考点分类：考点分类见下表

考点一　应用动量定理求解连续作用问题

机连续发射子弹、水柱持续冲击煤层等都属于连续作用问题．这类问题的特点是：研究对象不是质点(也不是能看成质点的物体)，动量定理应用的对象是质点或可以看做质点的物体，所以应设法把子弹、水柱质点化，通常选取一小段时间出的子弹或喷出的水柱作为研究对象，对它们进行受力分析，应用动量定理，或者综合牛顿运动定律综合求解．

考点二  “人船模型”问题的特点和分析

1．“人船模型”问题

两个原来静止的物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和为零，则动量守恒．在相互作用的过程中，任一时刻两物体的速度大小之比等于质量的反比．这样的问题归为“人船模型”问题．

2．人船模型的特点

(1)两物体满足动量守恒定律：m1v1－m2v2＝0.

(2)运动特点：人动船动，人静船静，人快船快，人慢船慢，人左船右；人船位移比等于它们质量的反比；人船平均速度(瞬时速度)比等于它们质量的反比，即＝＝.

(3)应用此关系时要注意一个问题：公式v1、v2和x一般都是相对地面而言的．

考点三　动量守恒中的临界问题

1.滑块不滑出小车的临界问题

如图所示,滑块冲上小车后,在滑块与小车之间的摩擦力作用下,滑块做减速运动,小车做加速运动.滑块刚好不滑出小车的临界条件是滑块到达小车末端时,滑块与小车的速度相同.＃网

2.两物体不相碰的临界问题

两个在光滑水平面上做匀速运动的物体,甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度v甲大于乙物体的速度v乙,即v甲>v乙,而甲物体与乙物体不相碰的临界条件是v甲=v乙.

3.涉及物体与弹簧相互作用的临界问题

对于由弹簧组成的系统,在物体间发生相互作用的过程中,当弹簧被压缩到最短时,弹簧两端的两个物体的速度相等.

4.涉及最大高度的临界问题

在物体滑上斜面体(斜面体放在光滑水平面上)的过程中,由于弹力的作用,斜面体在水平方向将做加速运动.物体滑到斜面体上最高点的临界条件是物体与斜面体沿水平方向具有共同的速度,物体在竖直方向的分速度等于零.

考点四  弹簧类的慢碰撞问题

慢碰撞问题指的是物体在相互作用的过程中,有弹簧、光滑斜面或光滑曲面等,使得作用不像碰撞那样瞬间完成,并存在明显的中间状态,在研究此类问题时,可以将作用过程分段研究,也可以全过程研究.

典例精析

★考点一：应用动量定理求解连续作用问题

◆典例一：正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m，单位体积内粒子数量n为恒量．为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为v，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变．利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系．

(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明)

【答案】f＝nmv2

【解析】

◆典例二:一股水流以10 m/s的速度从喷嘴竖直向上喷出，喷嘴截面积为0.5 cm2，有一质量为0.32 kg的球，因受水对其下侧的冲击而停在空中，若水冲击球后速度变为0，则小球停在离喷嘴多高处？

【答案】1.8 m

【解析】小球能停在空中，说明小球受到的冲力等于重力F＝mg①

小球受到的冲力大小等于小球对水的力．取很小一段长为Δl的小水柱Δm，其受到重力Δmg和球对水的力F，取向下为正方向．学＊

(F＋Δmg)t＝0－(－Δmv)②

其中小段水柱的重力Δm·g忽略不计，Δm＝ρS·Δl

★考点二：“人船模型”问题的特点和分析

◆典例一：如图所示，长为L、质量为M的小船停在静水中，质量为m的人从静止开始从船头走到船尾，不计水的阻力，求船和人相对地面的位移各为多少？

【答案】L　L

【解析】设任一时刻人与船的速度大小分别为v1、v2，作用前都静止．因整个过程中动量守恒，所以有mv1＝Mv2.

而整个过程中的平均速度大小为1、2，则有m1＝M2. 

两边乘以时间t有m1t＝M2t，即mx1＝Mx2.且x1＋x2＝L，可求出x1＝L，x2＝L.

◆典例二：如图所示，一个倾角为α的直角斜面体静置于光滑水平面上，斜面体质量为M，顶端高度为h，今有一质量为m的小物体，沿光滑斜面下滑，当小物体从斜面顶端自由下滑到底端时，斜面体在水平面上移动的距离是(　　)

A.      B. 

C.      D. 

【答案】C

★考点三：动量守恒中的临界问题

◆典例一：两质量分别为M1和M2的劈A和B,高度相同,放在光滑水平面上,A和B的倾斜面都是光滑曲面,曲面下端与水平面相切,如图所示.一质量为m的物块位于劈A的倾斜面上,距水平面的高度为h.物块从静止滑下,然后滑上劈B.求物块在B上能够达到的最大高度.

