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1991年全国统一高考数学试卷(湖南、云南、海南)
2025-09-28 00:36:36 责编:小OO
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1991年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）

　

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（3分）（1991•云南）sin15°cos30°sin75°的值等于（　　）

　A．

B．

C．

D．

　

2．（3分）（1991•云南）已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（　　）

　A．

它的首项是﹣2，公差是3

B．

它的首项是2，公差是﹣3

　C．

它的首项是﹣3，公差是2

D．

它的首项是3，公差是﹣2

　

3．（3分）（1991•云南）设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（　　）

　A．

B．

C．

D．

2
　

4．（3分）（1991•云南）在直角坐标系xOy中，参数方程（其中t是参数）表示的曲（　　）

　A．

双曲线B．

抛物线C．

直线D．

圆
　

5．（3分）（1991•云南）设全集I为自然数集N，E={x丨x=2n，n∈N}，F={x丨x=4n，n∈N}，那么集合N可以表示成（　　）

　A．

E∩FB．

∁UE∪F

C．

E∪∁UF

D．

∁UE∩∁UF

　

6．（3分）（1991•云南）已知Z1，Z2是两个给定的复数，且Z1≠Z2，它们在复平面上分别对应于点Z1和点Z2．如果z满足方程|z﹣z1|﹣|z﹣z2|=0，那么z对应的点Z的集合是（　　）

　A．

双曲线B．

线段Z1Z2的垂直平分线

　C．

分别过Z1，Z2的两条相交直线

D．

椭圆
　

7．（3分）（1991•云南）设5π＜θ＜6π，cos=a，那么sin等于（　　）

　A．

﹣

B．

﹣

C．

﹣

D．

﹣

　

8．（3分）（1991•云南）函数y=sinx，x的反函数为（　　）

　A．

y=arcsinx，x∈[﹣1，1]

B．

y=﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]

　C．

y=π+arcsinx，x∈[﹣1，1]

D．

y=π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]

　

9．（3分）（1991•云南）复数z=﹣3（sin﹣icos）的辐角的主值是（　　）

　A．

B．

C．

D．

　

10．（3分）（1991•云南）满足sin（x﹣）的x的集合是（　　）

　A．

{}

　B．

{}

　C．

{}

　D．

{x|2kπ}}

　

11．（3分）（1991•云南）点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（　　）

　A．

（﹣6，8）

B．

（﹣8，﹣6）

C．

（6，8）

D．

（﹣6，﹣8）

　

12．（3分）（1991•云南）极坐标方程4sin2θ=3表示的曲线是（　　）

　A．

二条射线B．

二条相交直线C．

圆D．

抛物线
　

13．（3分）（1991•云南）由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（　　）

　A．

210个

B．

300个

C．

4个

D．

600个

　

14．（3分）（1991•云南）如图是周期为2π的三角函数y=f（x）的图象，那么f（x）可以写成（　　）

　A．

sin（1+x）

B．

sin（﹣1﹣x）

C．

sin（x﹣1）

D．

sin（1﹣x）

　

15．（3分）（1991•云南）设命题甲为lgx2=0；命题乙为x=1．那么（　　）

　A．

甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
　B．

甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
　C．

甲是乙的充要条件
　D．

甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
　

16．（3分）（1991•云南）的展开式中常数项是（　　）

　A．

﹣160

B．

﹣20

C．

20D．

160
　

17．（3分）（1991•云南）体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S1，S2，S3，那么它们的大小关系为（　　）

　A．

S1＜S2＜S3

B．

S1＜S3＜S2

C．

S2＜S3＜S1

D．

S2＜S1＜S3

　

18．（3分）（1991•云南）曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2﹣4x﹣5=0的公共点的个数是（　　）

　A．

4B．

3C．

2D．

1
　

二、填空题：把答案填在题中的横线上.

