数    学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4．考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：

椎体体积，其中S为椎体的底面积，h为椎体的高.

若（x，y），（x，y）…，（x，y）为样本点，为回归直线，则， 

说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.

                    第Ⅰ卷(选择题 共50分)   

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为

   （A）2             (B) 2            (C)           (D)   

（2）集合，, ,则等于

（A）      (B)         (C)          (D) 

 (3) 双曲线的实轴长是

（A）2               (B)            (C) 4            (D) 4

 (4) 若直线过圆的圆心,则a的值为

（A）1              (B) 1              (C) 3             (D) 3

（5）若点(a,b)在图像上，,则下列点也在此图像上的是

（A）（，b）         (B)  (10a,1b)     (C) (,b+1)      (D)(a2,2b)

 (6)设变量x,y满足,则的最大值和最小值分别为

（A）  1， 1          (B)  2， 2        (C )   1， 2     (D)2， 1

（7）若数列的通项公式是,则

（A） 15                                 (B) 12 

 (C )                                 (D) 

 (8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为

  （A） 48                                 (B)32+8

  (C) 48+8                             (D) 80

(9) 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于

（A）              (B)             (C)            (D) 

 (10) 函数                   在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可能是

（A）1                                   (B)  2        

(C)  3                                   (D) 4

第II卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

（11）设是定义在R上的奇函数，当x≤0时， =，则       .

（12）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是          .

（13）函数的定义域是          . 

（14）已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=－6，且，，则a与b的夹角为      .

(15)设=，其中a，bR，ab0，若对一切则xR恒成立，则

①

②＜

③既不是奇函数也不是偶函数

④的单调递增区间是

⑤存在经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交

以上结论正确的是         （写出所有正确结论的编号）.

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

（16）(本小题满分13分)

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，，求边BC上的高.

（17）（本小题满分13分）

设直线

（I）证明与相交；

（II）证明与的交点在椭圆

（18）（本小题满分13分）

设，其中为正实数.

(Ⅰ)当时，求的极值点；

(Ⅱ)若为上的单调函数，求的取值范围.

（19）（本小题满分13分）

如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，， ，，都是正三角形。

(Ⅰ)证明直线；

(Ⅱ)求棱锥的体积.

（20）（本小题满分10分）

某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。

温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.

（21）（本小题满分13分）

在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设                    求数列的前项和.

参及解析

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

（1）【命题意图】本题考查复数的基本运算，属简单题.

【解析】设，则，所以.故选A.

（2）B【命题意图】本题考查集合的补集与交集运算.属简答题.

【解析】，所以.故选B.

（3）C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.

【解析】可变形为，则，，.故选C.

（4）B【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，属容易题.

【解析】圆的方程可变形为，所以圆心为（－1,2），代入直线得.

（5）D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.

【解析】由题意，，即也在函数图像上.

（6）B【命题意图】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等难度题.

【解析】三条直线的交点分别为（0,1），（0，－1），（1,0），分别代入，得最大值为2，最小值为－2.故选B.

（7）A【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题.

【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；

法二：，故.故选A.

 (8)C【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.

【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为，四个侧面的面积为，所以几何体的表面积为.故选C.

（9）D【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题.

【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为.故选D.

 (10)A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.

【解析】代入验证，当时，，则，由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选A.

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

 (11)－3【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属中等难度题.

【解析】.

 (12)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n项和.

【解析】由算法框图可知，若T＝105，则K＝14，继续执行循环体，这时k＝15，T>105，所以输出的k值为15.

 (13)（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.

【解析】由可得，即，所以.

 (14)60°【命题意图】本题考查向量的数量积，考查向量夹角的求法.属中等难度的题.

【解析】，则，即，，所以，所以.

 (15)①③【命题意图】本题考查辅助角公式的应用，考查基本不等式，考查三角函数求值，考查三角函数的单调性以及三角函数的图像.

【解析】，又，由题意对一切则xR恒成立，则对一切则xR恒成立，即，恒成立，而，所以，此时.所以.

①，故①正确；

②，

，

所以＜，②错误；

③，所以③正确；

④由①知，，

由知，所以③不正确；

⑤由①知，要经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交，则此直线与横轴平行，又的振幅为，所以直线必与图像有交点.⑤不正确.

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

（16）(本小题满分13分)

解：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，

又，∴，

即，，

又0°在△ABC中，由正弦定理得，

又∵，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，

∴BC边上的高AD＝AC·sinC＝

.

（17）（本小题满分13分）

（18）（本小题满分13分）

（19）（本小题满分13分）

（20）（本小题满分10分）

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