（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
证明：过点G作GH⊥AB于H，连接OE
∵EG⊥CO，EF⊥AB
∴∠EGO=90°，∠EFO=90°
∴∠EGO+∠EFO=180°
∴E、G、O、F四点共圆
∴∠GEO=∠HFG
∵∠EGO=∠FHG=90°
∴△EGO∽△FHG
∴=
∵GH⊥AB，CD⊥AB
∴GH∥CD
∴
∴
∵EO=CO
∴CD=GF
2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。
求证：△PBC是正三角形．（初二）
证明：作正三角形ADM，连接MP
∵∠MAD=60°，∠PAD=15°
∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°
∵∠BAD=90°，∠PAD=15°
∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°
∴∠BAP=∠MAP
∵MA=BA，AP=AP
∴△MAP≌△BAP
∴∠BPA=∠MPA，MP=BP
同理∠CPD=∠MPD，MP=CP
∵∠PAD＝∠PDA＝15°
∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75°
∵BA=CD
∴△BAP≌∠CDP
∴∠BPA=∠CPD
∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD
∴∠MPA=∠MPD=75°
∴∠BPC=360°-75°×4=60°
∵MP=BP，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC是正三角形
3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．
求证：∠DEN＝∠F．
证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG
∵CN=DN，CG=DG
∴GN∥AD，GN=AD
∴∠DEN=∠GNM
∵AM=BM，AG=CG
∴GM∥BC，GM=BC
∴∠F=∠GMN
∵AD=BC
∴GN=GM
∴∠GMN=∠GNM
∴∠DEN=∠F
（二）
1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
（1）求证：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）
证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G
∵OG⊥AF
∴AG=FG
∵=
∴∠F=∠ACB
又AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠BHD+∠DBH=90°
∠ACB+∠DBH=90°
∴∠ACB=∠BHD
∴∠F=∠BHD
∴BH=BF又AD⊥BC
∴DH=DF
∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD
又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD
∴四边形OMDG是矩形
∴OM=GD ∴AH=2OM
（2）连接OB、OC
∵∠BAC=60∴∠BOC=120°
∵OB=OC，OM⊥BC
∴∠BOM=∠BOC=60°∴∠OBM=30°
∴BO=2OM
由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO
2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.
求证：AP＝AQ．
证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF
∵AG⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°
又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF
即∠PAE=∠QAF
∵E、F、C、D四点共圆
∴∠AEF+∠FCQ=180°
∵EF⊥AG，PQ⊥AG
∴EF∥PQ
∴∠PAF=∠AFE
∵AF=AE
∴∠AFE=∠AEF
在△AEP和△AFQ中
∠AFQ=∠AEP
AF=AE
∠QAF=∠PAE
∴△AEP≌△AFQ
∴AP=AQ
∴∠AEF=∠PAF
∵∠PAF+∠QAF=180°
∴∠FCQ=∠QAF
∴F、C、A、Q四点共圆
∴∠AFQ=∠ACQ
又∠AEP=∠ACQ
∴∠AFQ=∠AEP
3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．（初二）
证明：作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG
∵C、D、B、E四点共圆
∴∠B=∠D，∠E=∠C
∴△ABE∽△ADC
∴
∴△ABG∽△ADF
∴∠AGB=∠AFD
∴∠AGE=∠AFC
∵AM=AN，
∴OA⊥MN
又OG⊥BE，
∴∠OAQ+∠OGQ=180°
∴O、A、Q、E四点共圆
∴∠AOQ=∠AGE
同理∠AOP=∠AFC
∴∠AOQ=∠AOP
又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA
∴△OAQ≌△OAP
∴AP=AQ
4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC
求证：BC=2OP（初二）
证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N
∵OF=OD，DN∥OP∥FL
