已知合速度与水平方向的夹角，画出合速度分解图．

[尝试解答]　________

1．(多选)(原创题)2013年11月9日，武汉飞镖协会主办了第一届飞镖大赛．某运动员前后两次从同一位置水平投出飞镖1和飞镖2到靶盘上，飞镖落到靶盘上的位置如图所示，忽略空气阻力，则两支飞镖在飞行过程中(　　)

A．加速度a1>a2　　　　　　    B．飞行时间t1C．初速度v1>v2      D．角度θ1<θ2

　　　　　　　与斜面相关联的平抛运动

　斜面上的平抛问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下：

滑雪比赛惊险刺激，如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，不计空气阻力(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80；g取10 m/s2)．求：

(1)A点与O点的距离L；

(2)运动员离开O点时的速度大小；

(3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间．

[思路点拨]　

(1)运动员落到斜坡上，合位移与水平方向的夹角为多少？这个夹角与落在斜面上的位置有无关系？

(2)当运动员的速度方向与斜坡有什么位置关系时，离斜坡最远？

[课堂笔记]

[名师归纳]　与斜面有关的平抛运动问题分为两类：

(1)从斜面上某点抛出又落到斜面上，位移与水平方向夹角等于斜面倾角；

(2)从斜面外抛出的物体落到斜面上，注意找速度方向与斜面倾角的关系．

2.

(多选)(2013·高考上海卷)如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出(　　)

A．轰炸机的飞行高度　　　　　    B．轰炸机的飞行速度

C．的飞行时间      D．投出时的动能

　　　　　　　与圆轨道关联的平抛运动

　在竖直半圆内进行平抛时，圆的半径和半圆轨道对平抛运动形成制约．画出轨迹和落点相对圆心的位置，利用几何关系和平抛运动规律求解．

如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆．ab为沿水平方向的直径．若在a点以初速度v0沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c点．已知c点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径．

[课堂笔记]

3.

(多选)如图，从半径为R＝1 m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g＝10 m/s2，则小球的初速度v0可能为(　　)

A．1 m/s      B．2 m/s

C．3 m/s      D．4 m/s

　类平抛运动模型

————————————该得的分一分不丢！

　(1)质点在x轴方向上无外力作用做匀速直线运动，在y轴方向受恒力F作用做匀加速直线运动．(1分)

由牛顿第二定律得：a＝＝m/s2＝15 m/s2.(2分)

设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(xP，yP)，则xP＝v0t，yP＝at2，又tan α＝(2分)

联立解得：t＝1 s，xP＝10 m，yP＝7.5 m．(1分)

(2)质点经过P点时沿y方向的速度

vy＝at＝15 m/s(2分)

故P点的速度大小vP＝＝5 m/s.(2分)

[答案]　(1)1 s　(10 m,7.5 m)　(2)5 m/s

[建模感悟]　类平抛运动模型

(1)受力特点

物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．

(2)运动特点

在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝.

(3)求解技巧

①常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此，互不影响，且与合运动具有等时性．

②特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．

4．(单选)

如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a、c两小球在斜面顶端，两斜面间距大于小球直径．若同时由静止释放，a、b、c小球到达水平面的时间分别为t1、t2、t3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t′1、t′2、t′3.下列关于时间的关系不正确的是(　　)

A．t1＞t3＞t2　　　　　　    B．t1＝t′1、t2＝t′2、t3＝t′3

C．t′1＞t′3＞t′2      D．t1＜t′1、t2＜t′2、t3＜t′3

一 高考题组

1.

(多选)(2013·高考江苏卷)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同. 空气阻力不计，则(　　)

A．B的加速度比A的大

B．B的飞行时间比A的长

C．B在最高点的速度比A在最高点的大

D．B在落地时的速度比A在落地时的大

2．(单选)

(2013·高考北京卷)在实验操作前应该对实验进行适当的分析．研究平抛运动的实验装置示意图如图所示．小球每次都从斜槽的同一位置无初速释放，并从斜槽末端水平飞出．改变水平板的高度，就改变了小球在板上落点的位置，从而可描绘出小球的运动轨迹．某同学设想小球先后三次做平抛运动，将水平板依次放在如图1、2、3的位置，且1与2的间距等于2与3的间距．若三次实验中，小球从抛出点到落点的水平位移依次为x1、x2、x3，机械能的变化量依次为ΔE1、ΔE2、ΔE3，忽略空气阻力的影响，下面分析正确的是(　　)

A．x2－ x1＝x3－x2，ΔE1＝ΔE2＝ΔE3

B．x2－ x1>x3－x2，ΔE1＝ΔE2＝ΔE3

C．x2－ x1>x3－x2，ΔE1<ΔE2<ΔE3

D．x2－ x13.

(多选)(2012·高考江苏卷)如图所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h(l、h均为定值)．将A向B水平抛出的同时，B自由下落．A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则(　　)

A．A、B在第一次落地前能否相碰，取决于A的初速度

B．A、B在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰

C．A、B不可能运动到最高处相碰

D．A、B一定能相碰

二 模拟题组

4.

(单选)(2014·河北邢台质检)如图所示，在斜面顶端的A点以速度v平抛一小球，经t1时间落到斜面上B点处，若在A点将此小球以速度0.5v水平抛出，经t2时间落到斜面上的C点处，以下判断正确的是(　　)

A．AB∶AC＝2∶1　　　　　　    B．AB∶AC＝4∶1

C．t1∶t2＝4∶1      D．t1∶t2＝∶1

5.

(单选)(2014·湖北八校联考)如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球初速度之比为(　　)

A．tan α      B．cos α

C．tan α      D．cos α

三 选做题

6.

(多选)(原创题)如图所示，两个物体以相同大小的初速度从O点同时分别向x轴正、负方向水平抛出，它们的轨迹恰好满足抛物线方程y＝x2，那么以下说法正确的是(　　)

A．物体被抛出时的初速度为

B．物体被抛出时的初速度为

C．两个物体抛出后，经时间t二者相距为t

D．两个物体抛出后，经时间t二者与O点所构成的三角形面积为gt3

一、描述圆周运动的物理量

1．线速度：描述物体圆周运动的快慢，v＝＝______.

2．角速度：描述物体转动的快慢，ω＝＝______.

3．周期和频率：描述物体__________，T＝，T＝.

4．向心加速度：描述____________变化的快慢．

an＝rω2＝＝ωv＝r.

5．向心力：作用效果产生__________，Fn＝man.

二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动的比较

1．定义：做____运动的物体，在合力________或者________提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐______圆心的运动．

2．原因：做圆周运动的物体，由于本身的______，总有沿着圆周______方向飞出去的倾向．

3．供需关系与运动

如图所示，F为实际提供的向心力，则

(1)当________时，物体做匀速圆周运动；

(2)当________时，物体沿切线方向飞出；

(3)当________时，物体逐渐远离圆心；

(4)当________时，物体逐渐靠近圆心．,1－1.(单选)甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则(　　)

A．ω1＞ω2，v1＞v2      B．ω1＜ω2，v1＜v2

C．ω1＝ω2，v1＜v2      D．ω1＝ω2，v1＝v2

1－2.(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则(　　)

A．角速度为0.5 rad/s

B．转速为0.5 r/s

C．轨迹半径为m

D．加速度大小为4π m/s2

2．(多选)下列关于圆周运动的说法正确的是(　　)

A．匀速圆周运动是匀变速曲线运动

B．向心加速度大小不变，方向时刻改变

C．当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动

D．做变速圆周运动的物体，只有在某些特殊位置，合力方向才指向圆心

3.

