证明：若是归一化的，则。根据式
,
可得
即取各值的概率是归一化的。
#
练习 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变.
(2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美）
(1)证明：在定态中 ,
则
所以
.
即所有物理量的平均值不随时间变化.
(2)两个定态的叠加不一定是定态.例如
当时,叠加后是定态;当时, 叠加后不是定态.
#
证明：当函数可以写成x的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立：
（解答：陈玉辉 核对：项朋）
证明：（1）
所以
（2）
所以
#
练习 下面公式是否正确？（解答：陈玉辉 核对：项朋）
解：不正确。
因为是X的函数，所以=0
#
练习 试利用符号，证明：（孟祥海）
（1）
（2）
（3）
证明：
（1）
由于且是相互对易的，
所以
，同上面的过程可以得到
（2）先计算：
由于。将上式展开可以得到：，再利用相同的道理可以推出：
（3）证明：
利用公式
即得证！
#
试仿照的计算方法，计算和。（高召习）
解：由Weyle规则，将物理量的经典式A(x，p)写成为变量的傅里叶积分
（1）
将积分中指数上的x和p改为对应的算符X和P。所得结果即为与A(x，p)对应的算符式A（X，P）
（2）
首先计算（1）式中A(x，p)的傅里叶变换,取A(x，p)为，则有
（3）
对于有
(4)
对于xp，n=1,m=1,将此式代入（2）得
即
对于，n=2，m=2，将此式代入（2）得
即
#
练习 证明的一般公式：
并利用此式计算。 （解答：田军龙 审核：邱鸿广）
证明：
#
练习 （梁端）
解：
因为：
所以：
欲求： 则：
=
=
所以：
=
=
=
因为：
故： 在条件下
#
练习 一般认为一个正确的对应关系应满足：经典量的算符对应的平方，应当与经典的对应相同。试以为例，说明规则与规则都不满足这个条件。
（解答：邱鸿广 审核：田军龙）
解：（1）规则：
的对应算符为：
此算符对应的平方为： （1）
经典量的算符为 （2）
因为所以规则不满足提设这个条件。
（2）规则：
的对应算符为：
此算符对应的平方为： （3）
经典量的算符为： （4）
因为所以规则也不满足提设这个条件。
#
证明：,,. （解答：项朋 审核：陈玉辉）
证明：① 先计算
再计算，
∴ =0
②
∴
③
∴ .
#
用数学归纳法求和，（解答：项朋 审核：陈玉辉）
解: ① 由式可知
∴
下面用数学归纳法证明上式成立:
当时，显然成立
当时，由式，上式成立
再由上式推出一个将n改为n+1的同样公式；
说明了原式对n+1也成立，于是证明了上式的普遍成立。
② 由式可知
∴
下面用数学归纳法证明上式成立:
当时，显然成立
当时，由式，上式成立
再由上式推出一个将n改为n+1的同样公式；
说明了原式对n+1也成立，于是证明了上式的普遍成立。
#
6.12证明：（1）
（2） （梁端）
（1）证明：
=
=
=
=
=
同理可证：
故：
（2）证明：由上题可知：
将各个量化为三维形式：
所以：
则有：
将上式进行点乘，经过整理得：
故：此题得证
#
练习 推导以下列个关系式
解：用位置X构造一个幺正算符
与P的对易关系是：
即
将此式作用到上，得
则P的一个本征矢量被算符作用后，可得出另一个本征矢量，其本征值为
由于的幺正性，也是归一的。我们称为作用于动量本征矢量的上升算符；有上式的左矢形式
可知，算符是左矢的上升算符。
将作用于，由于可得，
可见算符是右矢的下降算符，而算符是左矢的下降算符。
#
若取中的ξ为复数，能否得出X的本征值为复数的结论？
（韩丽芳 候书进 审）
解：若ξ为复数，令ξ=a+іb则
由
得
因为ξ为复数，不再是幺正算符，现将归一化得其归一化矢量为，其本征值为x+ξ
同理
即此时本征值为x+a
结论矛盾，所以ξ不能是复数，即X的本征值不可以是复数
证明：式成立。
（做题人：杨涛 审题人：吴汉成）
证明：令表示算符X的本征值为零的本征矢量，表示算符P的本征值为零的本征矢量。