19．（3分）（1991•云南）椭圆9x2+16y2=144的离心率为　_________　．

　

20．（3分）（1991•云南）设复数z1=2﹣i，z2=1﹣3i，则复数的虚部等于　_________　．

　

21．（3分）（1991•云南）已知圆台的上、下底面半径分别为r、2r，侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为　_________　．

　

22．（3分）（1991•云南）=　_________　．

　

23．（3分）（1991•云南）在体积为V的斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，已知S是侧棱CC′上的一点，过点S，A，B的截面截得的三棱锥的体积为V1，那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积为　_________　．

　

24．（3分）（1991•云南）设函数f（x）=x2+x+的定义域是{n，n+1}（n是自然数），那么在f（x）的值域有　_________　个整数．

　

三、解答题.

25．（1991•云南）已知α，β为锐角，cosα=，tan（α﹣β）=，求cosβ的值．

　

26．（1991•云南）解不等式：．

　

27．（1991•云南）如图：已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，M是CC1的中点．求证：AB1⊥A1M．

　

28．（1991•云南）设{an}是等差数列，a1=1，Sn是它的前n项和；{bn}是等比数列，其公比的绝对值小于1，Tn是它的前n项和，如果a3=b2，S5=2T2﹣6，，{an}，{bn}的通项公式．

　

29．（1991•云南）已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为，C的两个焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与直线F1F2的夹角为tanψ=，l与线段F1F2的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线C的交点为Q，且|PQ|：|QF2|=2：1．求双曲线C的方程．

　

30．（1991•云南）已知函数．

（Ⅰ）证明：f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；

（Ⅱ）证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f（n）＞．

　

1991年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）

参与试题解析

　

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（3分）（1991•云南）sin15°cos30°sin75°的值等于（　　）

　A．

B．

C．

D．

考点：二倍角的正弦． 

专题：计算题；三角函数的求值．
分析：利用诱导公式与二倍角的正弦即可求得答案．
解答：解：∵sin15°cos30°sin75°

=sin15°cos15°cos30°

=sin30°cos30°

=sin60°

=×

=．

故选B．

点评：本题考查诱导公式与二倍角的正弦，属于中档题．
　

2．（3分）（1991•云南）已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（　　）

　A．

它的首项是﹣2，公差是3

B．

它的首项是2，公差是﹣3

　C．

它的首项是﹣3，公差是2

D．

它的首项是3，公差是﹣2

考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和． 

专题：等差数列与等比数列．
分析：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意可建立关于a1和d的方程组，解之即可．

解答：解：设等差数列的首项为a1，公差为d，

由等差数列的求和公式可得，

解得，

故选A

点评：本题考查等差数列的通项公式和求和运算，属基础题．
　

3．（3分）（1991•云南）设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（　　）

　A．

B．

C．

D．

2
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 

专题：计算题．
分析：由已知中正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，结合正六边形面积的求法，及正六棱锥侧棱长、高、对角线的一半构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以分别求出其底面积和高，代入棱椎体积公式，即可得到答案

解答：解：∵正六棱锥的底面边长为1，

则S底面积=6•=

又∵侧棱长为

则棱锥的高h==2

故棱锥的体积V=×S底面积×h=××2=

故选C

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积公式，其中根据已知条件计算出棱锥的底面积和高是解答本题的关键．
　

4．（3分）（1991•云南）在直角坐标系xOy中，参数方程（其中t是参数）表示的曲（　　）

　A．

双曲线B．

抛物线C．

直线D．

圆
考点：简单曲线的极坐标方程． 

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：判断此曲线的类型可以将参数方程化为普通方程，再依据变通方程的形式判断此曲线的类型，由此参数方程的形式，可采用代入法消元的方式将其转化为普通方程．
解答：解：由题意，

由（1）得2t=x﹣1代入（2）得2y=（x﹣1）2﹣2，

即y=（x﹣1）2﹣1，其对应的图形是一条抛物线．

故选B．

点评：本题考查直线的参数方程，解题的关键是掌握参数方程转化为普通方程的方法代入法消元，本题易因为忘记判断出x，y的取值范围而误判此曲线为直线，好在选项中没有这样的干扰项，使得本题的出错率大大降低．