(多选)(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处(　　)

A．路面外侧高内侧低 

B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动 

C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动

D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc 的值变小 

　　　　　　　圆周运动中的运动学分析

1．对公式v＝ωr的理解

当r一定时，v与ω成正比．

当ω一定时，v与r成正比．

当v一定时，ω与r成反比．

2．对a＝＝ω2r＝ωv的理解

在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．

 特别提醒：在讨论v、ω、r之间的关系时，应运用控制变量法．

(单选)(2014·桂林模拟)如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的(　　)

A．线速度大小之比为3∶2∶2

B．角速度之比为3∶3∶2

C．转速之比为2∶3∶2

D．向心加速度大小之比为9∶6∶4

[思路点拨]　(1)A、B两轮是什么类型的传动？a、b两点哪个量相等？

(2)B、C两轮是什么关系？b、c两点的什么量相等？

[尝试解答]　________

[规律总结]　高中阶段常见的传动装置的特点：

(1)同轴传动：角速度相等．

(2)齿轮传动、皮带传动和摩擦传动(不打滑)：两轮边缘上线速度大小相等．

1．(多选)

(2014·郑州一中高三质检)如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在转动过程中，皮带不打滑，则(　　)

A．a点与b点的线速度大小相等

B．a点与b点的角速度大小相等

C．a点与c点的线速度大小相等

D．a点与d点的向心加速度大小相等

　　　　　　　水平面内的圆周运动

1．水平面内的圆周运动一般为匀速圆周运动，物体所受合力方向指向圆心，大小不变．

2．重力对向心力没有贡献，向心力一般来自弹力、摩擦力或电磁力．

3．涉及静摩擦力时，常出现临界和极值问题．

如图所示，质量M＝0. kg的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，M用细绳通过光滑的定滑轮与质量为m＝0.3 kg的物体相连．假定M与轴O的距离r＝0.2 m，与平台的最大静摩擦力为2 N．为使m保持静止状态，水平转台做圆周运动的角速度ω应在什么范围？(取g＝10 m/s2)

[思路点拨]　M刚好不向外滑动时静摩擦力的方向如何？M刚好不向O点滑动时静摩擦力的方向如何？

[课堂笔记]

[规律总结]　范围类问题一般可归结为是求最大值和最小值，静摩擦力是被动力，大小在一定范围内变化，这样就决定了角速度有一定的范围．

2.

(单选)(2014·琼海模拟)如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动．当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是(　　)

A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了

B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了

C．物体所受弹力增大，摩擦力不变

D．物体所受弹力和摩擦力都减小了

　　　　　　　竖直面内的圆周运动

1．物体在竖直平面内的圆周运动有匀速圆周运动和变速圆周运动两种．

2．只有重力做功的竖直面内的圆周运动一定是变速圆周运动，遵守机械能守恒．

3．竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题．

4．一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形．

(单选)(2014·信阳模拟)如图所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，则(　　)

A．若盒子在最高点时，盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为2π

B．若盒子以周期π做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O点位于同一水平面位置时，小球对盒子左侧面的力为4mg

C．若盒子以角速度2做匀速圆周运动，则当盒子运动到最高点时，小球对盒子的下面的力为3mg

D．盒子从最低点向最高点做匀速圆周运动的过程中，球处于超重状态；当盒子从最高点向最低点做匀速圆周运动的过程中，球处于失重状态

[尝试解答]　________

3.

(单选)(2014·西安模拟)如图所示，质量为m的物块从半径为R的半球形碗边向碗底滑动，滑到最低点时的速度为v，若物块滑到最低点时受到的摩擦力是Ff，则物块与碗的动摩擦因数为(　　)

A.　　　　　　　　　    B. 

C.      D. 

　圆锥摆模型的应用

1．模型特征

在重力和弹力(可以是支持力，也可以是绳子的拉力)的合力提供向心力的情况下，物体在水平面内做匀速圆周运动，这一类问题属于圆锥摆模型．

2．模型规律

(1)圆锥摆的向心加速度a＝gtan α

设摆球质量为m，摆线长为L，摆线与竖直方向夹角为α，由图可知，

F合＝mgtan α

又F合＝ma向，

故a向＝gtan α

可见摆球的向心加速度完全由α决定，与摆线长无关，即与运动的半径无关．

(2)圆锥摆的周期T＝2π

由F合＝m·Lsin α和F合＝mgtan α可推理得圆锥摆的周期T＝2π

设摆球圆周运动的平面到悬点的距离为h，则h＝Lcos α，

故T＝2π

由此可见，圆锥摆的周期完全由悬点到运动平面的距离决定，与小球的质量、摆线长度无关．

　[解析]　根据上述规律可知，此题中的A、B两小球实际上是具有相同的向心加速度，根据a＝＝Rω2＝可知，加速度相同时，半径越大，线速度越大，角速度越小，周期越大，即由RA＞RB，可知vA＞vB，ωA＜ωB，TA＞TB，则选项A、B正确，C错误．由于A、B质量相同，在相同的倾斜面上，则向心力相等，进一步可知两球所受的弹力相等，故可知选项D错误．

[答案]　AB

[题后悟道]　比较两个圆周运动的各物理量之间关系时，实际上就是找出两个圆周运动之间存在的隐含的相同因素，然后用控制变量法即可判断各物理量的关系．而上述两类特殊规律正是反映了不同圆周运动之间的相同因素，是分析圆周运动问题经常遇到的类型，希望同学们能够掌握．

4．(单选)如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)

A．A的速度比B的大

B．A与B的向心加速度大小相等

C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等

D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小

　竖直平面内圆周运动的“轻杆、轻绳”模型

1．模型概述

在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．

2．模型特点

该类问题常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现对两种模型分析比较如下：

　[解析]　设小球的质量为m，经过最低点时速度大小为v1，小球恰好能通过圆环的最高点，则在最高点时，小球对圆环的压力为零，由重力提供向心力，即mg＝m，由最高点运动到最低点，根据机械能守恒定律得mg·2R＋mv2＝mv，在最低点，根据牛顿第二定律得FN－mg＝m，联立以上各式解得FN＝6mg，根据牛顿第三定律可知，小球在轨道最低点处对轨道的压力大小为6mg，选项D正确．

[答案]　D

[名师指津]　竖直面内圆周运动的求解思路

(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体．

(2)确定临界点：v临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点．

(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况．

(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合＝F向．

(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程．

5.

(单选)(2014·杭州四中统测)有一长度为L＝0.50 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0 kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速度是2.0 m/s，g取10 m/s2，则此时细杆OA受到(　　)

A．6.0 N的拉力　　　　    B．6.0 N的压力

C．24 N的拉力      D．24 N的压力

　平抛运动与圆周运动的组合问题

————————————该得的分一分不丢！

　(1)小球从A到B过程机械能守恒，有

mgh＝mv①(3分)

小球从B到C做平抛运动，在竖直方向上有

H＝gt2②(2分)

在水平方向上有s＝vBt③(2分)

由①②③式解得s＝1.41 m．④(2分)

(2)小球下摆到达B点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有F－mg＝m⑤(3分)

由①⑤式解得F＝20 N⑥(2分)

根据牛顿第三定律得F′＝－F

故轻绳所受的最大拉力为20 N．(1分)

[答案]　(1)1.41 m　(2)20 N

[总结提升]　平抛运动与圆周运动的组合题，用平抛运动的规律求解平抛运动问题，用牛顿定律求解圆周运动问题，关

键是找到两者的速度关系．若先做圆周运动后做平抛运动，则圆周运动的末速等于平抛运动的水平初速；若物体平抛后进入圆轨道，圆周运动的初速等于平抛末速在圆切线方向的分速度．

6.

