一、同步知识梳理

正多边形和圆：

 1、各边相等，       也相等的多边形是正多边形。

 2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的       外接圆的半径叫正多边形的      一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫      用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的       用r表示。

3、每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的       三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的       三角形。

弧长扇形面积公式

1. 圆周长：； 圆面积： 

2. 圆的面积C与半径R之间存在关系，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是。

    n°的圆心角所对的弧长是

  3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。

  4. 在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角为n°的扇形面积是：

（n也是1°的倍数，无单位）

圆锥的性质

    由图可得

    （1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；

    （2）圆锥的母线长都相等

  7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算

    圆锥的全面积为： 

圆锥侧面积：。

2、同步题型分析

题型一：圆与正多边形计算

例1.正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（　） 

　A、　　　B、　　　C、　　　D、 

　　解：如图1，BF=2，过点A作AG⊥BF于G，则FG=1， 

　　又∵ ∠FAG=60°， 

说明：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。 

题型二：弧长、扇形面积的计算公式

（1）弧长公式

例1：若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少？

解：因为扇形的弧长=                           

所以==                    (答案保留π)

 例2：在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为，那么⊙O的半径为___________cm。

解：因为扇形的弧长=                           

所以==                    

（2）扇形的面积：

例3：①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少？

    解：因为扇形的面积S=           

所以S==                    (答案保留π)

  例4：如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为____________。

  解：因为扇形的面积S= = =S圆     

      所以

题型三：圆锥的侧面展开图

    例1．圆锥的底面半径为3cm，母线为9，则圆锥的侧面积为（ D   ）

A．6    B．9C．12 D．27 

    例2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是(   B  )

A．25π     B．65π     C.90π      D．130π

    例3．圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（A　　）  

  A． cm     B． cm  C．3cm        D． cm

    例4.圆锥侧面积为8πcm2,侧面展开图圆心角为450,则圆锥母线长为（　B　）  

       A.cm    B.8cm　C.㎝  D.㎝

例5．如图，圆锥的底面半径OB为10 cm，它的展开图扇形的半径AB为30 cm，则这个扇形的圆心角α的度数为120°.

题型一：正多边形和圆

例1  如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．         B．        C．       D． 

考点：正多边形和圆．

分析：由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．

解答：解：∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠AOB=60°，

∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，

设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，

∴OG=OA•sin60°=2×=，

∴S阴影=S△OAB-S扇形OMN=×2×-．

故选A．

点评：本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．

练习：

1．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

考点：正多边形和圆；等腰直角三角形；正方形的性质．

分析：根据正八边形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，进而得出AC=BC= a，再利用正八边形周围四个三角形的特殊性得出阴影部分面积即可．

解答：解：∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，

∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°，

∴sin45°===，

∴AC=BC=a，

∴S△ABC=×a×a=，

∴正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：×4=a2．

正八边形中间是边长为a的正方形，

∴阴影部分的面积为：a2+a2=2a2，

故选：A．

点评：此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出S△ABC的值是解题关键．

题型二：圆周长与弧长

例2  如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（　　）

A．10π        B．         C．       D．π

分析：由题意可知点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长，故在直角三角形ACD中，由AD及DC的长，利用勾股定理求出AC的长，然后利用弧长公式即可求出．

解答：解：如图所示：

在Rt△ACD中，AD=3，DC=1，

根据勾股定理得：AC==，

又将△ABC绕点C顺时针旋转60°，

则顶点A所经过的路径长为l=π．

点评：此题考查了弧长公式，以及勾股定理，解本题的关键是根据题意得到点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长．

练习：

1、如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为         ）π

（结果用含有π的式子表示）

考点：弧长的计算；旋转的性质．

分析：根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；点A先是以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长．

解答：

解：∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；

∵Rt△ABC在直线l上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个的长，2个的长，

∴点A经过的路线长=×3+×2=（4+）π．

点评：本题考查了弧长公式：l=（其中n为圆心角的度数，R为半径）；也考查了旋转的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．

题型三：扇形面积与阴影部分面积

例3 如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作．若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是（　　）

（参考数据：≈1.414，≈1.732，π取3.14）

A．0.    B．1.    C．1.68    D．0.36

分析：先根据直角边和斜边相等，证出△ABE≌△ADF，得到△ECF为等腰直角三角形，求出S△ECF、S扇形AEF、S△AEF的面积，S△ECF-S弓形EGF即可得到阴影部分面积．

解答：解：∵AE=AF，AB=AD，

∴△ABE≌△ADF（Hl），

∴BE=DF，∴EC=CF，

又∵∠C=90°，∴△ECF是等腰直角三角形，

∴EC=EFcos45°=2×=，∴S△ECF=××=1，

又∵S扇形AEF=π22=π，S△AEF=×2×2sin60°=×2×2×=，

又∵S弓形EGF=S扇形AEF-S△AEF=π-，

∴S阴影=S△ECF-S弓形EGF=1-（π-）≈0.．

故选A．

点评：本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形、正方形的性质，将阴影部分面积转化为S△ECF-S弓形EGF是解题的关键．

题型四：圆柱、圆锥的侧面展开图

例4如图，已知圆O的半径为4，∠A=45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为            1

．

分析：首先求得扇形的圆心角BOC的度数，然后求得扇形的弧长，利用弧长等于圆的底面周长求得圆锥的底面圆的半径即可．

解答：解：∵∠A=45°，

∴∠BOC=90°

∴扇形BOC的弧长为=2π，

设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π   解得r=1，

点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确的进行圆锥的有关元素和扇形的有关元素之间的转化．

3、学法提炼

1、专题特点：主要是圆的相关计算的知识点在中考中的实际类型题，根据一定条件能够灵活运用已经学习过的知识点，把实际问题转化为数学模型，解决问题提升自己的学习能力。

2、解题方法：公式的灵活运用，关键是找到解题的突破口。

      3、注意事项：

①、注意圆锥侧面展开图的公式字母的转换，如扇形面积中表示弧长，表示半径。圆锥中表示母线，表示底面半径。

②、解题的规范性，严格按照例题解题过程求解。

课

后

记