　

5．（3分）（1991•云南）设全集I为自然数集N，E={x丨x=2n，n∈N}，F={x丨x=4n，n∈N}，那么集合N可以表示成（　　）

　A．

E∩FB．

∁UE∪F

C．

E∪∁UF

D．

∁UE∩∁UF

考点：子集与交集、并集运算的转换． 

专题：计算题．
分析：根据已知条件，对四个选项一一进行验证，看它们运算的结果是否是自然数集N，即可得出答案．

解答：解：∵E={x丨x=2n，n∈N}，F={x丨x=4n，n∈N}，

对于选项A：E∩F=F，不合．

B：∁UE∪F={x|x=2n+1，n∈N}∪F，其中不能含有元素2，故不合题意；

C：E∪∁UF=N，正确；

D：∁UE∩∁UF=∁U（E∪F）={x|x=2n+1，n∈N}≠N，故不合题意．

故选C．

点评：本题主要考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了自然数集N的概念，属于基础题．

　

6．（3分）（1991•云南）已知Z1，Z2是两个给定的复数，且Z1≠Z2，它们在复平面上分别对应于点Z1和点Z2．如果z满足方程|z﹣z1|﹣|z﹣z2|=0，那么z对应的点Z的集合是（　　）

　A．

双曲线B．

线段Z1Z2的垂直平分线

　C．

分别过Z1，Z2的两条相交直线

D．

椭圆
考点：复数求模． 

专题：计算题．
分析：利用复数z的几何意义可知|z﹣z1|﹣|z﹣z2|=0中z对应的点Z的集合．

解答：解：∵|z﹣z1|﹣|z﹣z2|=0，

∴|z﹣z1|=|z﹣z2|，又复数z1，z2在复平面上分别对应于点Z1和点Z2，

∴z对应的点Z到点Z1和点Z2的距离相等，

∴点Z为线段Z1Z2的垂直平分线．

故选B．

点评：本题考查复数z的几何意义，考查理解与转化能力，属于中档题．

　

7．（3分）（1991•云南）设5π＜θ＜6π，cos=a，那么sin等于（　　）

　A．

﹣

B．

﹣

C．

﹣

D．

﹣

考点：二倍角的余弦． 

专题：计算题；三角函数的求值．
分析：5π＜θ＜6π⇒∈（，3π）⇒∈（，），由cos=a即可求得sin．

解答：解：∵5π＜θ＜6π

∴∈（，3π），∈（，），

又cos=a，

∴sin=﹣=﹣．

故选D．

点评：本题考查二倍角的正弦与余弦，考查平方关系的应用，考查运算能力，属于中档题．
　

8．（3分）（1991•云南）函数y=sinx，x的反函数为（　　）

　A．

y=arcsinx，x∈[﹣1，1]

B．

y=﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]

　C．

y=π+arcsinx，x∈[﹣1，1]

D．

y=π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]

考点：反三角函数的运用． 

专题：三角函数的求值．
分析：由于x时，﹣1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[﹣1，1]，表示在区间[﹣，]上，正弦值等于x的一个角，从而得到函数y=sinx，x

的反函数．

解答：解：由于x时，﹣1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[﹣1，1]，表示在区间[﹣，]上，正弦值等于x的一个角，

故函数y=sinx，x的反函数为y=π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]，

故选D．

点评：本题主要考查反正弦函数的定义，求一个函数的反函数，属于中档题．
　

9．（3分）（1991•云南）复数z=﹣3（sin﹣icos）的辐角的主值是（　　）

　A．

B．

C．

D．

考点：复数的基本概念． 

专题：计算题．
分析：利用诱导公式即可得出．
解答：解：===．

∴argZ=．

故选C．

点评：熟练掌握诱导公式和辐角主值的意义即可得出．
　

10．（3分）（1991•云南）满足sin（x﹣）的x的集合是（　　）

　A．

{}

　B．

{}

　C．

{}

　D．

{x|2kπ}}

考点：正弦函数的单调性． 

专题：三角函数的图像与性质．
分析：由sin（x﹣），结合正弦函数的单调性可得 2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈z，由此求得满足sin（x﹣）的x的集合．