(多选)如图所示，AB为半径R＝0.50 m的四分之一圆弧轨道，B端距水平地面的高度h＝0.45 m．一质量m＝1.0 kg的小滑块从圆弧轨道A端由静止释放，到达轨道B端的速度v＝2.0 m/s.忽略空气的阻力．取g＝10 m/s2.则下列说法正确的是(　　)

A．小滑块在圆弧轨道B端受到的支持力大小FN＝16 N

B．小滑块由A端到B端的过程中，克服摩擦力所做的功W＝3 J

C．小滑块的落地点与B点的水平距离x＝0.6 m

D．小滑块的落地点与B点的水平距离x＝0.3 m

一 高考题组

1.

(多选)(2012·高考广东卷)如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数FN表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有(　　)

A．FN小于滑块重力　　　　　　    B．FN大于滑块重力

C．FN越大表明h越大      D．FN越大表明h越小

2．(单选)

(2011·高考安徽卷)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是(　　)

A.      B. 

C.      D. 

3．(2011·高考北京卷)如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m的小球(小球的大小可以忽略)．

(1)在水平拉力F的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α，小球保持静止．画出此时小球的受力图，并求力F的大小；

(2)由图示位置无初速释放小球，求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力．不计空气阻力．

二 模拟题组

4．(多选)(改编题)英国特技演员史蒂夫·特鲁加里亚曾飞车挑战世界最大环形车道．如图所示，环形车道竖直放置，直径达12 m，若汽车在车道上以12 m/s恒定的速率运动，演员与汽车的总质量为1 000 kg，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)

A．汽车通过最低点时，演员处于超重状态

B．汽车通过最高点时对环形车道的压力为1.4×104 N

C．若要挑战成功，汽车不可能以低于12 m/s的恒定速率运动

D．汽车在环形车道上的角速度为1 rad/s

5.

(多选)(2014·长春调研)如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，在其内壁上有两个质量相同的小球(可视为质点)A和B，在两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α＝53°和β＝37°，以最低点C所在的水平面为重力势能的参考平面，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　)

A．A、B两球所受支持力的大小之比为4∶3

B．A、B两球运动的周期之比为4∶3

C．A、B两球的动能之比为16∶9

D．A、B两球的机械能之比为112∶51

一、万有引力定律

1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成______，与它们之间距离r的二次方成______.

2．公式：F＝______，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.

3．适用条件：严格地说，公式只适用于______间的相互作用，当两个物体间的距离________物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，其中r是________间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为________到质点间的距离．

二、三种宇宙速度

三、经典力学的时空观和相对论时空观

1．经典时空观

(1)在经典力学中，物体的质量是不随______的改变而改变的．

(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是________的．

2．相对论时空观

同一过程的位移和时间的测量与参考系______，在不同的参考系中______.

3．经典力学的适用范围

只适用于______运动，不适用于______运动；只适用于宏观世界，不适用于______世界．,1－1.(单选)关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是(　　)

A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体

B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大

C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律

D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的

1－2.(单选)(2012·高考新课标全国卷)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)

A．1－　　　　　　　    B．1＋

C. 2      D. 2

2－1.(单选)嫦娥三号的成功登月再次表明我国已具备火星探测能力，假设我国欲发射一颗探测火星的卫星，其发射速度v应为(　　)

A．7.9 km/s

B．7.9 km/s＜v＜11.2 km/s

C．11.2 km/s＜v＜16.7 km/s

D．v≥16.7 km/s

2－2.(单选)一宇航员在某星球上以速率v0竖直上抛一物体，经t秒落回原处，已知该星球半径为R，那么该星球的第一宇宙速度是(　　)

A.      B. 

C.      D. 

3．(单选)在日常生活中我们并没有发现物体的质量随物体的运动的变化而变化，其原因是(　　)

A．物体运动无法称质量

B．物体的速度远小于光速，质量变化极小

C．物体质量太大

D．物体的质量不随速度变化而变化

　　　　　　　天体质量和密度的估算

1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R

由于G＝mg，故天体质量M＝，

天体密度ρ＝＝＝.

2．利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r

(1)由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；

(2)若已知天体半径R，则天体的平均密度

ρ＝＝＝；

(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．

(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．

(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)

[思路点拨]　(1)行星绕太阳做圆周运动所需向心力是由什么力提供的？

(2)月球绕地球做圆周运动所需向心力是由什么力提供的？

[课堂笔记]

[方法总结]　求解天体质量的基本思路：

(1)建立模型

行星(卫星)绕中心天体的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．

(2)选择公式

G＝m＝mω2r＝mr＝ma

mg＝(g为星体表面处的重力加速度)

1．(单选)(改编题)2013年11月26日，中国探月工程副总指挥李本正在国防科工局举行的嫦娥三号任务首场发布会上宣布，我国首辆月球车——嫦娥三号月球探测器的巡视器全球征名活动结束，月球车得名“玉兔”号．图示是嫦娥三号巡视器和着陆器，月球半径为R0，月球表面处重力加速度为g0.地球和月球的半径之比为＝4，表面重力加速度之比为＝6，地球和月球的密度之比为(　　)

A.　　　　　　　    B. 

C．4       D．6

　　　　　　　卫星的运行参量的计算与比较

1．卫星的动力学规律

由万有引力提供向心力G＝ma向＝m＝mω2r＝m

2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

3．卫星运动中的机械能

(1)只在万有引力作用下卫星绕中心天体做匀速圆周运动和沿椭圆轨道运动，机械能均守恒，这里的机械能包括卫星的动能、卫星(与中心天体)的引力势能．

(2)质量相同的卫星，圆轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．

(多选)(改编题)2013年6月13日13时18分，“天宫一号”目标飞行器与“神舟十号”飞船成功实现自动交会对接．这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来，第3次与神舟飞船成功实现交会对接．如图所示，圆形轨道Ⅰ为“天宫一号”运行轨道，圆形轨道Ⅱ为“神舟十号”运行轨道，在实现交会对接前，“神舟十号”要进行多次变轨，则(　　)

A．“天宫一号”的运行速率大于“神舟十号”在轨道Ⅱ上的运行速率

B．“神舟十号”变轨前比变轨后的机械能要小

C．“神舟十号”可以通过减速而使轨道半径变大

D．“天宫一号”和“神舟十号”对接瞬间的向心加速度相同

[尝试解答]　________

[方法总结]　解决卫星运动参量问题必须明确两点：一是卫星绕地球做匀速圆周运动；二是卫星所需向心力是由地球对它的万有引力提供．

2．(2013·高考上海卷)若两颗人造地球卫星的周期之比为T1∶T2＝2∶1，则它们的轨道半径之比R1∶R2＝________，向心加速度之比a1∶a2＝________.

　　　　　　　三种特殊卫星

1．近地卫星

近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度v＝＝，约为7.9 km/s，其运行周期T＝，约为84 min.

2．极地卫星

极地卫星运行时每圈都经过南北两极，轨道平面通过地心．由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．

3．同步卫星

(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s.