【答案】h′=h.

◆典例二    甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏,甲和他的冰车的质量共为M=30 kg,乙和他的冰车的质量也是30 kg.游戏时,甲推着一个质量为m=15 kg的箱子和他一起以大小为v0=2.0 m/s的速度滑行,乙以同样大小的速度迎面滑来,如图所示.为了避免相撞,甲突然将箱子沿冰面推给乙,箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住.若不计冰面的摩擦力,求甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出,才能避免与乙相撞.

【答案】5.2 m/s

【解析】法一　取甲开始运动的方向为正方向,设甲推出箱子后的速度为v1,箱子的速度为v,以甲和箱子为系统,则由动量守恒定律得(m+M)v0=Mv1+mv.设乙抓住箱子后其速度为v2,以箱子和乙为系统,则由动量守恒定律得mv-Mv0=(m+M)v2.而甲、乙不相撞的条件是v2≥v1,当甲和乙的速度相等时,甲推箱子的速度最小,此时v1=v2.联立上述三式可得v=v0=5.2 m/s.即甲至少要以对地5.2 m/s的速度将箱子推出,才能避免与乙相撞.

法二　若以甲、乙和箱子三者组成的整体为一系统,由于不相撞的条件是甲、乙速度相等,设为v1,则由动量守恒定律得(m+M)v0-Mv0=(m+2M)v1,代入具体数据可得v1=0.4 m/s.再以甲和箱子为一系统,设推出箱子的速度为v,推出箱子前、后系统的动量守恒(m+M)v0=Mv1+mv,代入具体数据得v=5.2 m/s.

考点四 弹簧类的慢碰撞问题

◆典例一：(2018·四川南充模拟)如图所示,质量为M的滑块静止在光滑的水平桌面上,滑块的光滑弧面底部与桌面相切,一质量为m的小球以速度v0向滑块滚来,设小球不能越过滑块,求:

(1)小球到达最高点时小球和滑块的速度分别为多少?

(2)小球上升的最大高度.

【答案】v=,h=

1.【2016·全国新课标Ⅰ卷】（10分）某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g。求

（i）喷泉单位时间内喷出的水的质量；

（ii）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。

【答案】（i）  （ii）

【解析】(ⅰ)设Δt时间内，从喷口喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm，则

Δm=ρ ΔV     ①

ΔV= v0Δt S      ②

②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为

= ρv0S      ③

【名师点睛】本题考查了动量定理的应用，要知道玩具在空中悬停时，受力平衡，合力为零，也就是水对玩具的冲力等于玩具的重力。本题的难点是求水对玩具的冲力，而求这个冲力的关键是单位时间内水的质量，注意空中的水柱并非圆柱体，要根据流量等于初刻速度乘以时间后再乘以喷泉出口的面积S求出流量，最后根据m=ρV求质量。

2.【内蒙古鄂尔多斯市一中2017届高三上学期第四次月考】 如图所示，劲度系数为k的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置于水平面上质量为m的物体A接触，但未与物体A连接，弹簧水平且无形变。现对物体A施加一个水平向右的瞬间冲量，大小为I0，测得物体A向右运动的最大距离为x0，之后物体A被弹簧弹回最终停在距离初始位置左侧2x0处。已知弹簧始终在弹簧弹性限度内，物体A与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，下列说法中正确的是：      （      ）

A.物体A整个运动过程，弹簧对物体A的冲量为零

B.物体A向右运动过程中与弹簧接触的时间一定小于物体A向左运动过程中与弹簧接触的时间

C. 物体A向左运动的最大速度

D.物体A与弹簧作用的过程中，系统的最大弹性势能Ep=

【答案】B

3.（多选）【四川省资阳市2017届高三4月高考模拟】如图甲所示，物块A、B间拴接一个压缩后被锁定的弹簧，整个系统静止放在光滑水平地面上，其中A物块最初与左侧固定的挡板相接触，B物块质量为2kg。现解除对弹簧的锁定，在A离开挡板后，B物块的v－t图如图乙所示，则可知：      （      ）

A. A的质量为4kg

B. 运动过程中A的最大速度为vm=4m/s

C. 在A离开挡板前，系统动量守恒、机械能守恒

D. 在A离开挡板后弹簧的最大弹性势能为3J

【答案】BD

【名师点睛】在A离开挡板前，由于挡板对A有作用力，所以A、B系统所受合外力不为零，则系统动量不守恒；A离开挡板后，A、B系统所受合外力为零，系统机械能守恒．B速度最大时，A的速度最小为零，且此时弹簧处于原长；B的速度最小时，A的速度最大；当A、B速度相等时，A、B动能之和最小，此时弹性势能最大。根据机械能守恒定律和动量守恒定律求解。

