专题八： 导数及其应用
1.（2015年北京理科）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）的最大值为
【解析】（Ⅰ），曲线
在点处的切线方程为；
（Ⅱ）当时，，即不等式，对于
成立，设，则求得
，当时，
，故在上为增函数，则，因此对，
成立；
（Ⅲ）使对恒成立，等价于对
成立，设，，则
，当时，，函数在上
为增函数，，符合题意；
当时，令，，
| 极小值 |
【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；
3.含参问题讨论.
2.（2015年北京文科）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．
【答案】（Ⅰ）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；
（Ⅱ）证明详见解析
【解析】（Ⅰ）由，得，由，
解得，所以与在区间上的情况如下：
处取得极小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为，
因为存在零点，所以，从而，
当时，在区间上单调递减，且，
所以是在区间上的唯一零点， 当时，
在区间上单调递减，且，，
所以在区间上仅有一个零点；
综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.
【考点】1.导数的运算，2.利用导数判断函数的单调性，3.利用导数求函数的极值和最
大、最小值，4.函数零点问题.
3．（2015年安徽理科）设函数.
（）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（）记，求函数在上的最大值；
（）在（）中，取，求满足时的最大值.
【答案】（）极小值为；（）； （）
【解析】（）由，得：
而；
当时，函数在单调递增，无极值，
当时，函数在单调递减，无极值，
当时，函数在内存在唯一的零点，
使得，且时，函数单调递减，
时，函数单调递增，所以时，
函数有最小值，；
（）当时，
，当时，取等号成立，
当时，取等号成立，可知
在上的最大值为；
（）当即，而，
得到，这是取满足且，
由此可知，满足条件的最大值为.
【考点】1.函数的单调性、极值与最大（小）值；2.绝对值不等式的应用.
4.（2015年安徽文科）已知函数，
（）求的定义域，并讨论的单调性；
（）若，求在内的极值.
【答案】（）递增区间是，递减区间为和；
（）极大值为；无极小值
【解析】（）由题意可知即，所以的定义域为
，又，
而，令，
令或，所以得的单调递增区间为
，单调递减区间为和；
（）由（）可知在内的极大值为，
在内无极小值；
所以在内极大值为，无极小值.
【考点】1.导数在函数单调性中的应用；2.函数的极值.
5.（2015年福建理科）若定义在上的函数满足，其导函数满足
，则下列结论中一定错误的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由已知条件，必须构造函数，则，
所以在上单调递增，而，故
即，所以本题一定错误的是
选项C，而A、B、 D选项不能确定.
【考点】函数与导数．
6.（2015年福建理科）已知函数
()证明：当时，；
()证明：当时，存在,使得对任意恒有；
()确定的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．
【答案】()详见解析；()详见解析；()
【解析】()令则有
，当,所以在
上单调递减；故当时，，
即当时，；
()令则有
，当时，,
所以在上单调递增,，即，
故对任意正实数均满足题意，
当时，令，得，取，
对任意，恒有,所以在上单调递增,
,即，
综上，当时，总存在,使得对任意的恒有；
() 法一：当时，由（）知，对于，
故，
令，则有
，故当时，
,在上单调递增，
故,即,所以满足题意的不存在，
当时，由（）知存在,使得对任意的任意的恒有，
此时,令，
则有，故当
时，在上单调递增，
故,即,记与中较
小的为，则当时，恒有，故满足题意的不存在，
当，由（）知，当，
令则有，
当时，,所以在上单调递减，故,
故当时，恒有,此时，任意实数满足题意，
综上，只有.
法二：当时，由（）知，对于，
故，
令，解得，从而得到当时，对于，
恒有,所以满足题意的不存在，
当时，取，由（）知存在,使得任意
恒有，
此时,
令解得，此时,
记与中较小的为，则当时，恒有，
故满足题意的不存在，
当，由（）知，当，
令，则有
，当时，,所以在上单调递减，
故,故当时，恒有,
此时，任意实数满足题意，综上，只有.
【考点】导数的综合应用．
7.（2015年福建文科）“对任意”，是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，，构造函数，
则，所以在单调递减，故得，
则成立；而当时，不等式等价于，
构造函数，则，所以在
单调递减，故得，得到也成立；综上“对任意
”，是“”的必要不充分条件.
