数学

（清华附中初13级）2016年4月

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．某区在改善环境绿化方面，将投入资金由计划的1 500 000元提高到

2 000 000元. 其中2 000 000用科学记数法表示为（    ）

A．       B．        C．      D．  

2．如右下图，桌面上有一个一次性纸杯，它的俯视图应是（　　）

3． 如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是7，那么点B表示的数是（　　）

A．      B．        C． 2         D． 

4．小伟投一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,那么向上的一面的点数大于4的概率为（　　）

   A．       B．         C．         D．  

5．如图，AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D，

若 AB=，OD=3，则⊙O的半径等于（     ）

A．          B．         C．         D． 

6．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2的度数（　　）

 A．        B．        C．       D． 

7．某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间(单位：小时)，并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误的是(    )

A．众数是9    B．中位数是9 

C．平均数是9  D．锻炼时间不低于9小时的有14人   

8．二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，则点(a, c)在（     ）

A. 第一象限     B. 第二象限

C. 第三象限     D. 第四象限

9．以下是某市自来水价格调整表：

  自来水价格调整表（部分） 单位：元/立方米

10.有甲、乙、丙三人参加5项科普知识比赛（其中包含天文、互联网），在每个项目中，第一名得分， 第二名得分，  第三名得分，都是正整数，且，最后计算总分时，甲得了22分，乙与丙各得了9分，且乙在天文知识比赛中获得第一名，则在互联网项目中，获得第二名的是（    ）

  A.甲              B.乙                C.丙                D.无法确定

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11. 分解因式： =           ．

12．如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是       ．

13．公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部，加上它的七分之一，其和等于19．此问题中“它”的值为________．

14．关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a, b 的值： a =_____    ， b=_________．

15． 2014年12月28日开始，北京市公共汽车和地铁按里程分段计价.乘坐地铁（不包括机场线）具体方案如下：6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里. 使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满100元以后的乘次，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次，价格给予5折优惠；支出累计达到400元以后的乘次，不再享受打折优惠．小李上班时，需要乘坐地铁15.9公里达到公司，每天上下班共乘坐两次，每月按上班22天计算，如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么小李每月第21次乘坐地铁时，他刷卡支出的费用是             元；他每月上下班乘坐地铁的总费用是           元.

16.已知△，小明利用下述方法做作出了△的一条角平分线.

小明的作法：

  (1)过点作与平行的射线；（边与射线位于边的异侧）

  (2)在射线上取一点，使得；

  (3)连结,交于点.

线段即为所求.

小明的作法所蕴含的数学道理为_______________________________________

_______________________________________________________________.

三、解答题（本题共72分，17-26题每题5分，27、28题每题7分，29题8分）

17．计算：．

18． 解不等式组. 

19．已知，求的值.

20．已知：如图，C是AE的中点，∠B=∠D，BC//DE．

    求证：AB=CD

21．平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1.

(1) 求m和k的值；

(2) 若过点A的直线与y轴交于点C，且∠ACO=45°，直接写出点C的坐标.

22．列方程（组）解应用题：为提高运输效率、保障高峰时段人们的顺利出行，地铁公司在保证安全运行的前提下，缩短了发车间隔，从而提高了运送乘客的数量. 缩短发车间隔后比缩短发车间隔前平均每分钟多运送乘客50人，使得缩短发车间隔后运送14400人的时间与缩短发车间隔前运送12800人的时间相同，那么缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客多少人？

23． 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，，BC=2，

，．

(1)求∠BDC的度数；  

(2)求AB的长．

24．为了了解某市的绿化进程，小明同学查询了园林绿化政务网，根据网站发布的近几年该市城市绿化资源情况的相关数据，绘制了如下统计图（不完整）：

（1）请根据以上信息解答下列问题：

① 求2014年该市人均公共绿地面积是多少平方米（精确到0.1）？

② 补全条形统计图；

（2）小明同学还了解到自己身边的许多同学都树立起了绿色文明理念，从自身做起，多种树，为提高人均公共绿地面积做贡献. 他对所在班级的40名同学2015年参与植树的情况做了调查，并根据调查情况绘制出如下统计表：

25．如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．            

（1）求证：DF是⊙O的切线；            

（2）若，半径OA=4，求AE的长．

26．类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P是斜坐标系xOy中的任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴分别交于点M、N，如果M、N在x轴、y轴上分别对应的实数是a、b，这时点P的坐标为（a，b）．

（1）如图2，在斜坐标系xOy中，画出点A(-2，3)(不要求尺规作图,不写作法)；

（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（5，0）、C（0，4），且P（x，y）是线段CB上的任意一点，求y与 x之间的函数关系式；

（3）若（2）中的点P在线段CB的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，直接写出你的结论：______(填“是”或“否”)

27．已知关于的函数,直线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，点的纵坐标为3，且，.