解答：解：由sin（x﹣），结合正弦函数的单调性可得 2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈z．

解得 ，

故选A．

点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，三角不等式的解法，属于中档题．
　

11．（3分）（1991•云南）点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（　　）

　A．

（﹣6，8）

B．

（﹣8，﹣6）

C．

（6，8）

D．

（﹣6，﹣8）

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程． 

专题：直线与圆．
分析：设出对称点的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分，建立方程组，即可求得结论．
解答：解：设点M的坐标为（a，b），则 

∴a=﹣6，b=﹣8

∴M（﹣6，﹣8），

故选D．

点评：本题考查直线中的对称问题，考查学生的计算能力，属于基础题．
　

12．（3分）（1991•云南）极坐标方程4sin2θ=3表示的曲线是（　　）

　A．

二条射线B．

二条相交直线C．

圆D．

抛物线
考点：简单曲线的极坐标方程． 

专题：计算题．
分析：根据极坐标方程4sin2θ=3可知4ρ2sin2θ=3ρ2，然后根据y=ρsinθ，x=ρcosθ可得其直角坐标方程，即可得到答案．

解答：解：∵4sin2θ=3

∴4ρ2sin2θ=3ρ2

则4y2=x2+y2，

∴x=y或x=﹣y，

则极坐标方程4sin2θ=3表示的图形是两条直线．

故选B．

点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．
　

13．（3分）（1991•云南）由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（　　）

　A．

210个

B．

300个

C．

4个

D．

600个

考点：排列、组合及简单计数问题． 

专题：计算题．
分析：由题意知本题是一个分类计数问题，由题意知个位数字小于十位数字，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有A55个、A41A31A33个、A31A31A33个、A21A31A33个、A31A33个，根据分类计数原理得到结果．

解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题

∵由题意知个位数字小于十位数字，

∴个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，

每一种类型分别有A55个、A41A31A33个、A31A31A33个、A21A31A33个、A31A33个，

∴共有A55+A41A31A33+A31A31A33+A21A31A33+A31A33=300，

故选B．

点评：本题考查排列组合及分类计数原理，是一个数字问题，这种问题比较容易出错，解题时要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有条件的元素．
　

14．（3分）（1991•云南）如图是周期为2π的三角函数y=f（x）的图象，那么f（x）可以写成（　　）

　A．

sin（1+x）

B．

sin（﹣1﹣x）

C．

sin（x﹣1）

D．

sin（1﹣x）

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 

专题：计算题．
分析：由题意知，f（x）=sin（x+φ），利用1+φ=π+2kπ，k∈Z，求得φ，即可求得答案．

解答：解：依题意，f（x）=sin（x+φ），

∵函数y=f（x）经过（1，0），

∴1+φ=π+2kπ，k∈Z，

∴φ=π+2kπ﹣1，k∈Z，

∴f（x）=sin（x+π+2kπ﹣1）

=sin（π+x﹣1）

=﹣sin（x﹣1）

=sin（1﹣x），

故选D．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得φ是关键，考查诱导公式与运算能力，属于中档题．

　

15．（3分）（1991•云南）设命题甲为lgx2=0；命题乙为x=1．那么（　　）

　A．

甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
　B．

甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
　C．

甲是乙的充要条件
　D．

甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 

专题：探究型．
分析：利用充分条件和必要条件的定义判断．
解答：解：由lgx2=0，的x2=1，所以x=1或x=﹣1，

所以甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．

故选B．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件关系的判断．
　

16．（3分）（1991•云南）的展开式中常数项是（　　）

　A．

﹣160

B．

﹣20

C．

20D．

160
考点：二项式系数的性质． 

专题：计算题．
分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，进而求出展开式的常数项．

解答：解：展开式的通项为Tr+1=（﹣2）rC6rx3﹣r

令3﹣r=0得r=3

所以展开式的常数项为（﹣2）3C63=﹣160

故选A

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
　

17．（3分）（1991•云南）体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S1，S2，S3，那么它们的大小关系为（　　）

