一.问题求解（第小题，每小题3分，共45分，下例每题给

出、、、、五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑）

1. 一家商店为回笼资金把甲、乙两件商品均以480元一件卖出，已知甲商品赚了20%，乙商品亏了20%，则商店盈亏结果为（）

（A）不亏不赚  （B）亏了50元  （C）赚了50元

（D）赚了40元 （E）亏了40元

[点拨]越是简单题，越不能凭直觉。

解：。选（E）。

2. 某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为19：12。由于先增加了若干名女运动员，使男女运动员比例变为20：13，后又增加了若干名男运动员，于是男女运动员比例最终变为30：19。如果后增加的男运动员比先增加的女运动员多3人，则最后运动员总数为（）

（A）686  （B）637  （C）700  （D）661  （E）600

[点拨] 最终比例为30：19，则最后运动员总数必须能被49整除，5个数字中，唯有（B）满足。

解：标准做法是设原男运动员人数为，女运动员为，先增加名女运动员，后增加名男运动员。则

，，解得。

最后运动员总数。

3. 某工厂定期购买一种原料，已知该厂每天需用该原料6吨，每吨价格1800元，原料的保管等费用每天每吨3元，每次购买原料支付运费900元，若该厂要使平均每天支付的总费用最省，则应该每（）天购买一次原料。

（A）11   （B）10   （C）9   （D）8   （E）7

[点拨]初等数学中的最值问题，多用算术平均与几何平均的关系解。

两正数相加时，求最小值；两正数相乘时，求最大值。

解：设每天购买一次原料，则总费用为

，

平均每天费用，根据平均值公式 ，当

时，每天支付的总费用最省。选（B）。

4. 某试验中，三个试管各盛水若干克，现将浓度为12%的盐水10克倒入管内，混合后取10克倒入管中，混合后再取10克倒入管中，结果、、三个试管中盐水的浓度分别为6%、2%、0.5%。那么、、三个试管中原来盛水最多的试管及其盛水量各是（）

（A）试管，10克  （B）试管，20克（C）试管，30克

（D）试管，40克 （E）试管，50克

[点拨]从比例关系入手。

解：试管中，浓度由12%变为6%，；

试管中，浓度由6%变为2%，；

试管中，浓度由2%变为0.5%，。选（C）。

5. 一艘轮船往返航行于甲、乙两码头之间，设船在静水中的速度不变，则当这条河的水流速度增加50%时，往返一次所需的时间比原来将（）

（A）增加        （B）减少半小时        （C）不变

（D）减少1小时  （E）无法判断

[点拨] 水流速度增加，往返一次所需的时间增加；船速增加，往返一次所需的时间减少。

解：设甲、乙两码头相距，船在静水中的速度，水流速度原为。

则原往返一次所需的时间 ；

水流速度增加50%时，往返一次所需的时间 。

，选（A）。

或用特殊值代入计算。如取，，更易得出结论。

6. 方程的根是（）。

（A）或；   （B）或   （C）或

（D）或    （E）不存在

[点拨]去绝对值符号是关键。

解：由 ，两边平方得。

解得，均是增根（），所以（A）不是解。

由 ，两边平方得。

解得，代入均成立。选（C）。

或用代入法验证。

7. 的两个根为。如果又以，为根的一元二次方程是，则和分别为（）。

（A）2，6 （B）3，4 （C）-2，-6 （D）-3，-6 （E）以上都不对

[点拨]用韦达定理方便。

解：联立， 解出。选（D）。

8. 若，则

（）。

（A）；     （B）；     （C）；

（D）；     （E）。

[点拨]等式成立意指对任何实数都相等。观察题目要求，取。

解：取（保证得到），则

。选（C）。

9. 在36人中，血型情况如下：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人。若从中随机选出两人，则两人血型相同的概率是（）。

（A）  （B） （C） （D） （E）以上结论都不对

[点拨] 血型相同必须从同一血型中选取。

解：。

（时间不够最后一步估算出结果）选（A）。

10. 湖中有四个小岛，它们的位置恰好近似构成正方形的四个顶点，若要修建三座桥将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（）种。

