一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）=（　　）

A．1+2i    B．1﹣2i    C．2+i    D．2﹣i

2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（　　）

A．{1，﹣3}    B．{1，0}    C．{1，3}    D．{1，5}

3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　）

A．1盏    B．3盏    C．5盏    D．9盏

4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　）

A．90π    B．63π    C．42π    D．36π

5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（　　）

A．﹣15    B．﹣9    C．1    D．9

6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　）

A．12种    B．18种    C．24种    D．36种

7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（　　）

A．乙可以知道四人的成绩    B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩    D．乙、丁可以知道自己的成绩

8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

9．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　）

A．2    B．    C．    D．

10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）

A．    B．    C．    D．

11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（　　）

A．﹣1    B．﹣2e﹣3    C．5e﹣3    D．1

12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（　　）

A．﹣2    B．﹣    C．﹣    D．﹣1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=　   　．

14．（5分）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是　   　．

15．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 =　   　．

16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=　   　．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．

（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．

18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

附：

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

（1）证明：直线CE∥平面PAB；

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．

20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．

（1）求a；

（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（

22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：

（1）（a+b）（a5+b5）≥4；

（2）a+b≤2．

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）

参与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2017•新课标Ⅱ）=（　　）

A．1+2i    B．1﹣2i    C．2+i    D．2﹣i

【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．

【解答】解：===2﹣i，

故选 D．

【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．

2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（　　）

A．{1，﹣3}    B．{1，0}    C．{1，3}    D．{1，5}

【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．

【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．

若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，

可得1﹣4+m=0，解得m=3，

即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．

故选：C．

【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．

3．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　）

A．1盏    B．3盏    C．5盏    D．9盏

【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．

【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，

∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，

∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，

又总共有灯381盏，

∴381==127a，解得a=3，

则这个塔顶层有3盏灯，

故选B．

【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．

4．（5分）（2017•新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　）

A．90π    B．63π    C．42π    D．36π

【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．

【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，

V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，

故选：B．

【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（　　）

A．﹣15    B．﹣9    C．1    D．9

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．

【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：

z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，

由解得A（﹣6，﹣3），

则z=2x+y 的最小值是：﹣15．

故选：A．

【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．

6．（5分）（2017•新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　）

A．12种    B．18种    C．24种    D．36种

【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．

【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6，

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

可得：6×=36种．

故选：D．

【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力．

7．（5分）（2017•新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（　　）

A．乙可以知道四人的成绩    B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩    D．乙、丁可以知道自己的成绩

【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案

【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，

甲不知自己的成绩

→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）

→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩

→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，

故选：D．

【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．

8．（5分）（2017•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k值，当k=7时，程序终止即可得到结论．

【解答】解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=﹣1，代入循环，

第一次满足循环，S=﹣1，a=1，k=2；

满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，k=3；

满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，k=4；

满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，k=5；

满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，k=6；

满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，k=7；

7≤6不成立，退出循环输出，S=3；

故选：B．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．

9．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　）

A．2    B．    C．    D．

【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．

【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，

圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，

双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，

可得圆心到直线的距离为：=，

解得：，可得e2=4，即e=2．

故选：A．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．

10．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．

【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，

则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角

（因异面直线所成角为（0，]），

可知MN=AB1=，

NP=BC1=；

作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；

∵PQ=1，MQ=AC，

△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC

=4+1﹣2×2×1×（﹣）

=7，

∴AC=，

∴MQ=；

在△MQP中，MP==；

在△PMN中，由余弦定理得

cos∠MNP===﹣；

又异面直线所成角的范围是（0，]，

∴AB1与BC1所成角的余弦值为．

【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．

11．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（　　）

A．﹣1    B．﹣2e﹣3    C．5e﹣3    D．1

【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．

【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1，

可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，

x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，

可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．

解得a=﹣1．

可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，

=（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，

当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，

x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．

故选：A．

【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．

12．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（　　）

A．﹣2    B．﹣    C．﹣    D．﹣1

【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．

【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，

则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），

设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），

则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]

∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，

故选：B

【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=　　．

【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．

【解答】解：由题意可知，该事件满足重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=，n=100，

则DX=npq=np（1﹣p）=100××=．

故答案为：．

【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键．

14．（5分）（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是　1　．

【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．

【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，

令cosx=t且t∈[0，1]，

则f（t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，

当t=时，f（t）max=1，

即f（x）的最大值为1，

故答案为：1

【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题

15．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 =　　．

【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．

【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，

可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，

Sn=，=，

则 =2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．

故答案为：．

【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．

16．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=　6　．

【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．

【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，

可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，

|FN|=2|FM|=2=6．

故答案为：6．

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．（12分）（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．

（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．

【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，

（2）由（1）可知sinB=，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．

【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，

∴sinB=4（1﹣cosB），

∵sin2B+cos2B=1，

∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，

∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，

∴cosB=；

（2）由（1）可知sinB=，

∵S△ABC=ac•sinB=2，

∴ac=，

∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××

=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，

∴b=2．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题

18．（12分）（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

附：

【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；

（2）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（3）根据频率分布直方图即可求得其平均数．

【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，

由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），

则旧养殖法的箱产量低于50kg：（++++）×5=，

故P（B）的估计值，

新养殖法的箱产量不低于50kg：（+++）×5=，

故P（C）的估计值为，

则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=×=；

∴A发生的概率为；

（2）2×2列联表：

由＞，

∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；

（3）由题意可知：方法一：=5×（×+×+×+×+×+×+×），

=5×，

=（kg）．

新养殖法箱产量的中位数的估计值（kg）

方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：

（++）×5=，

箱产量低于55kg的直方图面积为：

（+++）×5=＞，

故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈（kg），

新养殖法箱产量的中位数的估计值（kg）．

【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查性检验，考查计算能力，属于中档题．

19．（12分）（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

（1）证明：直线CE∥平面PAB；

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．

【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．

（2）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．

【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，

所以EFAD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，

∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，

∴直线CE∥平面PAB；

（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，

侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，

∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，

∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，

可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，

可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，

作NQ⊥AB于Q，连接MQ，

所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ=

=，

二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

20．（12分）（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

【分析】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；

（2）设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．

【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），

设P（x，y），由点P满足=．

可得（x﹣x0，y）=（0，y0），

可得x﹣x0=0，y=y0，

即有x0=x，y0=，

代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，

即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；

（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），

•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，

即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，

解得m=，

即有Q（﹣3，），

椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），

由kOQ=﹣，

kPF=，

由kOQ•kPF=﹣1，

可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

21．（12分）（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．

（1）求a；

（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．

【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）=a﹣可得h（x）min=h（），从而可得结论；

（2）通过（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，记t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）=0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0＜可知f（x0）＜，另一方面可知f（x0）＞f（）=．

【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），

则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，

因为h′（x）=a﹣，且当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，

所以h（x）min=h（），

又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，

所以=1，解得a=1；

（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，

令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，

令t′（x）=0，解得：x=，

所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，

且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，

所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，

所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，

由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；

由f′（）＜0可知x0＜＜，

所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，

所以f（x0）＞f（）=；

综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．

【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（

22．（10分）（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

【分析】（1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|•|OP|=16列方程化简即可；

（2）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．

【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，

设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，

∵|OM||OP|=16，

∴=16，

即（x2+y2）（1+）=16，

∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，

两边开方得：x2+y2=4x，

整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），

∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．

（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，

∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，

∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．

【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

23．（2017•新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：

（1）（a+b）（a5+b5）≥4；

（2）a+b≤2．

【分析】（1）由柯西不等式即可证明，

（2）由a3+b3=2转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）2，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明．

【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4，

当且仅当=，即a=b=1时取等号，

（2）∵a3+b3=2，

∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，

∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，

∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，

∴=ab，

由均值不等式可得：=ab≤（）2，

∴（a+b）3﹣2≤，

∴（a+b）3≤2，

∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．

【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题

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