(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．

(4)高度一定：据G＝mr得r＝＝4.24×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)．

(5)速率一定：运动速度v＝2πr/T＝3.07 km/s(为恒量)．

(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致．

(单选)关于在轨卫星，下列说法正确的是(　　)

A．周期T＝24 h的卫星都是同步卫星

B．同步卫星相对地面静止，则它的速度等于赤道上物体的速度

C．近地卫星的速度、加速度都大于同步卫星的速度、加速度

D．所有极地卫星的周期都相同

[尝试解答]　________

3．(单选)(2012·高考北京卷)关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是(　　)

A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期

B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率

C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同

D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合

　　　　　　　卫星(航天器)的变轨问题

　当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行：

(1)当卫星的速度突然增加时，G＜m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝可知其运行速度比原轨道时减小．

(2)当卫星的速度突然减小时，G＞m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝可知其运行速度比原轨道时增大；卫星的发射和回收就是利用这一原理．

(单选)(2014·江西南昌模拟)搭载着3位航天员的神舟九号飞船与在轨运行的天宫一号“牵手”，顺利完成首次载人自动交会对接．交会对接飞行过程分为远距离导引、自主控制、对接等阶段，图示为“远距离导引”阶段．下列说法正确的是(　　)

A．在远距离导引阶段，神舟九号向前喷气

B．在远距离导引阶段，神舟九号向后喷气

C．未开始交会对接前，天宫一号做匀速圆周运动的加速度大于神舟九号

D．天宫—神九组合体绕地球做匀速圆周运动的速度大于7.9 km/s

[尝试解答]　________

4．(多选)(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是(　　)

A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间

B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加

C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低

D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用

　混淆同步卫星、近地卫星、地球赤道上的物体的运动特点

范例　

(单选)如图所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是(　　)

A.＝　　　　　　    B.＝2

C.＝      D.＝

[误区警示]　解本题时容易犯的错误是，不分青红皂白，对近地卫星、同步卫星、地球赤道上的物体均由G＝ma＝m分析得出结论，错选B.

[解析]　本题中涉及三个物体，其已知量排列如下：

地球同步卫星：轨道半径r，运行速率v1，加速度a1；

地球赤道上的物体：轨道半径R，随地球自转的向心加速度a2；

近地卫星：轨道半径R，运行速率v2.

对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，有

G＝m，故＝.

对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，有a＝ω2r，故＝.

[答案]　A

[真知灼见]　卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，而赤道上的物体随地球自转，除受万有引力外，还受地面对它的支持力，即万有引力和支持力的合力提供物体做圆周运动的向心力，所以G＝ma对同步卫星和近地卫星是适用的，但对赤道上的物体并不适用．

　双星模型

————————————该得的分一分不丢！

　(1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的引力大小为F，运行周期为T.根据万有引力定律有

F＝G①(2分)

由匀速圆周运动的规律得F＝m2r②(2分)

F＝M2R③(2分)

由题意有L＝R＋r④(1分)

联立①②③④式得T＝2π.⑤(1分)

(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出

T1＝2π⑥(1分)

式中，M′和m′分别是地球和月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则

G＝m′2L′⑦(2分)

式中，T2为月球绕地心运动的周期，由⑦式得

T2＝2π⑧(1分)

由⑥⑧式得

2＝1＋(1分)

代入题给数据得2＝1.012.(1分)

[答案]　(1)2π　(2)1.012

[建模感悟]　(1)模型概述：在天文学上，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的星体称为双星．

(2)模型规律：①双星系统的周期、角速度相同．

②轨道半径之比与质量成反比．

③双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关．

5．(单选)(2012·高考重庆卷)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的(　　)

A．轨道半径约为卡戎的

B．角速度大小约为卡戎的

C．线速度大小约为卡戎的7倍

D．向心力大小约为卡戎的7倍

一 高考题组

1．(单选)(2013·高考广东卷)如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　)

A．甲的向心加速度比乙的小 

B．甲的运行周期比乙的小

C．甲的角速度比乙的大

D．甲的线速度比乙的大

2．(单选)(2011·高考福建卷)“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的(　　)

A．密度　　　　　　　　　    B．质量

C．半径      D．自转周期

3.

(多选)(2013·高考浙江卷)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是(　　)

A．地球对一颗卫星的引力大小为

B．一颗卫星对地球的引力大小为 

C．两颗卫星之间的引力大小为 

D．三颗卫星对地球引力的合力大小为 

二 模拟题组

4．(单选)(2014·安徽名校联考)第16颗北斗导航卫星是一颗地球静止轨道卫星，它与先期发射的15颗北斗导航卫星组网运行，形成区域服务能力．下列关于第16颗北斗导航卫星的说法正确的是(　　)

A．该卫星正常运行时一定处于赤道正上方，角速度小于地球自转角速度

B．该卫星正常运行时轨道也可以经过地球两极

C．该卫星的速度小于第一宇宙速度

D．如果知道该卫星的周期与轨道半径可以计算出其质量

5.

(单选)(改编题)2013年10月25日我国成功将“实践十六号”卫星送入预定轨道．如图所示，“实践十六号”卫星的发射过程可简化为：卫星发射后，先在椭圆轨道上运行一段时间，再稳定在对应的圆轨道上．稳定后若“实践十六

号”卫星可看做匀速圆周运动，距地高度为h.在椭圆轨道上运行时，地心是其运行的焦点．地球半径为R，质量为M，地球表面重力加速度为g.则下列说法正确的是(　　)

A．“实践十六号”在圆轨道上运行的加速度是

B．“实践十六号”在圆轨道上运行的速度是R

C．“实践十六号”在椭圆轨道上从A到B的运行时间是π

D．“实践十六号”进入圆轨道前需减速

“微讲座”(四)——求极值的六种方法

从近几年高考物理试题来看，考查极值问题的频率越来越高，由于这类试题既能考查考生对知识的理解能力、推理能力，又能考查应用数学知识解决问题的能力，因此必将受到高考命题者的青睐．下面介绍极值问题的六种求解方法．

一、临界条件法

假设未知数，对物理情景和物理过程进行分析，利用临界条件和关系建立方程组．

如图所示，在光滑的圆锥体顶端用长为l的细线悬挂一质量为m的小球．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°.求小球沿圆锥体表面在水平面内做圆周运动的最大速度．

[思路点拨]　小球不离开圆锥表面的临界条件为受到的支持力等于多少？

[解析]　如图所示，小球在锥面上运动，当支持力FN＝0时，小球只受重力mg和线的拉力FT的作用，其合力F应沿水平面指向轴线，由几何关系知F＝mgtan 30°①

又F＝m＝m②

由①②两式解得vm＝.

[答案]　 

二、二次函数极值法

对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，当a＞0时，y有最小值ymin＝，当a＜0时，y有最大值ymax＝.也可以采取配方法求解．

一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车．试求：

汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

[解析]　设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则

自行车的位移：x自＝v自t

汽车的位移：x汽＝at2

则t时刻两车的距离Δx＝v自t－at2

代入数据得：Δx＝－t2＋6t

当t＝s＝2 s时，Δx有最大值

Δxm＝m＝6 m.

对Δx＝－t2＋6t也可以用配方法求解：

Δx＝6－(t－2)2

显然，当t＝2 s时，Δx最大为6 m.

[此题也可用临界法求解．]

[答案]　见解析

三、三角函数法

某些物理量之间存在着三角函数关系，可根据三角函数知识求解极值．

质量为m的物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，求维持物体做匀速运动的最小拉力．

[解析]　物体受力如图．

由平衡条件得：

F·cos θ＝Ff①

F·sin θ＋FN＝mg②

又Ff＝μFN③

联立①②③得：F＝

令sin α＝，cos α＝

则F＝

当sin(α＋θ)＝1时，Fmin＝.

[答案]　 

四、图解法

此种方法一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题，运动的合成问题，都是应用点到直线的距离最短求最小值．

(原创题)用图解法求例3中的最小拉力．

[解析]　由＝μ知，不论Ff、FN为何值，其比值恒定

由图知＝μ＝tan α，即F′的方向是确定的．

由平衡条件推论可知：mg、F′、F构成闭合三角形．

显然，当F⊥F′时，F最小．

Fmin＝mgsin α＝mg＝.

[答案]　 

五、均值不等式法

任意两个正整数a、b，若a＋b＝恒量，当a＝b时，其乘积a·b最大；若a·b＝恒量，当a＝b时，其和(a＋b)最小．

小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力．

(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.

(2)问绳能承受的最大拉力多大？

(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

[解析]　(1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有竖直方向d＝gt2，水平方向d＝v1t

解得v1＝

由机械能守恒定律有mv＝mv＋mg

得v2＝.