(1)求实数的值及点的坐标；

(2)若该二次函数的图像与线段只有一个公共点，请结合函数图像，求出实数的取值范围. 

28.如图2所示，在边长为1的正方形中，是边上一动点，的延长线与的外角平分线交于， =，且交的外角平分线交于，把△绕旋转至△.

(Ⅰ)如图1所示，当时，求的长;

(Ⅱ)如图2所示.

(1)请探究线段之间的数量关系，并证明.

 (2)当点在边上运动时，记,=,探究是否随着的变化而变化，若不变化，求出的值，若变化,求出与的函数关系式.

图1                           图2

29.已知为实数，表示不超过的最大整数，如, ,.

(1) 解方程；

(2) 已知为正数，且不为整数，利用四舍五入的方法把近似(保留至个位)为，其中为正整数，请探究与之间的关系，并简述你的理由.

(3)已知为坐标原点，以为圆心，为半径作圆，且，且该圆与函数恰有两个不同的公共点，请直接写出的取值范围.

                           初三第二学期期中数学答案

一、选择题：

11.   

12.   6

13.   

14.  都可以

15.   4；179.5

16.  等边对等角；两直线平行，内错角相等.(等量代换,三角形角平分线的定义，可以不写)

三、解答题

17. 

18.，

 19. 原式=

20. 证明：∵C是AE的中点，

∴AC＝CE. ……………………………………………………1分

∵BC∥DE，

∴∠ACB=∠E.  …………………………………………………2分

在△ABC和△CDE中，

，

∴△ABC≌△CDE.  ………………………………………4分

∴ AB＝CD.  …………………………………………………5分

21. 解：（1）∵ 反比例函数的图象经过点，

            ∴，且m＞0.

  ∵ AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1， 

            ∴. 

            解得.   …………………………………………1分

            ∴ 点A的坐标为.   ……………………………2分

            ∴.   ………………………………………3分

       （2）点C的坐标为(0,3)或(0,-1).   ………………………5分

22. 解：设缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客x人. ……………………1分

根据题意，得

，  ………………………………………3分

解得.  ……………………………………………4分

经检验，是原方程的解.且符合题意  ………………………5分

答：缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客400人. 

23. 解：（1）∵ 梯形ABCD中，AD∥BC，，，

∴，． 

在Rt△ABD中，∵，，

∴． 

∴．…… 2分

（2）作于点E，于点F．（如图3）  

在Rt△BCE中，∵ BC=2，，

∴，．

∵，

∴．

∴．  …………………………………3分

∵，

∴． …… 4分

            ∵ AD∥BC，，，

∴． ………………………………5分

24. 解：（1）①， ……………………………2分

即2014年北京市人均绿地面积约为15.0平方米.

     ②

…………………3分

（2）. ……………5分

估计她所在学校的300名同学在2015年共植树675棵.

25.      （1）证明：连接OD ．        

∵ OB=OD，             

∴ ∠B=∠ODB．             

∵ AB=AC，             

∴ ∠B=∠C．             

∴ ∠ODB=∠C．             

∴ OD∥AC．…………1分    

∵ DF⊥AC，             

∴ OD⊥DF．             

∴ DF是⊙O的切线．         …………2分

（2）解：连结BE，AD ．            

∵ AB是直径，             

∴ ∠ADB=90°，∠AEB=90°．            

∵ AB=AC，            

∴ ∠ABC=∠C，BD=CD．            

在Rt△ABD 中，由题意可求出．……3分

∴．

在Rt△BCE 中，可求出CE=13．   …………4分

∴ AE=CE-AC=5．    …………5分        

26.  （1）如图

…1分

（2）；（过程略）………………………………4分

     （3）是………………………5分

27.参：（1），；（2），.

28.解：（Ⅰ）通过△≌△,可得,

         ，.…………2分

（Ⅱ）.（在直角△中证明）………………5分

（Ⅲ）.根据∽△.……………………7分

29.参：(1)；(2)；（3）或或.下载本文