4.（多选）【河北省衡水中学2017届高三上学期期中考试】如图，质量分别为m1=1.0kg和m2=2.0kg的弹性小球a、b，用轻绳紧紧的把它们捆在一起，使它们发生微小的形变。该系统以速度v0=0.10m/s沿光滑水平面向右做直线运动。某时刻轻绳突然自动断开，断开后两球仍沿原直线运动。经过时间t=5.0s后，测得两球相距s=4.5m，则下列说法正确的是：      （      ）

A、刚分离时，a球的速度大小为0.7m/s

B、刚分离时，b球的速度大小为0.2m/s

C、刚分离时，a、b两球的速度方向相同

D、两球分开过程中释放的弹性势能为0.27J

【答案】ABD

【解析】系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律：，位移：代入数据得：，符号表示速度方向与正方向相反；故选项AB正确，C错误；由动量守恒定律：，代入数据：，选项D正确；所以答案为ABD.

5.【2017·天津市和平区高三上学期期末质量调查】如图所示，光滑水平面上有一质量M=4.0kg的平板车，车的上表面右侧是一段长L=1.0m的水平轨道，水平轨道左侧是一半径R=0.25m的1/4光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在O′点相切．车右端固定一个尺寸可以忽略、处于锁定状态的压缩弹簧，一质量m=1.0kg的小物块（可视为质点）紧靠弹簧，小物块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.5．整个装置处于静止状态．现将弹簧解除锁定，小物块被弹出，恰能到达圆弧轨道的最高点A．不考虑小物块与轻弹簧碰撞时的能量损失，不计空气阻力，取g=10m/s2．求：

（1）解除锁定前弹簧的弹性势能；

（2）小物块第二次经过O′点时的速度大小；

（3）小物块与车最终相对静止时距O′点的距离

【答案】（1）7.5J（2）2.0m/s（3）0.5m

（2）设小物块第二次经过O'时的速度大小为vm，此时平板车的速度大小为vM，研究小物块在平板车圆弧面上的下滑过程，由系统动量守恒和机械能守恒有0=mvm-MvM

mgR＝mvm2+MvM2

代入数据解得 vm=2.0m/s

（3）最终平板车和小物块相对静止时，二者的共同速度为0．

设小物块相对平板车滑动的路程为S，对系统由能量守恒有    Ep=μmgs

代入数据解得s=1.5m

则距O'点的距离x=s-L=0.5m

6.【湖北省黄冈市黄冈中学2016届高三5月第一次模拟考试理科综合物理试题】（9分）如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、km（k为大于1的待定常数）。A球从左边与圆心等高处P点由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞以后，两球又会同时回到最低点再次发生碰撞，碰撞中无机械能损失，已知从最低点开始运动到最高点再回到最低点所用的时间只与初速度有关，重力加速度为g。试求常数k的大小。

【答案】3

【名师点睛】本题中两球发生弹性碰撞，遵守两大守恒：机械能守恒和动量守恒，要灵活选择研究对象和研究的过程，注意研究动量时，要选正方向，用正负号表示动量的方向.

7.如图所示，质量为m的半圆轨道小车静止在光滑的水平地面上，其水平直径AB长度为2R，现将质量也为m的小球从距A点正上方h0高处由静止释放，然后由A点经过半圆轨道后从B冲出，在空中能上升的最大高度为（不计空气阻力），则：      （      ）

A．小球和小车组成的系统动量守恒 ．小车向左运动的最大距离为

C．小球离开小车后做斜上抛运动 ．小球第二次能上升的最大高度

【答案】D

8.如图所示，在粗糙水平面上A点固定一半径R=0.2m的竖直光滑圆弧轨道，底端有一小孔．在水平面上距A点s=1m的B点正上方O处，用长为L=0.9m的轻绳悬挂一质量M=0.1kg的小球甲，现将小球甲拉至图中C位置，绳与竖直方向夹角＝60°．静止释放小球甲，摆到最低点B点时与另一质量m=0.05kg的静止小滑块乙（可视为质点）发生完全弹性碰撞．碰后小滑块乙在水平面上运动到A点，并无碰撞地经过小孔进入圆弧轨道，当小滑块乙进入圆轨道后立即关闭小孔．g=10m/s2 ．

（1）求甲、乙碰前瞬间小球甲的速度大小；

（2）若小滑块乙进入圆轨道后的运动过程中恰好不脱离圆弧轨道，求小滑块乙与水平面的动摩擦因数．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）小球甲由C到B，由动能定理得

        ①   

               ② 

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