(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小

球做圆周运动的半径为R＝d

由圆周运动向心力公式，有FT－mg＝

得FT＝mg.

(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，有FT－mg＝m得v3＝

绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t1有d－l＝gt，x＝v3t1

得x＝4

当l＝时，x有极大值xmax＝d.

[答案]　见解析

六、判别式法

一元二次方程的判别式Δ＝b2－4ac≥0时有实数根，取等号时为极值，在列出的方程数少于未知量个数时，求解极值问题常用这种方法．

(原创题)如图所示，顶角为2θ的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，现有质量为m，带电量为－q的小球，沿圆锥面在水平面内做圆周运动，求小球做圆周运动的最小半径．

[解析]　小球受力如图，设小球做圆周运动的速率为v，轨道半径为R.

由牛顿第二定律得：

水平方向：qvB－FNcos θ＝

竖直方向：FNsin θ－mg＝0

两式联立得：

－qvB＋mg

cot θ＝0

因为速率v为实数，故Δ≥0

即(qB)2－4mgcot θ≥0

解得：R≥

故最小半径为：Rmin＝.

[答案]　 

1．(单选)

如图所示，河宽200 m，一条小船要将货物从A点运送到河对岸的B点，已知AB连线与河岸的夹角θ＝30°，河水的流速v水＝5 m/s，小船在静水中的速度至少是(　　)

A．2 m/s　　　　　　　    B．2.5 m/s

C．3 m/s      D．5 m/s

2．(单选)

如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处放置一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为(　　)

A．α＝θ      B．α＝

C．α＝      D．α＝2θ

3．甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L1＝11 m处，乙车速度v乙＝60 m/s，甲车速度v甲＝50 m/s，此时乙车离终点线尚有L2＝600 m，如图所示．若甲车加速运动，加速度a＝2 m/s2，乙车速度不变，不计车长．求：

(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？

(2)到达终点时甲车能否超过乙车？

4．(原创题)

如图，有几个底边长度均为L、倾角不同的光滑斜面，将一物体从斜面顶端由静止释放滑到底端，当倾角α为多少时用时最短？最短时间为多少？

5.

(原创题)一人在距公路垂直距离为h的B点(垂足为A)，公路上有一辆以速度v1匀速行驶的汽车向A点行驶，当汽车距A点距离为L时，人立即匀速跑向公路拦截汽车，求人能拦截住汽车的最小速度．

6．(2012·高考大纲全国卷)一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状．此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面．如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系xOy.已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y＝x2；探险队员的质量为m.人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.

(1)求此人落到坡面时的动能；

(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？

7．(原创题)

如图所示，电动势为E、内阻为r的电源给一可变电阻供电，已知可变电阻变化范围为0～Rm，且Rm>r.当R为何值时功率最大，最大功率为多少？

热点强化突破(四)

热点1　平抛运动与圆周运动的综合问题

综合考查平抛运动和圆周运动，是近几年高考命题的热点．试题可分为两类：一是物体先做平抛运动后做圆周运动；二是物体先做圆周运动后做平抛运动．关键点都是两种运动衔接点处的速度关系．

1．(多选)(2012·高考浙江卷)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是(　　)

A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2

B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2

C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H＞2R

D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝R 

2．(2014·广州模拟)如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动．已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L.不计空气阻力．

(1)求小球通过最高点A时的速度vA；

(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力FT恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到C点的距离．

3.

如图所示，半径R＝0.8 m的1/4光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，过最低点的半径OC处于竖直位置，在其右方有一可绕竖直轴MN(与圆弧轨道共面)转动的、内部空心的圆筒，圆筒半径r＝m，筒的顶端与C点等高，在筒的下部有一小孔，离筒顶的高度h＝0.8 m，开始时小孔在图示位置(与圆弧轨道共面)．现让一质量m＝0.1 kg的小物块自A点由静止开始下落，打在圆弧轨道上的B点，但未反弹，在瞬间的碰撞过程中小物块沿半径方向的分速度立刻减为零，而沿圆弧切线方向的分速度不变．此后，小物块沿圆弧轨道滑下，到达C点时触动光电装置，使圆筒立刻以某一角速度匀速转动起来，且小物块最终正好进入小孔．已知A点、B点到圆心O的距离均为R，AO、BO与水平方向的夹角θ均为30°，不计空气阻力，g取10 m/s2.试求：

(1)小物块到达C点时的速度大小是多少？

(2)圆筒匀速转动时的角速度是多少？

(3)要使小物块进入小孔后能直接打到圆筒的内侧壁，筒身长L至少为多少？

热点2　万有引力定律的应用

万有引力定律的应用是每年高考的必考内容，命题重点主要有二个：一是以现代航天成果为背景考查人造卫星问题；二是与圆周运动和牛顿第二定律综合起来考查．

4．(多选)(2014·苏北四市调研)设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，宇航员测出飞船绕行n圈所用的时间为t.登月后，宇航员利用身边的弹簧秤测出质量为m的物体重力为G1.已知引力常量为G，根据以上信息可得到(　　)

A．月球的密度　　　　　　　    B．飞船的质量

C．月球的第一宇宙速度      D．月球的自转周期

5．(单选)假设宇宙中存在质量相等的三颗星体且分布在一条直线上，其中两颗星体围绕的星体转动，假设两颗星体做圆周运动的半径为R，每个星体的质量均为m，引力常量为G.忽略其他星体对该三颗星体的作用．则做圆周运动的星体的线速度大小为(　　)

A.      B. 

C.      D. 

6.

(单选)2013年6月，我国成功实现目标飞行器“神舟十号”与轨道空间站“天宫一号”的对接．如图所示，已知“神舟十号”从捕获“天宫一号”到实现对接用时为t，这段时间内组合体绕地球转过的角度为θ，地球半径为R，重力加速度为g，则该过程中组合体所在圆轨道离地高度H为(　　)

A.      B. 

C.－R      D.－R

7．(2014·湖南五市十校联考)两个行星各有一个卫星绕其表面运行，已知两个卫星的周期之比为1∶3，两行星半径之比为3∶1，则：

(1)两行星密度之比为多少？

(2)两行星表面处的重力加速度之比为多少？

第四章

第一节

 基础再现·对点自测 

切线　方向　加速度　合力　加速度

实际效果　正交分解　平行四边形

相等

[自我校对]　1.D　2－1.B　2－2.A

 考点透析·讲练互动 

【例1】[解析]由曲线运动的轨迹夹在合外力与速度方向之间，对M、N点进行分析，在M点恒力可能如图甲，在N点可能如图乙．综合分析知，恒力F只可能如图丙，所以开始时恒力与速度的夹角为钝角，后来夹角为锐角，故速度先减小后增大，D项正确．

[答案]D

【突破训练1】[解析]选A.根据题意，物体开始做匀速直线运动，物体所受的合外力一定为零，突然撤去F2后，物体所受其余力的合力与F2大小相等，方向相反，而物体速度的方向未知，故有很多种情况：若速度和F2在同一直线上，物体做匀变速直线运动，若速度和F2不在同一直线上，物体做曲线运动，A正确．

【例2】[解析]由分运动的位移公式有：y＝v0t，x＝at2，则t＝s＝2 s，a＝2 cm/s2，vx＝at＝2×2 cm/s＝4 cm/s，合速度v＝＝5 cm/s.

