2002级量子力学期末考试试题和答案

B卷

一、（共25分）

1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 

2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）

3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）

4、在一维情况下，求宇称算符和坐标的共同本征函数。（6分） 

5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间和能量的测不准关系。（5分）

二、（15分）已知厄密算符，满足，且，求

1、在A表象中算符、的矩阵表示；

2、在A表象中算符的本征值和本征函数；

3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。

三、（15分）线性谐振子在时处于状态

   ，其中，求

1、在时体系能量的取值几率和平均值。2、时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值

四、（15分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵

      的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。

五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?

一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。

2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。

3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：

4、宇称算符和坐标的对易关系是：，将其代入测不准关系知，只有当时的状态才可能使和同时具有确定值，由知，波函数满足上述要求，所以是算符和的共同本征函数。

5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。以、和依次表示、和在态中的平均值，令 ，，

则有  ，这个关系式称为测不准关系。

时间和能量之间的测不准关系为：

二、1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：

  设在A表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，，

令，（为任意实常数）得在A表象中的矩阵表示式为：

2、在A表象中算符的本征方程为：

即        和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即         

对有：，对有：

所以，在A表象中算符的本征值是，本征函数为和

3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即

三、解：1、的情况：已知线谐振子的能量本征解为：

  ， 

当时有：，

于是时的波函数可写成：，容易验证它是归一化的波函数，于是时的能量取值几率为：

，，能量取其他值的几率皆为零。

能量的平均值为：

2、 时体系波函数

显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故时体系能量的取值几率和平均值与的结果完全相同。

四、解：将矩阵改写成：

能量的零级近似为：，，

能量的一级修正为：，，

能量的二级修正为：， 

，

所以体系近似到二级的能量为：，，

先求出属于本征值1、2和3的本征函数分别为：，，，

利用波函数的一级修正公式，可求出波函数的一级修正为：，，

近似到一级的波函数为：，，

五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以表示第个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：

（1）；（2）

（3）； 

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