【考点】导数的应用．
8.（2015年福建文科）已知函数.
()求函数的单调递增区间；
（）证明：当时，；
（）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．
【答案】()；（）详见解析；（）
【解析】()，
由
故的单调递增区间是；
（）令，则有，
当时，，所以在上单调递减，
故当时，，即当时，；
（）由（II）知，当时，不存在满足题意，
当时，对于，有，则，
从而不存在满足题意，
当时，令，则有
，由得，
解得，，
当时，，故在内单调递增，
从而当时，，即，
综上， 的取值范围是．
【考点】导数的综合应用．
9.（2015年新课标1理科）设函数,其中，若存在唯一的整
数，使得，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】设，
由题意可知存在唯一的整数，
使得在直线的下方，
而，所以当时，
，当时，，
所以当时，，，
当时，，直线恒过定点，斜率
为，故且，解得.
【考点】导数的综合应用．
10.（2015年新课标2理科）设函数是奇函数的导函数，，
当时，，则使得成立的的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】构造函数，则，因为当时，
，故当时，，所以在单调递减；
又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在
单调递减，且，当时，，则
；当时，，则，综上所述，使得
成立的的取值范围是.
【考点】导数的综合应用．
11.（2015年新课标2理科）设函数.
（）证明：在单调递减，在单调递增；
（）若对于任意，都有，求的取值范围.
【答案】（）见解析，（）
【解析】（）因为，所以
在时恒成立，所以在时
单调递增，而，所以时，时，
故在单调递减，在单调递增；
（）由（）知，当时，，
在上的最大值为，所以有成立，
当时，，设关于的函数
，所以，
所以在单调递增，而，
所以时，得，时，得，
当时，，
当时，，
综上所述的取值范围是.
【考点】导数的综合应用及均值不等式．
12.（2015年新课标2文科）已知曲线在点处的切线与曲线
相切,则 ．
【答案】
【解析】由可得曲线在点处的切线斜率为,故切线方程为
,与联立得,显然,所以由
.
【考点】导数的几何意义.
13.（2015年新课标2文科）已知.
（I）讨论的单调性；
（II）当有最大值,且最大值大于时,求的取值范围.
【答案】（I）在是单调递增；在单调递增,在
单调递减； （II）
【解析】（I）的定义域为，，若，则在单调递增，若，则当时，，当时，所以在单调递增，在单调递减；
（II）由（I）知时在单调递增，无最大值，当时 在取得最大值，最大值为，根据题意得，设，则在上为增函数，且，于是当时，，当时，，所以满足条件的的取值范围是.
【考点】导数的应用.
14.（2015年陕西理科）对二次函数（为非零常数），四位同学分别给
出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是
（A）是的零点 （B）是的极值点
（C）是的极值 （D）点在曲线上
【答案】A
【解析】若选项A错误时，选项B、 C、 D正确，可得，因为是
的极值点，是的极值，所以，
由于点在曲线上，所以，
解得，所以，这是
，所以不是的零点.
【考点】1.函数的零点； 2.利用导数研究函数的极值．
15.（2015年陕西理科）设是等比数列的各项和，其中．
（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；
（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，
比较与的大小，并加以证明．
【答案】（I）证明见解析；
（II）当时，，当时，，证明见解析
【解析】（I），因为则，
，所以
在内至少存在一个零点，又，
故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点，
因为是的零点，所以，即；
(II)解法一：由题设，，设
，当时,，
当时,，若,
，
若,
所以在上递增，在上递减，所以，
即，
综上所述，当时，，当时，.
解法二 由题设，，
当时，，
当时, 用数学归纳法可以证明，
当时,所以成立，
假设时，不等式成立，即，
那么，当时，
，
又
，令，
则
所以当在上递减，当在
上递增，所以，从而
故对于不等式也成立，
所以，对于一切的整数，都有.
【考点】1.零点定理；2.利用导数研究函数的单调性.
16.（2015年陕西文科）函数在其极值点处的切线方程为______.