R的初速度与合外力方向垂直，做类平抛运动，合外力(加速度)方向沿x轴正方向，故轨迹向x轴正方向弯曲，D项正确．

[答案]5　D

【突破训练2】[解析]选B.伤员在竖直方向的位移为h＝H－l＝5t(m)，所以伤员的竖直分速度为v1＝5 m/s；由于竖直方向做匀速直线运动，所以伤员被拉到直升机内的时间为t＝＝s＝10 s，故A错误，B正确；伤员在水平方向的分速度为v0＝10 m/s，所以伤员的速度为v＝＝m/s＝5 m/s，故C、D均错误．

 技法提炼·思维升华 

【突破训练3】[解析]选B.由于河宽d＝80 m，A、B间沿水流方向的距离为l＝100 m，所以当船头指向正对岸时有＝，此时合速度刚好沿AB的连线，可以使船从A运动到B，若从B向A运动，则由于水速大于船速，船不论向哪个方向，均不可能回到A点，只可能向下游运动，故选项B正确．

【突破训练4】[解析]选AD.由于绳连接体沿绳方向的速度大小一定，因此vcos α＝vBcos β，解得vB＝v，A项正确，B项错误；在β增大到90°的过程中，α在减小，因此B球的速度在增大，B球在做加速运动，C项错误，D项正确．

 高效演练·轻松闯关 

1.

[解析]选C.如图，把人的速度沿绳和垂直绳的方向分解，由三角形知识，v船＝vcos α，所以C正确，A、B、D错误．

2．[解析]选C.设水流的速度为v水，两人在静水中的速度为v人，从题意可知v人＞v水，OA＝OB＝L，对甲同学t甲＝＋，对乙同学来说，要想垂直到达B点，其速度方向要指向上游，并且来回时间相等，即

t乙＝，

则t－t＝2＞0，

即t甲＞t乙，C正确．

3．D

4．[解析]选C.由分运动的性可知，摩托艇垂直于河岸航行时，渡河时间最短，为t＝，所以摩托艇登陆处距O点的距离为L＝v1t＝，选项C正确．

5．[解析]选B.

光盘的速度是水平向右的，将该速度沿绳和垂直于绳的方向分解，如图所示，沿绳方向的分量v′＝vsin θ，这就是桌面以上绳子变长的速度，也等于铁球上升的速度，B正确；由题意可知铁球在水平方向上速度与光盘相同，竖直方向速度为vsin θ，可得铁球相对于地面速度大小为v，D错误．

第二节

 基础再现·对点自测 

重力　重力加速度g　匀变速　匀速直线　v0　v0t　自由落体　gt　gt2

　　　斜向上或斜向下　重力　g　匀速直线　匀变速直线

[自我校对]　1.AC　2－1.BD　2－2.C　3.C

 考点透析·讲练互动 

【例1】[解析]

速度、位移分解如图

vy＝gt，v0＝＝，故A错．

设位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α，α≠，故B错．平抛时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C错．由tan θ＝知，v0增大θ减小，D正确．

[答案]D

【突破训练1】[解析]选BC.飞镖做平抛运动，加速度相同，都为重力加速度，A错误；飞行时间由竖直分运动(自由落体运动)决定，飞镖2的下落高度大，飞行时间长，B正确；飞行时间取相同时，飞镖2的水平位移小，故其初速度小，C正确；飞镖2的初速度小，落到靶盘上时的竖直分速度大，故其合速度方向θ2小，D错误．

【例2】[解析](1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有

Lsin 37°＝gt2，

L＝＝75 m.

(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，

有Lcos 37°＝v0t，

即v0＝＝20 m/s.

(3)法一：运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v0cos 37°、加速度为gsin 37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v0sin 37°、加速度为gcos 37°)．

当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡距离最远，有v0sin 37°＝gcos 37°·t，解得t＝1.5 s.

法二：当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37°时，运动员与斜坡距离最远，有＝tan 37°，t＝1.5 s.

[答案](1)75 m　(2)20 m/s　(3)1.5 s

【突破训练2】[解析]选ABC.设轰炸机投弹位置高度为H，水平位移为x，则H－h＝vy·t，x＝v0t，二式相除＝·，因为＝，x＝，所以H＝h＋，A正确；根据H－h＝gt2可求出飞行时间，再由x＝v0t可求出飞行速度，故B、C正确；不知道质量，不能求出的动能，D错误．

【例3】[解析]

如图所示，h＝，则Od＝R

小球做平抛运动的水平位移

x＝R＋R

竖直位移y＝h＝

又y＝gt2，x＝v0t

联立以上各式解得R＝.

[答案] 

【突破训练3】[解析]

选AD.由于小球经0.4 s落到半圆上，下落的高度h＝gt2＝0.8 m，位置可能有两处，如图所示：

第一种可能：小球落在半圆左侧，

v0t＝R－＝0.4 m，v0＝1 m/s

第二种可能：小球落在半圆右侧，

v0t＝R＋＝1.6 m，v0＝4 m/s，选项A、D正确．

 技法提炼·思维升华 

【突破训练4】D

 高效演练·轻松闯关 

1．[解析]选CD.两球加速度都是重力加速度g，A错误；飞行时间t＝2，h相同则t相同，B错误；水平位移x＝vx·t，在t相同情况下，x越大说明vx越大，C正确；落地速度v＝，两球落地时竖直速度vy相同，可见vx越大，落地速度v越大，D正确．

2．[解析]选B.由题意知，1、2间距等于2、3间距，由于竖直方向是匀加速运动，故t12＞t23，又因为水平方向为匀速运动，故x2－x1＞x3－x2；忽略空气阻力，平抛运动中，机械能守恒，故ΔE1＝ΔE2＝ΔE3＝0，所以B选项正确．

3．[解析]选AD.A的竖直分运动也是自由落体运动，故与B的运动时间始终相同．A、B若能在第一次落地前相碰，必须满足v·t＞l，t＝，即取决于A的初速度，故A正确．若A、B在第一次落地前未碰，则由于A、B反弹后的竖直分运动仍然相同，且A的水平分速度不变，所以A、B一定能相碰，而且在B运动的任意位置均可能相碰，故B、C项均错，D项正确．

4．[解析]选B.由平抛运动规律有：x＝v0t，y＝gt2，则tan θ＝＝，将两次实验数据均代入上式，联立解得t1∶t2＝2∶1，C、D项均错．它们竖直位移之比yB∶yC＝gt∶gt＝4∶1，所以AB∶AC＝∶＝4∶1，故A错误，B正确．

5．[解析]选C.两小球被抛出后都做平抛运动，设容器半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2，对A球：Rsin α＝v1t1，Rcos α＝gt；对B球：Rcos α＝v2t2，Rsin α＝gt，解四式可得：＝tan α，C项正确．

6．[解析]选AC.根据平抛运动规律x＝v0t，y＝gt2，解得y＝x2，对比已知条件y＝x2可知＝，因此物体的初速度为v0＝，A正确，B错误；两个物体抛出后，经时间t二者相距s＝2x＝2t＝t，C正确；两个物体抛出后，经时间t二者与O点所构成的三角形面积为s×gt2＝gt3，D错误．

第三节

 基础再现·对点自测 

　　转动的快慢　线速度方向　向心加速度　圆周　突然消失　不足以

远离　惯性　切线　F＝mω2r　F＝0

Fmω2r

[自我校对]　1－1.C　1－2.BCD　2.CD　3.AC

 考点透析·讲练互动 

【例1】[解析]A、B轮摩擦传动，故va＝vb，ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝3∶2；B、C同轴，故ωb＝ωc，＝，vb∶vc＝3∶2，因此va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，故A、B错误．

转速之比等于角速度之比，故C错误．

由a＝ωv得：aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，D正确．

[答案]D

【突破训练1】[解析]选CD.va＝vc＞vb，故A错C对；由ω＝知：ωa＞ωb，B错；ωa∶ωc＝2∶1，ωc＝ωd，则ωa＝2ωd，由a＝ω2·R得aa＝ad，D正确．

【例2】[解析]m保持静止状态时，M做圆周运动的半径不变，M的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供，由于静摩擦力的大小、方向不定，所以存在临界问题．

当ω最小时，M受到的最大静摩擦力的方向与拉力的方向相反，则有mg－Fmax＝Mωr

代入数据得ω1＝2.80 rad/s

当ω增大时，静摩擦力减小，

当ω′＝4.84 rad/s时，静摩擦力为零．

当ω继续增大时，M受到的静摩擦力方向反向，与拉力方向相同，静摩擦力与拉力的合力提供做圆周运动的向心力．

当ω最大时有mg＋Fmax＝Mωr

代入数据得ω2＝6.25 rad/s

因此ω的取值范围为2.80 rad/s≤ω≤6.25 rad/s.