（A）12   （B）16   （C）13   （D）20   （E）24

[点拨]组合问题，难点在于找到造了三座桥而未将四个小岛连接起来的情况数。

解：正方形中连接四个顶点有6条线，从中任取3条建桥有种情况，但其中三桥仅连三岛则不合要求，这有4种情况，所以20-4=16。

选（B）。

11. 若数列，，前项和满足，则是（）。

（A）首项为，公比为的等比数列；

（B）首项为，公比为的等比数列；

（C）既非等差也非等比数列；

（D）首项为，公差为的等差数列；

（E）首项为，公差为的等差数列。

[点拨]灵活运用数列的性质。

解：，，又。选（E）。

12.直角三角形的斜边，直角边，把对折到上去与斜边重合，点与点重合，折痕为（如图），则图中阴影部分面积为（）。

 （A）  （B）  （C）  （D）  （E）

[点拨]相似三角形的面积比为边长比的平方。

解：，三角形的面积为，

三角形的面积。选（B）。

13. 设直线（为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积，则（）

（A）  （B）  （C）  （D） 

（E）以上结论都不正确

[点拨] 直线与两坐标轴围成的三角形是直角三角形。

解：在直线中，令，

所以，

选（C）。

14.若圆与轴交于点，与轴交于点，则与此园相切于劣弧（注：小于半圆的弧）中点的切线方程是（）。

（A）； （B）； （C）；

（D）； （E）

[点拨]高等数学中的简单题要用初等数学的办法解。先求切线的斜率，再定轴上的截距。

解：点坐标为，点坐标为，中点的切线平行于过、两点的直线，过、两点直线的斜率为；故可设所求切线方程为。一方面原点到切线方程的距离；另一方面，从而。选（A）。

15. 已知实数满足和，则（）。

（A）25  （B）26  （C）27  （D）28  （E）29

[点拨]必须将两式联合起来考虑。

解：；

，两式相加，得。

解出，。选（D）。

或取特殊值，则。

二.条件充分性判断（第小题，每小题3分，共30分，要求

判断每题给出的条件（1）和（2）能否充分支持题目所陈述的结论，、、、、五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑）

（A）条件（1）充分，但条件（2）不充分

（B）条件（2）充分，但条件（1）不充分

（C）条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分

（D）条件（1）充分，条件（2）也充分

（E）条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来也不充分

16.。

（1）数列的通项公式为；

（2）在数列中，对任意正整数，有。

[点拨] ,。

解：（1），，不充分；

（2），，，充分。选（B）。

(注：此题可取验证)

17.A企业的职工人数今年比前年增加了30%。

（1）A企业的职工人数去年比前年减少了20%；

（2）A企业的职工人数今年比去年增加了50%。

[点拨]显然单独都不充分。

解：联合。设前年为，则去年为，今年为。

不充分，选（E）。

18. 。

（1）；  （2）。

[点拨]对数函数的性质。

解：（1）当时，，所以；

（2）当时，，。选（D）。

19.对于使 有意义的一切的值,这个分式为一个定值。

（1）；   （2）。

[点拨]首先要有意义，即。

解：（1），，显然不是定值，不充分；

（2），是定值，充分。选（B）。

20. .

（1）均为实数，且；

（2）均为实数，且。

[点拨]分母不能为零，。

解：（1）解得 ，，充分；

（2），

所以，亦充分。选（D）。

21. .

（1）是方程的根；  （2）。

[点拨]在中，不用把解出来。

解：（1）由，则

，充分；

（2）简单取，则，不充分。

选（）。

事实上，，。

22. 点落入圆内的概率是。

（1）是连续掷一枚骰子两次所得到的点数，；

（2）是连续掷一枚骰子两次所得到的点数，；

[点拨] 的可能数为。

解：（1），，满足条件的可能情况为

，数一数，有25种。

不充分。（注：可以先考虑不满足的情况）。

（2），，满足条件的可能情况为

共9种（注: 已在边界上）。

，充分。

23. 

（1）；  （2）

[点拨] 将问题化为标准型：

。

解：（1），，，整个式子小于零，不充分；

（2），，，整个式子小于零，不充分。

而条件（1），（2）是矛盾的，不能联合，选（E）。

24.圆 和直线相交于两点。

（1）；   （2）。

[点拨]圆与直线相交于两点，则该直线既不在圆外，亦不能与圆相切。

解：考虑圆心到直线的距离。由

。

由于 ，所以上面最后一个不等式恒大于零，即对任何实数成立，这样（1）（2）都是充分条件。选（D）。

25. 的前项和与的前项和满足。

（1）和是等差数列； （2）

[点拨]容易看出（1）（2）单独都不充分，如（1）取、都是同一个常数数列，则命题不真，而（2）也太宽泛了。

解：联合（1）（2）。

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