∴PN=PL
∴OP是梯形DFLN的中位线
∴DN+FL=2OP
∵ABFG是正方形
∴∠ABM+∠FBL=90°
又∠BFL+∠FBL=90°
∴∠ABM=∠BFL
又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB
∴△BFL≌△ABM
∴FL=BM
同理△AMC≌△CND
∴CM=DN
∴BM+CN=FL+DN
∴BC=FL+DN=2OP
（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．（初二）
证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC又EG⊥AC
∴BD∥EG又DE∥AC
∴ODEG是平行四边形
又∠COD=90°
∴ODEG是矩形
∴EG=OD=BD=AC=AE
∴∠EAG=30°
∵AC=AE
∴∠ACE=∠AEC=75°
又∠AFD=90°-15°=75°
∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC
∴CE=CF
2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF．（初二）
证明：连接BD，过点E作EG⊥AC于G
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC，又EG⊥AC
∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15°
在△AFC中∠F =180°-∠FAC-∠ACF
°-∠FAC-∠GCE
=180°-135°-30°=15°
∴∠F=∠CEA
∴AE=AF
∴BD∥EG又DE∥AC
∴ODEG是平行四边形
又∠COD=90°
∴ODEG是矩形
∴EG = OD =BD=AC=CE
∴∠GCE=30°
∵AC=EC
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
证明：过点F作FG⊥CE于G，FH⊥CD于H
∵CD⊥CG ∴HCGF是矩形
∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG
∴HCGF是正方形
设AB=x，BP=y，CG=z
z：y=（x-y+z）：x
化简得（x-y）·y=（x-y）·z
∵x-y≠0
∴y=z
即BP=FG
∴△ABP≌△PGF
∴CG=GF
∵AP⊥FP
∴∠APB+∠FPG=90°
∵∠APB+∠BAP=90°
∴∠FPG=∠BAP
又∠FGP=∠PBA
∴△FGP∽△PBA
∴FG：PB=PG：AB
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．
求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
证明：过点E作EK∥BD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H，
连接OH、MH、EC
∵EH=FH
∴EM=KM
∵EK∥BD
∴
∴OB=OD
又AO=CO
∴四边形ABCD的对角线互相平分
∴ABCD是平行四边形
∴AB=DC，BC=AD
∴OH⊥EF，∴∠PHO=90°
又PC⊥OC，∴∠POC=90°
∴P、C、H、O四点共圆
∴∠HCO=∠HPO
又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK
∴∠HCM=∠HEM
∴H、C、E、M四点共圆
∴∠ECM=∠EHM
又∠ECM=∠EFA
∴∠EHM=∠EFA
∴HM∥AC
∵EH=FH
(四)
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求∠APB的度数．（初二）
解：将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得△BCQ，连接PQ
则△BPQ是正三角形
∴∠BQP=60°，PQ=PB=3
在△PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5
∴△PQC是直角三角形
∴∠PQC=90°
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°
∴∠APB=∠BQC=150°
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
证明：过点P作AD的平行线，过点A作PD的平行线，
两平行线相交于点E，连接BE
∵PE∥AD，AE∥PD
∴ADPE是平行四边形
∴PE=AD，
又ABCD是平行四边形
∴AD=BC
∴PE=BC
又∠ADP=∠ABP
∴∠AEP=∠ABP
∴A、E、B、P四点共圆
∴∠BEP=∠PAB
∴∠PAB=∠PCB
又PE∥AD，AD∥BC
∴PE∥BC
∴BCPE是平行四边形
∴∠BEP=∠PCB
∵ADPE是平行四边形
∴∠ADP=∠AEP
3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
证明：在BD上去一点E，使∠BCE=∠ACD
∵=∴∠CAD=∠CBD
∴△BEC∽△ADC
∴
∴AD·BC=BE·AC……………………①
∵∠BCE=∠ACD
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE
即∠BCA=∠ECD
①+②得AB·CD+ AD·BC =DE·AC+ BE·AC
（DE+BE）·AC
·AC
∵=,∴∠BAC=∠BDC
△BAC∽△EDC
∴
∴AB·CD=DE·AC……………………②
4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