　A．

S1＜S2＜S3

B．

S1＜S3＜S2

C．

S2＜S3＜S1

D．

S2＜S1＜S3

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 

专题：空间位置关系与距离．
分析：由题意求出正方体，球，及圆柱的体积，通过相等即可得到棱长，球半径，及圆柱半径和母线长，求出三者的表面积即可得到大小关系．
解答：解：设球的半径为R，正方体的棱长为a，圆柱的底面半径是r，

所以球的体积为：πR3，正方体的体积为：a3，圆柱的体积为：2πr3；

故a3=πR3=2πr3

且球的表面积为：4πR2，正方体的表面积为：6a2，圆柱的表面积为：6πr2；

因为S2﹣S1=4πR2﹣6a2=4πR2﹣6×（πR3）=4πR2﹣6×（π）R2＜0．

∴S2＜S1

同样地，S2＜S3＜S1

故选C．

点评：本题是基础题，考查正方体、球、圆柱的表面积体积的关系，考查计算能力．
　

18．（3分）（1991•云南）曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2﹣4x﹣5=0的公共点的个数是（　　）

　A．

4B．

3C．

2D．

1
考点：曲线与方程． 

专题：计算题；直线与圆．
分析：将两个曲线方程联解，消去y得得2x2﹣11x﹣13=0，解之得x=﹣1或x=．再将x的回代到方程中，解之可得只有x=﹣1、y=0符合题意．由此即可得到两个曲线有唯一的公共点，得到答案．

解答：解：由消去y2，得2x2﹣11x﹣13=0

解之得x=﹣1或x=

当x=﹣1，代入第一个方程，得y=0； 

当x=时，代入第一个方程得2y2++3=0，没有实数解

因此，两个曲线有唯一的公共点（﹣1，0）

故选：D

点评：本题求两个已知曲线公共点的个数，着重考查了曲线与方程、二元方程组的解法等知识，属于基础题．
　

二、填空题：把答案填在题中的横线上.

19．（3分）（1991•云南）椭圆9x2+16y2=144的离心率为　　．

考点：椭圆的简单性质． 

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用椭圆的标准方程和离心率计算公式即可得出．
解答：解：由椭圆9x2+16y2=144化为，∴a2=16，b2=9．

∴=．

故答案为．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程和离心率计算公式是解题的关键．
　

20．（3分）（1991•云南）设复数z1=2﹣i，z2=1﹣3i，则复数的虚部等于　1　．

考点：复数代数形式的乘除运算． 

专题：计算题．
分析：利用复数的运算性质将+转化为a+bi（a，b∈R）的形式，即可求得答案．

解答：解：∵z1=2﹣i，

∴=2+i，

∴===﹣+i；

又z2=1﹣3i，

∴=1+3i，

∴=+i；

∴+=i，

∴+的虚部等于1．

故答案为：1．

点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，属于中档题．
　

21．（3分）（1991•云南）已知圆台的上、下底面半径分别为r、2r，侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为　　．

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 

专题：空间位置关系与距离．
分析：求出圆台的上底面面积，下底面面积，写出侧面积表达式，利用侧面面积等于两底面面积之和，求出圆台的母线长，最后根据解直角三角形求出它的高即可．
解答：解：设圆台的母线长为l，则