证毕
证明以下两个左矢关系成立：（做题人：杨涛 审题人：吴汉成）
证明：在式中右乘
则
在式中右乘
则
证毕
在右乘
则
在右乘
证毕
练习 试讨论动量表象的函数形式。（吴汉成 完成， 董延旭 核对）
解：讨论关系式：，从矩阵形式出发则有：
--------------（1）
而本征值矢量组是完全的，即：，并代入（1）式得：
又 ，并代入上式得： --------（2）
并对该式进行分部积分：
上式可写成如下形式：
，其中算符，此关系式便是动量表象的函数形式。
练习 证明描写同一状态的位置表象波函数与动量表象波函数之间满足傅里叶变换：
（吴汉成 完成， 董延旭 核对）
（1）证明：已知，显然得：
又有，，并代入上式得：
右边=
--------（1）
又 本征值矢量组的完全性，即：
，并代入（1）式得： 右边
显然证得：
（1）证明：已知，则有：
显然得：右边=
又有，并代入上式得：
------------------（2）
又 本征值矢量组的完全性，即：
，并代入(2)式得：
显然证得：
7.7 在三维的位置表象或动量表象中，重新证明、和各式，即
，
， （王俊美）
证明 在三维的位置表象中：
利用 证明以下各式得:
同上题，重新证明（）和（ ）二式，（做题人：陈捷狮，审查人：刘强）
证明：（1）由于
由此猜想
用数学归纳法：当n=0,1,2,时已知上式成立。假设n=n时上式成立，则在n=n+1时有
则当原式成立，则当n=n+1时原式也成立。所以成立
（2）由于
由此猜想
用数学归纳法：当n=0,1,2,时已知上式成立。假设n=n时上式成立，则在n=n+1时有
则当原式成立，则当n=n+1时原式也成立。所以成立
证明：（做题人：陈捷狮，审查人：刘强）
证明：在三维的位置表象中，定义任意一个态函数
（1）由于
则有：
（2）由于
其中：
带入上式有：
所以：
练习 在x表象的函数形式中，态函数与有下列关系：
另有一算符，具有离散的本征值，本征函数为，即，试用函数形式语言，直接给出上式的K表象矩阵形式。
（解题人：胡项英 校对人：宁红新）
解：K表象的本征函数构成K表象的一组基矢，任意状态可按照这组基矢展开，如：
所以 其中
#
练习 （做题人：韩丽芳）
试通过下面的实例，说明算符的厄米性与内积的定义有关。设有一函数空间，其中函数和等满足束缚态的边界条件，即。证明：若内积的定义不用（）式而改用
则算符不再是厄米的，试求出在此情况下此算符的厄米共轭。
证明：若内积定义为
则厄米算符的定义可改为
算符，且 则
即
由厄米算符的定义，则算符不再是厄米的。
由得
#
证明：
证明：（1）
#
证明： （许中平）
证明：将左端展开成、、的分量式，
利用
即得
计算下式 （许中平）
式中A和B是两个非算符三维矢量。
解：由于
得
因此
类似的可写出
上式中后三项为的线性项，迹为0，所以
#
练习 如果取定（）式为自旋算符，那么（）式中的两个算符
，
是描写什么的物理量的算符？（解答人：熊凯 核对人：李泽超）
解：已知（）式是（）式取δ为0时的表示，上述两个算符s1 、s2 与自旋算符sx、sy相差一个相位因子δ，所以，s1 、s2 分别为自旋在x 、y方向上具有相位为δ的算符。
#
练习 在物理空间中给定一个方向：
（1）求在Sz 表象中自旋在方向上的投影Sn 的矩阵形式；
（2）求在Sz 表象中Sn 的两个本征矢量，的矩阵形式；
（3）已知在Sz 表象中某状态的矩阵形式，求将此矩阵变换到Sn 表象的幺正矩阵U，以及将Sn 表象的矩阵变换到Sz 表象的幺正矩阵U-1 。
解：（解答人：熊凯 核对人：李泽超）
（1）Sz 表象中自旋在方向上的投影Sn 为：
（2）设Sn 的本征矢量为本征值为，则其满足方程
，即
当时，将其代入本征方程中可求得：
， （注：未归一化）
当时，将其代入本征方程中可求得：
， （注：未归一化）
将上述两式归一化有
又因为：，所以
则，归一化矢量为：
，
（注：以上矢量的取法不是唯一的）
（3）将上述二矢量按列排列则得到一个矩阵U
，即为一个从Sz 表象变换到Sn 的幺正矩阵；
则，将Sn表象变换到Sz表象的幺正矩阵为：
#下载本文