证明：过点D作DG⊥AE于G，作DH⊥FC于H，连接DF、DE
∴S△ADE=AE·DG，S△FDC=FC·DH
又S△ADE= S△FDC=S□ABCD
∴AE·DG=FC·DH
又AE=CF
∴DG=DH
∴点D在∠APC的角平分线上
∴∠DPA＝∠DPC
（五）
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC， 求证：≤L＜2．
证明：（1）将△BPC绕B点顺时针旋转60°的△BEF，连接PE，
∵BP=BE，∠PBE=60°
∴△PBE是正三角形。
∴PE=PB 又EF=PC
∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF
当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图）
在△ABF中，∠ABP=120°∴AF=
∴L=PA+PB+PC≤
（2）过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G
则△ADG是正三角形
∴∠ADP=∠AGP，AG=DG
∵∠APD＞∠AGP
∴∠APD＞∠ADP
∴AD＞PA…………………………①
又BD+PD＞PB……………………②
CG+PG＞PC……………………③
①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG＞PA+PB+PC
∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC＞PA+PB+PC=L
∵AB=AC=1∴L＜2
由（1）（2）可知：≤L＜2．
2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
解：将△BCP绕点B顺时针旋转60°得△BEF，连接PE，
则△BPE是正三角形
∴PE=PB
∴PA＋PB＋PC=PA+PE+EF
∴要使PA＋PB＋PC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上（如图）
此时AF= PA+PE+EF
过点F作FG⊥AB的延长线于G
则∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30°
∴GF=，BG=
∴AF===
∴PA＋PB＋PC的最小值是
3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
证明：将△ABP绕点B顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ
则△BPQ是等腰直角三角形，
∴PQ=PB=×2a=2a
又QC=AP=a
∴QP2+QC2=(2a)2+a2=9a2=PC2
∴△PQC是直角三角形
∴∠BQC=135°
∵BC2=BQ2+CQ2-2BQ·CQ·cos∠BQC
=PB2+PA2-2PB·PAcos135°
=4a2+a2-2×2a×a×(-)
解得BC=
∴正方形的边长为
4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30°，∠EBA＝20°，求∠BED的度数．
解：在AB上取一点F，使∠BCF=60°，CF交BE于G，连接EF、DG
∵∠ABC=80°，∠ABE=20°，∴∠EBC=60°，又∠BCG=60°
∴△BCG是正三角形 ∴BG=BC
∵∠ACB=80°，∠BCG=60°∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCA
又∵∠A=∠A，AB=AC∴△ABE≌ACF ∴AE=AF
∴∠AFE=∠AEF=（180°-∠A）=80°
又∵∠ABC=80°=∠AFE∴EF∥BC∴∠EFG=∠BCG=60°
∴△EFG是等边三角形∴EF=EG，∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°
∵ACB=80°，∠DCA=30°∴∠BCD=50°
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠ABC=180°-50°-80°=50°
∴∠BCD=∠BDC∴BC=BD前已证BG=BC∴BD=BG
∠BGD=∠BDG=（180°-∠ABE）=80°
∴∠FGD=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40°
又∠DFG=180°-∠AFE-∠EFG=180°-80°-60°=40°
∴∠FGD=∠DFG∴DF=DG又EF=EG，DE=DE∴△EFD≌△EGD
∴∠BED=∠FED=∠FEG=×60°=30°
5、如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，若AC=6，BC=8，求线段PD的长。
解：∵∠ACD=∠BCD ∴=∴AD=BD
∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB=90°
∴△ABD是等腰直角三角形
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8 ∴AB=10
∴AD=AB·cos∠DAB=10×=5
又AE⊥CD，∠ACD=45°
∴△ACE是等腰直角三角形 ∴CE=AE=AC·cos∠CAE=6×=3
在△ADE中，DE2=AD2-AE2 ∴DE2= ∴DE=
∴CD=CE+DE=3+=
∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P ∴△PDA∽△PCD ∴
∴PC=PD，PA=PD ∵PC=PA+AC∴PD=PD+6 解得PD=下载本文