圆台的上底面面积为S上=π•r2=r2π

圆台的下底面面积为S下=π•（2r）2=4r2π

所以圆台的两底面面积之和为S=S上+S下=5r2π

又圆台的侧面积S侧=π（r+2r）l=3πrl

于是5r2π=3πrl即l=，

圆台的高为h==，

故答案为：．

点评：本题考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的高，考查计算能力，是基础题．
　

22．（3分）（1991•云南）=　0　．

考点：极限及其运算． 

专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：把分式的分子分母同时除以n•3n，然后取极限值即可得到答案．

解答：解：==．

故答案为0．

点评：本题考查数列的极限，解答的关键是消去趋于无穷大的式子，是基础题．
　

23．（3分）（1991•云南）在体积为V的斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，已知S是侧棱CC′上的一点，过点S，A，B的截面截得的三棱锥的体积为V1，那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积为　　．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 

专题：空间位置关系与距离．
分析：我们可设侧棱CC′到侧面ABB′A′的距离为d，根据斜三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积等于侧面ABB′A′的面积与d的乘积的一半，再根据同底同高的棱锥体积公式，求出四棱椎S﹣ABB′A′的体积，进而得到答案．

解答：解：设侧棱CC′到侧面ABB′A′的距离为d

∵斜三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积等于侧面ABB′A′的面积与d的乘积的一半，

∴V=SABB'A'•d，

又四棱椎S﹣ABB′A′的体积等于 SABB'A'•d=V，

则那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积为等于 V﹣V1﹣V=．

故答案为：．

点评：本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，考查割补法．属于基础题．
　

24．（3分）（1991•云南）设函数f（x）=x2+x+的定义域是{n，n+1}（n是自然数），那么在f（x）的值域有　2n+2　个整数．

考点：二次函数的性质． 

专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：f（x）的对称轴是x=﹣，当n≥1时，f（x）在[n，n+1]上是单调递增的，因为f（n）和f（n+1）都不是整数，故f（x）的值域中的整数个数问题只要计算f（n+1）﹣f（n）即可；n=0时，值域为[f（0），f（1）]．
解答：解：当n≥1时，f（x）在[n，n+1]上是单调递增的，

f（n+1）﹣f（n）=（n+1）2+（n+1）+﹣n2﹣n﹣=2n+2，故f（x）的值域中的整数个数是2n+2，

n=0时，值域为[f（0），f（1）]=[，]，有1，2两个整数．

故答案为：2n+2

点评：本题考查二次函数的值域问题，对问题的化归转化能力．
　

三、解答题.

25．（1991•云南）已知α，β为锐角，cosα=，tan（α﹣β）=，求cosβ的值．

考点：两角和与差的正切函数． 

专题：计算题．
分析：依题意，可求得sinα及tanα，利用两角差的正切可求得tanβ，由cosβ=即可求得答案．

解答：解：∵α为锐角，cosα=，

∴sinα==，

∴tanα==．

∵tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，

又β是锐角，

∴cosβ===．

点评：本题考查三角公式、三角函数式的恒等变形和运算能力，属于中档题．
　

26．（1991•云南）解不等式：．

考点：其他不等式的解法． 

专题：不等式的解法及应用．
分析：先移项平方后化成一般形式，再直接利用一元二次不等式的解法，求解即可．
解答：解：①当x＜0时，由于等价于5﹣4x﹣x2≥0

即有﹣5≤x≤1，故不等式的解集是[﹣5，0）；

②当x=0时，由于，显然x=0满足题意；

③当x＞0时，由于等价于

即有

由于

故不等式的解集是．

综上可知，不等式的解集是 ．

点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，考查计算能力．
　

27．（1991•云南）如图：已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，M是CC1的中点．求证：AB1⊥A1M．