【答案】
【解析】，令，而，
所以函数在其极值点处的切线方程为.
【考点】导数的几何意义.
17.（2015年天津理科）已知函数.
(I)讨论的单调性；
(II)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为,
求证：对于任意的正实数，都有；
(III)若关于的方程有两个正实根，求证：.
【答案】(I) 当为奇数时，在上单调递减，在内单调递
增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减.
(II)见解析； (III)见解析
【解析】 (I)由，得
分两种情况讨论：当为奇数时：令，解得或，
当变化时，的变化情况如下表：
数时，当，即时，函数单调递增；当，即
时，函数单调递减，所以在上单调递增，在上
单调递减；
(II)证明：设点的坐标为，则，曲线
在点处的切线方程为，
令，即，
则，由于在上单调递减，故
在上单调递减，又因为，所以当时，
，当时，，所以在内单调递增，
在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对
任意的正实数，都有；
(III)证明：不妨设，由(II)知，设方程
的根为，可得，当时，在
上单调递减，又由(II)知可得，
类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，
当，，即对任意，，
设方程的根为，可得，因为在上单调
递增，且，因此，故得，
又时，，所以，
所以.
【考点】1.导数的运算及导数的几何意义；2.利用导数研究函数性质、证明不等式.
18.（2015年天津文科）已知函数,其中为实数,为
的导函数,若,则的值为 ．
【答案】
【解析】因为,所以.
【考点】导数的运算法则.
19.（2015年山东理科）设函数，其中.
（）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（）若成立，求的取值范围.
【答案】（）当时的无极值点；当时有一个极值点；当
时，的有两个极值点；（）
【解析】（）因为，定义域为，所以
，
设，当时，，
函数在为增函数，无极值点；当时，
，若时，，
函数在为增函数，无极值点；若时，设
的两个不相等的实数根，且，则，
所以，故得当单调递增，
当单调递减，当
单调递增，此时函数有两个极值点；当时，而
，所以当单调递増；
当单调递减，所以只有一个极值点；
综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当
时，的有两个极值点；
（）由（）可知当时在单调递增，而，
则当时，，符合题意；当时，
在单调递增，而，则当时，
，符合题意；当时，，所以函数在
单调递减，而，则当时，，不符合题意；
当时，设，当时，
在单调递增，因此当时，
于是，当时，
此时，不符合题意；
综上所述，的取值范围是.
【考点】导数的综合应用.
20.（2015年江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，
计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山
区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示，为的两个端点，测得点到
的距离分别为千米和千米，点到的距离分别为千米和千米，以
所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，假设曲线符合函数
（其中为常数）模型.
（）求的值；
（）设公路与曲线相切于点，的横坐标为，
1请写出公路长度的函数解析式，并写出其
定义域；
②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度.
【答案】（）求；（），定义域为，
千米
【解析】（）由题意知，点的坐标分别为，代入函数式
，得，解得；
（）由（）知，则点的坐标为，
设在点处的切线交轴分别于点，，
则的方程为，可得，
所以；
设，则，令，
解得当时减函数，
当时增函数，
从而得当有极小值，也是最小值，，
这时，
答：当时，公路得长度最短，最短长度为千米.
【考点】利用导数求函数最大（小）值，导数几何意义.
21.（2015年江苏）已知函数.
（）试讨论的单调性；
（）若（实数是与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，
的取值范围恰好是，求的值.
【答案】（）当时，在上单调递增；当时，在，
上单调递增，在上单调递减；当时，在
，上单调递增，在上单调递减；
（）
【解析】（），令，得，
当时，，得到在上单调递增，
当时，时，，
，所以函数在，
上单调递增，在上单调递减；
当时，时，，
，所以函数在，
上单调递增，在上单调递减；
（）由（）知的两个极值为，，
则函数有三个零点等价于，
从而得或，
又，所以当时，或当时，，
设，因为有三个零点时，的取值范围恰好是
，则在上且在上
均恒成立，从而成立，因此，
此时，因为有三个零点，则
有两个异于的不等实根，所以
，且，解得的取值范围是
，可以确认.
【考点】利用导数求函数单调性、极值、函数零点.下载本文