[答案]2.80 rad/s≤ω≤6.25 rad/s

【突破训练2】C

【例3】[解析]盒子与小球之间恰好无作用力，即重力提供向心力，则mg＝m，T＝2π，A正确；

小球运动到与O等高处，盒子对小球向左的弹力提供向心力，则FN＝m，将T＝π代入得FN＝4mg，由牛顿第三定律知，小球对盒子右侧面的力为4mg，故B错误；

设盒子受到下面的支持力为F′N，则

mg－F′N＝mω2·R＝m2·R，F′N＝－3mg，

“－”号表示小球受到盒子的力向下，故C错误；

小球从最低点到与O点同高的过程中，加速度有向上的分量，从与O点同高到最高点的过程中，加速度有向下的分量，故小球先超重后失重．同理，小球从最高点到最低点的过程中，先失重后超重，D错误．

[答案]A

【突破训练3】[解析]选B.

由牛顿第二定律得：

FN－mg＝①

Ff＝μFN②

联立①②解得：μ＝，故B正确．

 技法提炼·思维升华 

【突破训练4】[解析]选D.根据v＝ωr，两座椅的ω相等，由rB＞rA可知vB＞vA，A错误；向心加速度a＝ω2r，因ω相等r不等，故a不相等，B错误；水平方向mgtan θ＝mω2r，即tan θ＝，因rB＞rA，故θB＞θA，C错误；竖直方向FTcos θ＝mg，绳子拉力FT＝，因θB＞θA，故FTB＞FTA，D正确．

【突破训练5】[解析]选B.设杆对小球的作用力为FN，方向竖直向下

如图所示，由向心力公式得

FN＋mg＝m，则

FN＝m－mg＝N＝－6 N.

负号说明FN的方向与假设方向相反，即竖直向上．

由牛顿第三定律知应选B.

【突破训练6】[解析]选BC.小滑块在B端时，根据牛顿第二定律有FN－mg＝m，解得FN＝18 N，A错误；根据动能定理有mgR－W＝mv2，解得W＝mgR－mv2＝3 J，B正确；小滑块从B点做平抛运动，水平方向上x＝vt，竖直方向上h＝gt2，解得x＝v·＝0.6 m，C正确，D错误．

 高效演练·轻松闯关 

1．[解析]选BC.在B点有：FN－mg＝m，显然vB＞0，FN＞mg，A错误、B正确．由动能定理得mgh＝mv，联立两方程得FN＝mg＋，所以h越大、FN越大，C正确、D错误．

2．[解析]选C.根据运动的分解可知，物体在最高点的速度等于水平分速度，即为v0cos α，在最高点看成是向心力为重力的圆周运动的一部分，则mg＝m，ρ＝，C正确．

3．[解析](1)受力分析如图

根据平衡条件，应满足FTcos α＝mg，

FTsin α＝F

拉力大小F＝mgtan α.

(2)运动中只有重力做功，系统机械能守恒

mgl(1－cos α)＝mv2

则通过最低点时，小球的速度大小

v＝

根据牛顿第二定律F′T－mg＝m

解得轻绳对小球的拉力

F′T＝mg＋m＝mg(3－2cos α)，方向竖直向上．

[答案]见解析

4．[解析]选AB.因为汽车通过最低点时，演员具有向上的加速度，故处于超重状态，A正确；由ω＝可得汽车在环形车道上的角速度为2 rad/s，D错误；由mg＝m可得v0＝≈7.7 m/s，C错误；由mg＋F＝m结合牛顿第三定律可得汽车通过最高点时对环形车道的压力为1.4×104  N，B正确．

5．[解析]选AD.由题意可知N＝，所以＝＝，A正确；mgtan θ＝mRsin θ，所以＝＝，B错误；Ek∝v2，v＝Rsin θ，所以＝＝，C错误；Ep＝mgR(1－cos θ)，所以＝＝，D正确．

第四节

 基础再现·对点自测 

正比　反比　G　质点　远大于　两球心　球心　7.9　最小发射　最大运行　地球　太阳　速度　相同

有关　不同　低速　高速　微观

[自我校对]　1－1.C　1－2.A　2－1.C

2－2.B　3.B

 考点透析·讲练互动 

【例1】[解析](1)因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和牛顿第二定律有

G＝m行2r①

于是有＝M太②

即k＝M太③

(2)在地月系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得

＝M地④

解得M地＝6×1024 kg.⑤

[答案]见解析

【突破训练1】[解析]选B.设星球的密度为ρ，由G＝m′g得GM＝gR2，ρ＝＝，联立解得：ρ＝，设地球、月球的密度分别为ρ、ρ0，则：＝，将＝4，＝6代入上式，解得：＝，选项B正确．

【例2】[解析]“天宫一号”的运行速率小于“神舟十号”在轨道Ⅱ上的运行速率，选项A错误. “神舟十号”加速才能做离心运动，而使轨道半径变大，即外力要对飞船做正功，选项B正确，选项C错误；“天宫一号”和“神舟十号”对接瞬间轨道半径相同，向心加速度也相同，选项D正确．

[答案]BD

【突破训练2】[解析]由＝mR得＝＝

由＝ma得，＝＝＝.

[答案]∶1　1∶

【例3】[解析]T＝24 h的卫星不一定在同步轨道上，故A错；同步卫星的角速度与地球自转的角速度相等，由v＝ω·r知同步卫星的速度大，故B错；近地卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以近地卫星的速度、加速度大，故C正确；不同极地卫星的轨道半径不同，周期也不同，故D错．

[答案]C

【突破训练3】[解析]选B.根据开普勒第三定律＝C(常数)，可知只要椭圆轨道的半长轴与圆轨道的半径相等，两者的周期就相等，A选项错误；沿椭圆轨道运行的卫星在以长轴为对称轴的对称点上具有相同的速率，故B选项正确；由G＝mr，解得r＝，对于地球同步卫星其周期T＝24小时，故其轨道半径一定，C选项错误；经过北京上空的卫星轨道有无数条，轨道平面与赤道平面的夹角可以不同，故轨道平面可以不重合，D选项错误．

【例4】[解析]在远距离导引阶段中神舟九号要变轨做离心运动去“追上”天宫一号，所以其应向后喷气加速才能完成这一过程，则A项错，B项对；由a＝知，未开始交会对接前，天宫一号的加速度小于神舟九号的加速度，所以C项错；由v＝知，天宫—神九组合体运动速度小于第一宇宙速度7.9 km/s，所以D项错．

[答案]B

【突破训练4】[解析]选BC.第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，航天器运动的速度为环绕速度，均小于第一宇宙速度，选项A错误；天宫一号运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向心力Fn＝减小，做向心运动，向心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B、C正确； 航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项D错误．

 技法提炼·思维升华 

【突破训练5】[解析]选A.做双星运动的星体相互间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，即F万＝m1ω2r1＝m2ω2r2，得＝，故A正确．双星运动的角速度相同，故B错．由v＝ωr可知冥王星的线速度为卡戎的，故C错．两星的向心力为两者间的万有引力且等值反向，故D错．