考点：直线与平面垂直的性质． 

专题：证明题．
分析：要证，只要A1M⊥AC1，B1C1⊥AC1 即证MA1⊥AB1C1，从而可证AB1⊥A1M

解答：证明：连接AC1

∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，，

∴=

Rt△A1C1M中，tan∠A1MC1==

Rt△AA1C1中，tan∠AC1A1==

∴tan∠MA1C1=tan∠AC1A1 即∠AC1A1=∠A1MC1

∴A1M⊥AC1

∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1且AC1∩CC1=C1

∴B1C1⊥平面AA1C1且MA1⊂面AA1C1

∴B1C1⊥MA1，又AC1∩B1C1是=C1

根据线面垂直的判定定理可知MA1⊥平面AB1C1

∴AB1⊥A1M

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，线线垂直与线面垂直的相互转化，属于中档试题
　

28．（1991•云南）设{an}是等差数列，a1=1，Sn是它的前n项和；{bn}是等比数列，其公比的绝对值小于1，Tn是它的前n项和，如果a3=b2，S5=2T2﹣6，，{an}，{bn}的通项公式．

考点：数列的极限；等差数列的性质；等比数列的性质． 

专题：等差数列与等比数列．
分析：则由题意可得 ，化简可得 3b1q=2b1﹣6 ①．再由 = ②，由①②构成方程组，解方程组求得b1和q的值，可得d的值，从而求得，{an}，{bn}的通项公式．

解答：解：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q（|q|＜1）．

则由题意可得 ，化简可得 3b1q=2b1﹣6 ①．

再由 = ②，由①②构成方程组，解方程组求得，故有d=．

∴an=1+（n﹣1），bn=6•．

点评：本小题考查等差数列、等比数列的概念，数列的极限，运用方程（组）解决问题的能力，属于中档题．
　

29．（1991•云南）已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为，C的两个焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与直线F1F2的夹角为tanψ=，l与线段F1F2的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线C的交点为Q，且|PQ|：|QF2|=2：1．求双曲线C的方程．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质． 

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：如图，以F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．设双曲线的方程为，可得直线PQ的方程为，得到点P的坐标．由线段的定比分点坐标公式得点Q的坐标，代入双曲线的方程即可得到．又ab=，联立即可得出．

解答：解：如图，以F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．

设双曲线的方程为，

直线PQ的方程为，则P，

由线段的定比分点坐标公式得，=．

∴．

代入双曲线的方程得，整理得，

解得，或=．（舍去）．

∴．又ab=，

∴，a=1．

故所求的双曲线方程为．

点评：本小题考查利用坐标法研究几何问题的思想，线段的定比分点坐标公式，双曲线的有关知识及综合解题能力．
　

30．（1991•云南）已知函数．

（Ⅰ）证明：f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；

（Ⅱ）证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f（n）＞．

考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明． 

专题：证明题；函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）设x1，x2为任意两个实数，且x1＜x2，而f（x）==1﹣，利用作差证明f（x2）＞f（x1）即可；

（Ⅱ）要证f（n）＞（n∈N，n≥3），即要证1﹣，即要证2n﹣1＞2n（n≥3）．用数学归纳法即可证明；

解答：（Ⅰ）证明：设x1，x2为任意两个实数，且x1＜x2，

f（x）==1﹣，

f（x2）﹣f（x1）==，

由指数函数性质知，＞0，＞0，

∴f（x2）﹣f（x1）＞0，

故f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；

（Ⅱ）要证f（n）＞（n∈N，n≥3），即要证1﹣，

即要证2n﹣1＞2n（n≥3）．①

现用数学归纳法证明①式．

（1）当n=3时，左边=23﹣1=7，右边=2×3=6，

∴左边＞右边，因而当n=3时①式成立．

（2）假设当n=k（k≥3）时①式成立，即有2k﹣1＞2k，那么

2k+1﹣1=2•2k﹣1=2（2k﹣1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+（2k﹣1），

∵k≥3，∴2k﹣1＞0．

∴2k+1﹣1＞2（k+1）．

这就是说，当n=k+1时①式成立．

根据（1）（2）可知，①式对于任意不小于3的自然数n都成立．

由此有f（n）＞．（n≥3，n∈N）．

点评：本小题考查指数函数，数学归纳法，不等式证明等知识以及综合运用有关知识解决问题的能力．
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