 高效演练·轻松闯关 

1．[解析]选A.根据G＝ma得a＝，故甲卫星的向心加速度小，选项A正确；根据G＝m2r，得T＝2π，故甲的运行周期大，选项B错误；根据G＝mω2r，得ω＝，故甲运行的角速度小，选项C错误；根据G＝，得v＝，故甲运行的线速度小，选项D错误．

2．[解析]选A.“嫦娥二号”在月球表面做匀速圆周运动，已知周期T，有G＝mR.故无法求出月球半径R及质量M，但结合球体体积公式可估算出月球的密度，A正确．

3．[解析]选BC.地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为，选项C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D错误．

4．[解析]选C.由题意知第16颗北斗导航卫星是一颗地球同步卫星，所以其轨道一定处于赤道正上方，角速度与地球自转角速度相同，选项A、B错误；该卫星高度很大，不是贴近地球表面运行，所以其速度远小于第一宇宙速度，选项C正确；如果知道该卫星的周期与轨道半径，根据G＝mr可以计算出地球质量M，但不能计算出卫星质量，选项D错误．

5．[解析]选C.“实践十六号”在圆轨道上运行时，万有引力提供向心力，＝m＝mr＝ma，又GM＝gR2，r＝R＋h，解得，a＝，v＝R，T＝2π，A、B项错误；“实践十六号”在椭圆轨道上运行时，半长轴a＝，由开普勒第三定律得，＝，解得，Ta＝π，故“实践十六号”在椭圆轨道上运行时，从A到B的时间为t＝＝π，C项正确；“实践十六号”在椭圆轨道上的B点运行时所需要的向心力小于在该点受到的万有引力，因而会沿着椭圆轨道做近心运动，从发射的椭圆轨道进入预定圆轨道应加速，D项错误．

“微讲座”(四)

 讲座训练 

1．[解析]选B.

根据小船过河特点可知，AB即为合速度方向，则船在静水中的速度最小时，必与AB垂直，由几何关系可知：vmin＝v水sin 30°＝2.5 m/s，故B选项正确．

2．[解析]选B.

如图所示，在竖直线AC上选取一点O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切于D点．由等时圆知识可知，由A沿斜面滑到D所用时间比由A到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D点重合即可，而∠COD＝θ，则α＝.

3．[解析](1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，

即v甲＋at1＝v乙，得t1＝＝s＝5 s

甲车位移x甲＝v甲t1＋at＝275 m

乙车位移x乙＝v乙t1＝60×5 m＝300 m

此时两车间距离Δx＝x乙＋L1－x甲＝36 m.

(3)甲车追上乙车时，位移关系x′甲＝x′乙＋L1

甲车位移x′甲＝v甲t2＋at，

乙车位移x′乙＝v乙t2，

将x′甲、x′乙代入位移关系，得v甲t2＋at＝v乙t2＋L1，

代入数值并整理得t－10t2－11＝0，

解得t2＝－1 s(舍去)或t2＝11 s，

此时乙车位移x′乙＝v乙t2＝660 m＞L2

故到达终点时甲车不能超过乙车．

[答案]见解析

4．[解析]斜面长度为s＝.

物体的加速度为a＝gsin α.

由s＝at2得：

t＝＝

当α＝45°时，t最小，

tmin＝2.

[答案]45°　2

5．[解析]法一：设人以速度v2沿图示方向恰好在C点拦住汽车，用时为t.

则L＋htan α＝v1t①

＝v2t②

整理得：

v2＝

＝

由数学知识知：v2min＝.

法二：

选取汽车为参照物．

人正对汽车运动即可拦住汽车，即人的合速度方向指向汽车．

其中一分速度大小为v1，另一分速度为v2，当v2与合速度v垂直时，v2最小，由相似三角形知识可得：

＝

v2＝·v1.

[答案] 

6．[解析](1)设该队员在空中运动的时间为t，在坡面上落点的横坐标为x，纵坐标为y.由运动学公式和已知条件得

x＝v0t①

2h－y＝gt2②

根据题意有

y＝③

由机械能守恒知落到坡面时的动能为

mv2＝mv＋mg(2h－y)④

联立①②③④式得

mv2＝m.⑤

(2)⑤式可以改写为

v2＝

显然v＋gh与之积为一恒量

当v＋gh＝，即v0＝时，其和最小．

将v0＝代入⑤得：

min＝mgh.

[答案](1) m

(2)　 mgh

7．[解析]设可变电阻为R，

则I＝

P＝I2R＝·R①

配方法：P＝

显然，当R＝r时，功率最大，Pmax＝

判别式法：将①式整理成关于R的二次方程

PR2＋(2Pr－E2)R＋Pr2＝0

由于R为实数，故Δ≥0

即(2Pr－E2)2－4P2r2≥0

解得：P≤

最大值为Pmax＝，代入①式得R＝r.

[答案]见解析

热点强化突破(四)

 实战演练 

1．[解析]选BC.设小球从A端水平抛出的速度为vA，由机械能守恒，得mgH＝mg·2R＋mv，得vA＝，设空中运动时间为t，由2R＝gt2，得t＝2，水平位移x水＝vAt＝·2＝2，故B正确．小球能从细管A端水平抛出的条件是D点应比A点高，即H＞2R，C正确．

2．[解析](1)由小球恰好能通过最高点得：mg＝

解得vA＝.

(2)小球到达最低点时，由牛顿第二定律得：

FT－mg＝

又FT＝6mg

解得：vB＝

由平抛运动规律得：1.9L－L＝gt2

t＝

x＝vBt＝3L.

[答案](1)　(2)3L

3．[解析](1)根据题意可知，小物块从A到B做自由落体运动，则v＝2gR解得vB＝4 m/s

小物块在B点处沿半径方向的分速度立刻减为零，而沿圆弧切线方向的分速度不变

则切向速度为vB切＝vBsin 60°＝2 m/s

从B到C，根据动能定理可知

mv＝mgR(1－cos 60°)＋mv

解得vC＝2 m/s.

(2)设小物块从C处下降高度h所用时间为t1，则有

h＝gt

解得t1＝0.4 s

圆筒匀速转动时的角速度

ω＝＝5πn rad/s(n＝1,2,3…)

(3)要使小物块进入小孔后能直接打到圆筒的内侧壁，设小物块运动2r所用的时间为t2，则

t2＝＝0.1 s

要满足条件，筒身长L至少为L＝g(t1＋t2)2

解得L＝1.25 m.

[答案](1)2 m/s　(2)5πn rad/s(n＝1,2,3…)

(3)1.25 m

4．[解析]选AC.由于飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，根据G＝mr2可知，由已知量只能求出月球的质量，不能求出飞船的质量，B错误；由飞船绕行n圈的时间为t，可以求出飞船绕月球运动的周期T＝，而求不出月球的自转周期，D错误；由于飞船在月球表面， 所以受到的万有引力等于重力，即G＝G1＝mr2，可得月球的半径r＝，又因为G1＝m，可得月球的第一宇宙速度v＝，C正确；根据G＝G1＝mr2和V＝πr3可得月球的密度ρ＝，A正确．

5．[解析]选C.由万有引力定律和牛顿第二定律得G＋G＝m，解得v＝，选项C正确．

6．[解析]选C.组合体在圆轨道运行的周期T＝·t，根据万有引力定律和牛顿运动定律得G＝m2(R＋H)，又GM＝gR2，所以H＝－R，C项正确．

7．[解析](1)由万有引力提供向心力可得

G＝mr

行星体积V＝πr3

行星密度ρ＝

联立各式可得ρ＝

所以两行星的密度之比＝.

(2)卫星在行星表面的重力等于万有引力

即mg＝G

联立G＝mr得g＝

所以两行星表面处的重力加速度之比＝.

[答案](1)9∶1　(2)27∶1下载本文